dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš.

Παρουσίαση με θέμα: "dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš.
Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA KINEMATIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

2 Uvod u kinematiku; Referentni sistemi, Njutnovi postulati (postulati sile), Galilejeve transformacije; Osnovni zadatak kinematike tačke; Koordinatni sistemi – Dekartove pravougle koordinate, Polarno cilindrične koordinate, Sferne koordinate, Prirodne koordinate; Brzina tačke i ubrzanje tačke - pri pravolinijskom i krivolinijskom kretanju. Primeri

3 Uvod u kinematiku Zadatak i uloga kinematike
Kinematika je deo teorijske mehanike u kojem se proučavaju geometrijska svojstva kretanja tela pri čemu se ne uzimaju u obzir njihove mase i sile koje deluju na tela. Kinematika je dobila naziv po grčkoj reči kinema što znači kretanje. Ovaj deo mehanike predstavlja uvod u dinamiku, a osim teorijskog ima i praktični značaj pri proučavanju kretanja mehanizama i mašina.

4 Najbliža nauka kinematici je geometrija jer se ona bavi proučavanjem prostora, a kinematika pored prostora uzima u obzir i vreme kao fizičku veličinu. Sva proučavanja u kinematici zasnivaju se na geometrijskim aksiomama (ne uvode se dodatne aksiome) pa se često kinematika naziva i geometrija kretanja. Osnovni zadatak kinematike je: određivanje kinematičkih veličina koje karakterišu kretanje posmatranog tela kao celine određivanje kretanja svake tačke tog tela posebno.

5 Kinematiku delimo na dva dela – kinematiku tačke i kinematiku krutog tela.
U kinematici tačke rešavaju se dva osnovna problema: ustanovljavanje analitičkih postupaka za definisanje kretanja tačke u odnosu na utvrđeni sistem referencije određivanje, na osnovu zadatog zakona kretanja tačke, svih kinematičkih karakteristika kretanja tačke u koje spadaju , trajektorija, brzina i ubrazanje tačke.

6 Definicije osnovnih pojmova u kinematici
Vektor položaja je vektor koji spaja koordinatni početak i datu tačku, a usmeren je ka datoj tački. Materijalna tačka je telo zanemarljivih dimenzija, ali konačne mase. U kinematici nas manje interesuju dimenzije pokretnih tela, a više samo njihovo kretanje i veličine koje ga karakterišu.

7 Linija koju materijalna tačka opisuje tokom kretanja (skup uzastopnih položaja) predstavlja njenu putanju. Ili, to je skup tačaka kroz koje prolazi tokom svog kretanja. Putanja (trajektorija) je neprekidna linija koju tačka opisuje pri svom kretanju i prema obliku mogu biti pravolinijska i krivolinijska. Početni položaj tačke je položaj na putanji u trenutku početka merenja vremena (N0-t0).

8 Put (s) je deo putanje koji tačka pređe u toku određenog vremena.
Deo putanje Δs koji telo pređe za vreme Δt između dve tačke (npr. M1 i M2) je pređeni put. To je rastojanje između krajnjeg i početnog položaja tela mereno duž putanje. Δs Put (s) je deo putanje koji tačka pređe u toku određenog vremena. Zakon puta je jednačina kojom se uspostavlja zavisnost između pređenog puta i proteklog vremena s=f(t). Zakon puta ne predstavlja jednačinu putanje već samo način na koji se tačka kreće po toj putanji.

9 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike – ponavljanje
U mehanici postoje samo tri osnovne fizičke veličine (svaka druga fizička veličina može se izvesti iz njih): · Dužina (prostor), osnovna jedinica metar: m · Vreme, osnovna jedinica sekunda: s · Masa, osnovna jedinica kilogram: kg. Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna tačka (ili čestica).

10 Jednostavno rečeno, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj pridružujemo masu. Da li se neko telo može tretirati kao materijalna tačka ili ne, zavisi od toga kakav fenomen posmatramo. Generalno, fizičko telo se može aproksimirati modelom materijalne tačke, tj. njegova unutrašnja struktura i dimenzije se mogu zanemariti, pri kretanjima u toku kojih se ono kreće u oblasti čija je zapremina mnogo veća od njegove sopstvene zapremine. Kretanje tela vrši se u prostoru tokom vremena. U mehanici ćemo prostor smatrati za trodimenzionalni Euklidov prostor i sva razmatranja vršićemo na osnovu metoda Euklidove geometrije.

11 Sistem referencije - Referentni sistemi
Položaj tačke ili tela uvek se određuje u odnosu na neko drugo telo. Referentno (uporedno) telo je telo u odnosu na koje se određuje kretanje posmatranog tela. Kretanje čestice posmatra se u odnosu na neki referentni sistem. Sistem referencije je koordinatni sistem koji se vezuje za referentno telo. Najjednostavniji koordinatni sistem je Dekartov pravougli sistem, ali se osim njega često koriste i drugi, krivolinijski koordinatni sistemi: cilindrični, sferni, prirodni itd.

12 Inercijalni sistemi Sve do zasnivanja specijalne teorije relativnosti, smatralo se da postoji apsolutni referentni sistem koji miruje, a svi sistemi, koji bi se kretali konstantnom brzinom u odnosu na njega nazivani su inercijalnim sistemima. Danas se zna da postojanje apsolutno mirujućeg sistema nije moguće utvrditi, pa se koristi tzv. Ajnštajnova definicija: Inercijalni sistem je referentni sistem u kome telo koje ne interaguje sa drugim telima ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja. Za naše potrebe za sada je dovoljno pretpostaviti da postoji barem jedan inercijalni sistem, a svaki drugi koji se u odnosu na njega keće konstantnom brzinom je takođe inercijalan.

13 Njutnovi postulati (postulati sile)
Iskustvo pokazuje da sila u inercijalnim sistemima zadovoljava sledeće osobine: 1. Zakon inercije: u inercijalnim sistemima čestica (stalne mase) ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja ako ne interaguje ni sa kakvim drugim česticama, tj. ako na nju ne deluje nikakva sila (I Njutnov zakon)

14 2. Sila interakcije između dve čestice, čije su mase, vektori položaja i brzine redom jednaki
zavisi samo od relativnog radijus vektora i relativne brzine čestica. Znači, ako sa F21 označimo silu kojom čestica 2 deluje na česticu 1, onda je

15 3. Štaviše, sila interakcije između dve čestice je kolinearna sa relativnim vektorom položaja čestica pri čemu važe principi:  superpozicije, tj. ukupna sila F3 kojom čestice 1 i 2 deluju na neku treću ćesticu, jednaka je vektorskom zbiru sila kojom čestice 1 i 2 pojedinačno deluju na nju, tj. F3 = F13 + F23 i akcije i reakcije, tj. sile kojom dve čestice uzajamno deluju jedna na drugu, jednake su po intenzitetu i pravcu, a suprotnog su smera (III Njutnov zakon):

16 Galilejeve transformacije
Galilejeve transformacije opisuju kako se menjaju koordinate nekog fizičkog događaja pri prelasku iz jednog u drugi inercijalni sistem. U nerelativističkoj mehanici smatra se da je vreme apsolutno, tj. da je vremenski interval između dva događaja isti u svim inercijalnim sistemima.

17 Posmatrajmo dva inercijalna sistema S i S´ u kojima smo koordinatne sisteme (Dekartove) izabrali tako da se u početnom trenutku poklapaju, dok im u daljem kretanju ose ostaju paralelne, a sistem S´ se u odnosu na S kreće duž zajedničke x-ose, brzinom konstantnog intenziteta u. Sa slike se onda jasno vidi da Galilejeve transformacije imaju oblik

18 Očigledna posledica Galilejevih transformacija je da je vektor relativnog položaja između dve tačke isti u svim inercijalnim sistemima, tj. kao i da se relativna brzina ne menja pri prelasku iz jednog u drugi inercijalni sistem (pošto je vreme apsolutno), tj. Takođe se lako proverava da je i ubrzanje čestice isto u svim inercijalnim sistemima

19 Ako sada uočimo izolovan sistem od dve čestice, onda osnovni dinamički zakon za npr. česticu 1 u sistemu S ima oblik odakle, zbog Galilejevih transformacija, važi što znači da osnovni dinamički zakon u ovom slučaju ima isti oblik u svim inercijalnim sistemima, pri čemu smo iskoristili i iskustvom potvrđenu činjenicu da je masa čestice ista u svim inercijalnim sistemima.

20 Koordinatni sistemi - Određivanje položaja tačke u prostoru
U geometriji su poznata dva načina: Vektorski i Analitički U vektorskoj geometriji položaj tačke u prostoru određuje se u odnosu na jednu stalnu tačku, jednim vektorom koji se naziva vektor položaja ili radijus vektor. Promenu položaja tačke M prati i promena vektora položaja

21 U analitičkoj geometriji položaj tačke u prostoru određuje se primenom metoda koordinata tj. skupa brojeva koji potpuno određuju položaj tačke u prostoru. Prostor u koji se uvode ovi brojevi naziva se koordinatni sistem. Dekartov pravougli koordinatni sistem Čine ga tri međusobno upravne, orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz nepomičnu tačku O i ne leže u istoj ravni. Položaj neke tačke N u prostoru određen je sa tri koordinate x,y i z pri čemu se pri kretanju tačke njene koordinate menjaju sa vremenom.

22 Ako se znaju zakonitosti po kojima se menjaju koordinate tačke sa promenom vremena može se odrediti položaj tačke u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Te zakonitosti se nazivaju konačne j-ne kretanja tačke i uspostavljaju zavisnost između promene koordinata i vremena: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t)

23 Za određivanje položaja tačke koja se kreće u ravni, u svakom trenutku vremena, dovoljne su dve jednačine kretanja x=f1(t), y=f2(t), a kretanje se posmatra u Dekartovom sistemu u ravni. Ako se tačka kreće pravolinijski njeno kretanje se posmatra u pravcu jedne koordinatne ose, a za opisivanje položaja tačke u svakom trenutku dovoljna je jedna jednačina x=f(t)

24 b) Polarno-cilindrični koordinatni sistem
Položaj tačke u ovom sistemu određuje se radijusom r, uglom φ i ordinatom z. Položaj pokretne tačke u bilo kom trenutku vremena određuje se takođe jednačinama kretanja: r=f1(t), φ=f2(t), z=f3(t) Veza između Dekartovih koordinata i polarno-cilindričnih koordinata izražava se: x=rcosφ, y=rsinφ, z=z

25 c) Sferni koordinatni sistem
U ovom sistemu položaj tačke se određuje polarnim radijusom ρ, uglom φ i uglom ψ. Položaj pokretne tačke u bilo kom trenutku vremena određuje se takođe jednačinama kretanja: ρ=f1(t), φ=f2(t), ψ=f3(t) Veza između Dekartovih koordinata i sfernih koordinata izražava se: x=ρcosφcosψ, y=ρsinφcosψ, z=ρsinψ Veza između polarno-cilindričnih i sfernih koordinata izražava se: r=ρcosψ, φ=φ, z=ρsinψ

26 d) Prirodni koordinatni sistem Čine ga tri međusobno upravne koordinatne ose koje ne leže u istoj ravni. To su prirodne koordinatne ose tangenta (T), glavna normala (N) i binormala (B). Prirodni koordinatni sistem je pokretan, tj.vezuje se za posmatranu tačku.

27 Brzina pri pravolinijskom kretanju tačke
Pravolinijsko kretanje je kretanje pri kojem je putanja prava linija, a jednačina kretanja tačke može da se napiše kao x=f(t). Brzina je jedna od osnovnih kinematičkih karakteristika kretanja tačke. Tačka se u trenutku t nalazila u položaju M, a u trenutku t1 u položaju M1, što znači da je za vremenski interval t=t1-t, prešla put x=x1-x.

28 Srednja brzina tacke M je jednaka:
- vector srednje brzine ima pravac ose X i usmeren je u smeru kretanja od tačke M ka tački M1 Brzina tačke u trenutku vremena t naziva se veličina kojoj teži srednja brzina kada vremenski interval teži nuli; brojčana vrednost brzine biće određena sa: odnosno Jedinica za v

29 Brzina pri krivolinijskom kretanju tačke
vektor pomeranja tačke Vektor brzine tacke u svakom trenutku vremena pada u pravcu tangente na putanju i usmeren je u smeru kretanja.

30 Ubrazanje pri pravolinijskom kretanju tačke
Ubrzanje tačke je veličina koja karakteriše promenu brzine tačke. Ako se za interval brzina promeni za onda je srednje ubrzanje određeno sa odnosno Jedinica za a

31 Ubrazanje pri krivolinijskom kretanju tačke
Vektor ubrzanja tačke jednak je prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu vektora položaja tačke po vremenu, vektor srednjeg ubrzanja usmeren je u konkavnu (izdubljenu) stranu putanje. ubrzano kretanje (kada su vektori v i a istog smera) usporeno kretanje (kada vektori v i a suprotnog smera)

32 Tangencijalno i normalno ubrzanje tačke
Tangencijalna i normalna komponenta ubrazanja, ako je kretanje tačke definisano prirodnim načinom Projekcija ubrzanja tačke na tangentu jednaka je prvom izvodu veličene brzine, tj. drugom izvodu rastojanja (krivolinijske koordinate) s po vremenu t. Projekcija ubrzanja na glavnu normalu jednaka je količniku iz kvadrata brzine i poluprečnika krivine putanje u datoj tački krive. aN je uvek usmerena u izdubljenu (konkavnu) stranu krive, a komponenta aT može biti usmerena u pozitivnom i negativnom smeru ose tangente (slika).

33 Primeri: 3. Zadatak 56, str 136. Targ

34 Hvala na pažnji!