ČVRSTOĆA 14 UVIJANJE.

Παρουσίαση με θέμα: "ČVRSTOĆA 14 UVIJANJE."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ČVRSTOĆA 14 UVIJANJE

2 UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA
Pri analizi osnovnih opterećenja prizmatičnog štapa uvijanjem ili torzijom nazivamo slučaj kada se u bilo kojem presjeku štapa dinama vanjskih sila, koje djeluju s jedne strane promatranog presjeka, svodi na moment Mt, koji odgovara vektoru paralelnom s uzdužnom osi štapa. Taj se moment naziva moment uvijanja ili moment torzije. Pretpostavljamo da se vlastita težina štapa može zanemariti, te imamo čisto uvijanje. Uvjet ravnoteže u tom slučaju glasi: Vanjske momente smatramo algebarskim veličinama, dajući im u zavisnosti od smisla rotacije pozitivan, odnosno negativan predznak.

3 UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA

4 UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA
Ako je npr. osovina opterećena vanjskim momentima prema slici njeno je opterećenje u presjeku x izraženo momentom torzije Mt, koji je jednak algebarskoj sumi svih vanjskih momenata lijevo ili desno od presjeka x. Njegov se predznak utvrđuje od slučaja do slučaja. U teoriji uvijanja postavljaju se dva glavna pitanja: a) Određivanje tangencijalnih naprezanja , koja djeluju u nekom presjeku, b) određivanje deformacija, kuta torzije . Teorija elastičnosti daje odgovore na ta dva pitanja za neke specijalne slučajeve, kada presjek ima jednostavan geometrijski oblik (kružnica, elipsa, pravokutnik). Čvrstoća daje elementarno rješenje samo za kružni presjek štapa.

5 UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA
Pri analizi napregnutog štapa opterećenog na uvijanje analizu temeljimo na ovim pretpostavkama: a) Poprečni presjeci štapa u procesu deformacije ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os štapa. b) Polumjeri u tim presjecima ostaju pravocrtni (ne iskrivljuju se) i okreću se za isti kut. c) Pomake smatramo malim, a materijal štapa homogenim i izotropnim. Ispitivanja pokazuju da je za štapove kružnog presjeka teorija osnovana na tim pretpostavkama u skladu s eksperimentalnim rezultatima.

6 EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI UVIJANJU
Na osnovu rezultata laboratorijskih ispitivanja određena je za uvijanje štapa od mekog čelika zavisnost između momenata uvijanja i kuta torzije kao što to predočuje dijagram. Iz dijagrama, vidi se da Mt od 0 do A raste linearno u zavisnosti od φ. Točka A odgovara granici proporcionalnosti materijala.

7 ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA
Da bismo našli zavisnost između kuta torzije i momenta torzije uvodimo pojam relativnog kuta torzije . Taj je kut jednak odnosu kuta torzije i duljine štapa (osovine): Za osovinu konstantnog presjeka:

8 ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA
Prema izrazu za moment torzije i izraza za relativni kut torzije imamo izraz za moment torzije (u radijanima): gdje je ct koeficijent krutosti štapa, odnosno osovine pri uvijanju, a GIp krutost presjeka štapa pri uvijanju (torziona krutost). Vidimo da GIp ima u teoriji uvijanja istu ulogu kao aksijalna krutost EI pri rastezanju. Dimenzija je [PL2] odnosno u jedinicama Nmm2.

9 ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA
Relacija za kut torzije prikazana grafički u koordinatama predočuje linearnu zavisnost Mt = f(φ) , kao što je pokazano na slici, te imamo:

10 ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA
Nađimo izraz za potencijalnu energiju uvijanja. Uzmimo da je kut torzije štapa, na koji djeluje moment Mt, jednak φ0 . Pri povećanju Mt za vrijednost dMt dobit će kut φ0 beskonačno malen prirast dφ0 (prema slici). Ako pretpostavimo da se Mt ne mijenja u granicama dφ, možemo elementarni rad ili energiju koja se troši za dodatno uvijanje štapa izraziti:

11 ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA
Integriranjem (sumiranjem) elementarnih vrijednosti u granicama promjene φ0 od nule do φ dobivamo potencijalnu energiju uvijanja: S pomoću izvedenih izraza možemo za Ep napisati još dva izraza: Prvi izražava zavisnost Ep od kuta torzije φ, a drugi od momenta torzije Mt.

12 STATIČKI DIJAGRAMI PRI UVIJANJU
Razmotrimo najjednostavniji slučaj opterećenja osovine vanjskim momentom Mt koji djeluje u krajnjem presjeku. Nanesemo li u prikladnom mjerilu ispod odgovarajućih presjeka vrijednosti iznad nulte linije, paralelne s uzdužnom osi osovine, dobit ćemo dijagram momenata uvijanja u obliku pravokutnika.

13 STATIČKI DIJAGRAMI PRI UVIJANJU
Za osovinu duljine x kut torzije ima vrijednost: Odatle slijedi da dijagram ima linearan oblik, tj. površina dijagrama je u obliku trokuta. Dijagram relativnog kuta torzije određuje se prema veličini:

14 UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA
Ispitivanja u laboratoriju pokazuju da se poprečni presjeci neokruglih štapova pri uvijanju znatno iskrivljuju, pojavljuju se deplanacije presjeka.

15 UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA
Na slici shematski je prikazana raspo­djela tangencijalnih naprezanja u presjeku pravokutnog oblika i to duž osi simetrije, duž dijagonala i duž konturnih strana pravokutnika.

16 UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA
Najveće tangencijalno naprezanje pojavljuje se na sredini duljih strana presjeka i može se izraziti jednadžbom: U toj formuli su h i b dimenzije presjeka, pri čemu je h > b, dok je α koeficijent čija vrijednost zavisi od odnosa h/b. h/b 1 1,5 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 γ 1,000 0,858 0,796 0,753 0,745 0,743

17 UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA
Najveće naprezanje može se dovoljnom točnošću odrediti i s pomoću približne formule:

18 UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA
Kut torzije na jedinicu duljine štapa pravokutnog presjeka određuje se po formuli: U svim razmatranim slučajevima jedinični kut torzije proporcionalan je momentu torzije i zato se može izraziti u obliku:

19 UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA
C je konstanta koja karakterizira torzionu krutost štapa. Kod štapa kružnog presjeka: a za štap pravokutnog presjeka: