JEDNOSTAVNA LINEARNA REGRESIJA

Παρουσίαση με θέμα: "JEDNOSTAVNA LINEARNA REGRESIJA"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 JEDNOSTAVNA LINEARNA REGRESIJA

2 KAKO DOHODAK UTJEČE NA POTROŠNJU?
X Y

3

4 KAKO CIJENE UTJEČE NA PRODANU KOLIČINU?
X Y

5

6 KAKO BROJ NEZAPOSLENIH UTJEČE NA BROJ DJECE U VRTIĆIMA?
X Y

7

8 𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 Regresijska vrijednost zavisne varijable
𝑦 = 𝛽 𝛽 1 𝑥 Regresijska vrijednost zavisne varijable Vrijednost nezavisne varijable Konstantni član Regresijski koeficijent/ Koeficijent smjera

9 1. ZADATAK Analizira se odnos ukupnog broja Internet transakcija ZABA-e (X) i ostvarenog ukupnog prihoda (Y, u €). Podaci su mjesečni i to za prvih jedanaest mjeseci godine. U analizi se primjenjuje model jednostavne linearne regresije. Međurezultati: 𝑥 = 2122,73 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 2 =   (𝑥𝑖 − 𝑥 )(𝑦𝑖− 𝑦 )= , 91 (𝑦𝑖 − 𝑦 ) 2 = ,55

10 Kako glasi jednadžba regresijskog modela s procijenjenim parametrima
Kako glasi jednadžba regresijskog modela s procijenjenim parametrima. Parametre je potrebno procijeniti metodom najmanjih kvadrata. Protumačite značenje regresijskog koeficijenta. 𝑦 = 𝛽 𝛽 1 𝑥 𝛽 1 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑥 𝑖 − 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 −𝑛 𝑥 𝑦 𝑥𝑖 2 −𝑛 𝑥 2 𝛽 0 = 𝑦 − 𝛽 1 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑖 𝑛 = =10 373,6364 𝛽 1 = , −11∗ 2122,73 2 =2,8124 𝛽 0 =10 373,6364−2,8124∗2122,73 =4403,6705 Ukoliko se broj Internet transakcija poveća za jednu transakciju, regresijeska vrijednost ukupno ostvarenog prihoda povećat će se u prosjeku za 2,8124€

11 Odredite sve elemente u tabeli analize varijance
Odredite sve elemente u tabeli analize varijance. Izračunajte procjenu varijance, standardne devijacije i koeficijenta varijacije. Koliko iznose koeficijent determinacije i koeficijent linearne korelacije? Proporcija neprotumačenog dijela ukupne sume kvadrata iznosi 0,0721.

12 IZVOR VARIJACIJE STUPNJEVI SLOBODE ZBROJ KVADRATA SREDINA KVADRATA EMPIRIJSKI F-omjer Protumačen modelom Neprotumačen modelom 1 n-2 SP SR SP 1 SR n−2 SP 1 SR n−2 - UKUPNO n-1 ST 𝑥 = 2122,73 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 2 =   (𝑥𝑖 − 𝑥 )(𝑦𝑖− 𝑦 )= , 91 (𝑦𝑖 − 𝑦 ) 2 = ,55 115,8266 ,614 9 ,53 10 ,55 ST= 𝑦 𝑖 − 𝑦 2 𝑆𝑇= ,55 𝑆𝑅 𝑆𝑇 SP= 𝑦 𝑖 − 𝑦 2 = 0,0721 SR= 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖 2 𝑆𝑅=0,0721∗ ,55= ,53 𝑆𝑃=𝑆𝑇−𝑆𝑅 = ,55− ,53=

13 IZVOR VARIJACIJE STUPNJEVI SLOBODE ZBROJ KVADRATA SREDINA KVADRATA EMPIRIJSKI F-omjer Protumačen modelom Neprotumačen modelom 1 n-2 SP SR SP 1 SR n−2 SP 1 SR n−2 - UKUPNO n-1 ST 115,8645 ,614 9 ,53 10 ,55 𝜎 2 = 𝑆𝑅 𝑛−2 = 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖 𝑛−2 = ,614 𝜎 = 𝑆𝑅 𝑛−2 = 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖 𝑛−2 = ,614 =1319,8730 𝑉 = 𝜎 𝑦 ∗100% = 1319, ,6364 ∗100% =12,72%

14 𝑅 2 =1− 𝑆𝑅 𝑆𝑇 𝑟= 𝑅 2 KOEFICIJENT DETERMINACIJE
KOEFICIJENT LINEARNE KORELACIJE 𝑅 2 =1− 𝑆𝑅 𝑆𝑇 𝑟= 𝑅 2 𝑅 2 =1−0,0721=0,9279 92,79% 𝑟= 0,9279 =0,9633 Modelom jednostavne linearne regresije protumačeno je 92,79% ukupnih odstupanja što ukazuje na reprezentativnost modela. Povezanost između broja Internet transakcija i ukupno ostvarenog prihoda je po jačini jaka, a po smjeru pozitivna.

15 Odredite granice 95% intervala pouzdanosti procjene parametra β1, ako je poznato da je koeficijent pouzdanosti 2,262, a standardna pogreška procjene jednaka je 0,2613. 𝑃 𝛽1 − 𝑡 𝛼 2 𝜎 𝛽 <𝛽< 𝛽1 + 𝑡 𝛼 2 𝜎 𝛽 =(1−𝛼) 𝑡 𝛼 2 =2,262 𝜎 𝛽 =0,2613 𝑃 2,8124 −2,262∗0,2613<𝛽<2, ,262∗0,2613 =0,95 𝑃 2,2213<𝛽<3,4035 =0,95

16 2. ZADATAK U statističkom ljetopisu RH za 93' na str 365. nalaze se podaci o broju noćenja i broju turista po godinama razdoblja (1982 – 1990). Odnos broja noćenja i turista predočen je modelom jednostavne linearne regresije. Na temelju empirijskih vrijednosti varijabli dobivena je ova tabela analize varijance: Koristite međurezultate: 𝑥𝑖 = 84,8 𝑦𝑖 = 554, 𝑥𝑖 2 = 806,5 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 5270,97 Izvor varijacije Stupnjevi slobode Zbroj kvadrata Sredina kvadrata Empirijski F - omjer Protumačen modelom 1 322,608 101,233 Neprotumačen modelom 7 22,308 3,187 Ukupno 8 344,916

17 Može li se prihvatiti pretpostavka da je varijabla „broj turista“ suvišna u modelu? Testirati na razini 5% signifikantnosti, ako je teorijski 𝐹 0,05 1,7 =5,591 𝑦 = 𝛽 𝛽 1 𝑥 Broj turista

18 𝐻 0 …𝛽=0 𝐻 1 …𝛽≠0 > 𝐹 𝐹 𝛼 =101,233 =5,591 𝐻 1 Uz razinu signifikantnosti od 5% ne može se prihvatiti pretpostavka da je varijabla broj turista suvišna u modelu.

19 Koliki je koeficijent determinacije i koeficijent linearne korelacije
Koliki je koeficijent determinacije i koeficijent linearne korelacije? Protumačite njihovo značenje!

20 Kako glasi model linearne regresije s parametrima procijenjenim metodom najmanjih kvadrata? Interpretirajte dobivene procjene u konkretnom slučaju.

21 3. ZADATAK Analizira se potrošnja domaćinstava u regiji A ovisno o njihovom dohotku. Vrijednosti varijabli izražene su u USD. Na osnovi uzorka od 14 slučajno odabranih domaćinstava dobivena je sljedeća linearna regresijska jednadžba: 𝑦 = -284, ,9551x 𝜎 2 = 7320,02273 (𝑥𝑖− 𝑥 ) 2 = ,896 𝑥 = 4407,929

22 Protumačite konkretno značenje regresijskog koeficijenta.
Ukoliko se dohodak poveća za jedan dolar, regresijska vrijednost potrošnje povećat će se linearno za 0,9551 dolar.

23 Ima li dohodak domaćinstva signifikantnog utjecaja na potrošnju
Ima li dohodak domaćinstva signifikantnog utjecaja na potrošnju? Provedite odgovarajući jednosmjerni t-test uz razinu značajnosti 5%. 𝐻 0 … 𝛽 1 =0 𝐻 1 … 𝛽 1 >0 𝑡 1 > 𝑡 𝛼 =16,3825 =𝑡 0,05 (14−2) =1,782 𝐻 1 𝑡 1 = 𝛽 1 𝜎 𝛽 𝑡 𝛼 (𝑛−2) = 𝑡 0,05 (14−2) = 0,9551 0,0583 =1,7823 =16,3825 𝜎 𝛽 = 𝜎 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = , ,896 =0,0583

24 Nadopunite sve elemente koji nedostaju u tabeli ANOVA:

25 Kolika se potrošnja očekuje prema jednadžbi jednostavne linearne regresije, ako bi razina prihoda iznosila 4300 USD? Odredite i granice prognostičkog intervala uz pouzdanost procjene od 95%. 𝑦 0 = 𝛽 𝛽 1 𝑥 0 𝑥=4300 𝑦 0 =−284, ,9551∗4300 𝑦 0 =3821,9368

26 𝑃 𝑦 𝑜 − 𝑡 𝛼 2 𝜎 𝑦 𝑜 < 𝑦 0 < 𝑦 𝑜 + 𝑡 𝛼 2 𝜎 𝑦 𝑜 =(1−𝛼)
𝑃 𝑦 𝑜 − 𝑡 𝛼 2 𝜎 𝑦 𝑜 < 𝑦 0 < 𝑦 𝑜 + 𝑡 𝛼 2 𝜎 𝑦 𝑜 =(1−𝛼) 𝑦 𝑜 =3821,9368 (𝑛−2) (14−2) (12) 𝑡 𝛼 = 𝑡 0, = 𝑡 0,025 =2,1788 𝜎 𝑦 𝑜 = 𝜎 𝑛 + (𝑥 0 − 𝑥 ) ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 = 7320, (4300−4407,929) ,896 =88,7863 𝑃 3821,9368−2,1788∗88,7863< 𝑦 0 <3821,9368+2,1788∗88,7863 =0,95 𝑃 3628,4892< 𝑦 0 <4015,3844 =0,95

27 4. ZADATAK Analizom noćenja domaćih turista (Y – u tisućama) i dolazaka domaćih turista (X – u tisućama) kroz dvanaest mjeseci godine ustanovljeno je postojanje linearne regresijske veze. Podaci o varijablama preuzeti su iz SLJRH na str 412. Linearnom vezom protumačeno je 3,04% ukupnih odstupanja. Regresijska vrijednost 𝑦 za x=1500 iznosi 5392,49. Regresijski pravac 𝑦 siječe os y u točki T (0;886,35). (𝑦𝑖− 𝑦 ) 2 = ,6

28 Kako glasi linearna regresijska jednadžba?
𝑦 = 𝛽 𝛽 1 𝑥 𝑦 =5392,49 T (0;886,35). 886,35= 𝛽 𝛽 1 0 𝑥=1500 𝛽 0 =886,35 𝑦 =886,35+3,0041𝑥 5392,49= 𝛽 𝛽 𝛽 1 = 5392,49− 𝛽 =3,0041

29 Odredite vrijednost koeficijenta linearne korelacije!

30 Formirajte tabelu ANOVA!