Mehanika tekućine - hidrostatika

Παρουσίαση με θέμα: "Mehanika tekućine - hidrostatika"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Mehanika tekućine - hidrostatika

2 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA
Def: Tekućina je tvar koja kontinuirano mijenja oblik pri tangencijalnim (posmičnim) naprezanima ma kako male bile sile koje ih uzrokuju * Suprotno krutom tijelu, u tekućinama dolazi do pomaka pojedinih njezinih djelića bez obzira koliko bila mala sila i rad koji se primjenjuju pri njezinu deformiranju. Osnovna podjela tekućina je prema agregatnom stanju: Kapljevine (imaju praktički konstantan volumen i svojstvo formiranja slobodne površine) (npr. voda) Plinovi (širenje sve do potpunog ispunjavanja raspoloživog ograničenog prostora) (npr. zrak – mješavina plinova) Plinovi Kapljevine (*VRIJEDI ZA IDEALNU TEKUĆINU)

3 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA
HIPOTEZA KONTINUUMA U mehanici tekućina zamišlja se kontinuirano raspodijeljena masa tvari po prostoru - (u svakoj točci prostora postoji tvar određene mase). Kontinuum je moguće dijeliti na vrlo male volumene a da se pri tome ne izgube njegove fizikalne karakteristike. HOMOGENE I NEHOMOGENE TEKUĆINE Homogene su one koje u svakoj točci prostora imaju iste vrijednosti promatrane fizikalne veličine.

4 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - kapljevina
Kapljevina čak i pri vrlo visokim tlakovima ostvaruje vrlo malu promjenu volumena. U većini praktičnih inženjerskih problema tretiraju se kao nestišljive (promjena tlaka od 1bar pri sobnoj temperaturi rezultira sa promjenom volumena vode za samo 0,005%). U pojedinim inženjerskim problemima ( npr. vodni udar ) stišljivost ima važnu ulogu te se ne može zanemariti. Uteg U kapljevini se razmak između molekula ne mijenja Kapljevina Kapljevina

5 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - plinovi
Plinovi se generalno mogu tretirati kao stišljivi. U pojedinim inženjerskim problemima kao što je npr. strujanje zraka pri atmosferskom tlaku (vjetar) sa brzinama <50 m/s se plinovi (u ovom slučaju zrak) mogu tretirati kao nestišljive tekućine. Uteg U plinu se razmak između molekula pod djelovanjem sile mijenja značajno Plin Plin Primjer: Balon napunjen vodom ili zrakom

6 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - gustoća
Gustoća se po definiciji odnosi na masenu gustoću  pri čemu je u volumenu V kontinuirano rasprostranjena masa tekućine m. Gustoća vode pri atmosferskom tlaku (dimenzija M/L3 odnosno SI jedinica kg/m3) U općem slučaju  je ovisan o tlaku p (N/m2) i temperaturi T (˚K) odnosno  = f(p,T).

7 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - gustoća
U općem slučaju  je ovisan o tlaku p (N/m2) i temperaturi T (K) odnosno  = f(p,T). Ukupna promjena gustoće tekućina može se opisati sa parcijalnim promjenama pri konstantnoj temperaturi i konstantnom tlaku: T – izotermni koeficijent stišljivosti (1/Pa) P – toplinski koeficijent izduženja (1/K) Za nestišljive tekućine vrijede odnosi T = P = 0.

8 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - elastičnost
Volumni modul stlačivosti kojeg u mehanici tekućina kolokvijalno zovemo modul elastičnosti, predstavlja omjer promjene tlaka i time izazvane relativne promjene volumena Za vodu EF  2*109 Pa u rješavanju većine inženjerskih problema zanemarujemo stišljivost vode. Barotropne tekućine - stišljive tekućine u kojima gustoća ovisi samo o tlaku  = f(p). Adijabatski proces - proces u kojem je (točno određena masa) tekućine toplinski izolirana od okoline pa sa njom nema ni toplinske izmjene. Između modula elastičnosti tekućine EF i koeficijenta stišljivosti (kompresibilnosti T) vrijedi EF = 1/T . Ovu sliku maknut sa verzije za Internet

9 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - viskoznost
Definirali smo tekućinu kao tvar koja kontinuirano mijenja oblik pri tangencijalnim (posmičnim) naprezanjima ma kako male bile sile koje ih uzrokuju. (primjer brod) Idealna tekućina je tekućina koja uslijed djelovanja sila ne prima posmična naprezanja Realna tekućina Iz iskustva je poznato da u slučaju strujanja tekućine po nekoj plohi ili uz plohu, postoji sila tekućine na plohu (tijelo) i obratno. Profil brzina

10 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - viskoznost
Svojstvo tekućine da pruža otpor promjenama oblika se naziva viskoznost Sila trenja je posljedica viskoznosti odnosno unutarnjeg trenja kao temeljnog svojstva realne tekućine. Uslijed međusobnog djelovanja susjednih djelića tekućine dolazi do deformacije djelića tekućine kao posljedica naprezanja uzrokovanih trenjem. Trenje je uzročnik nastalih gubitaka mehaničke energije. (nepovratnog pretvaranja u toplinu)

11 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - viskoznost

12 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - viskoznost
Dolazi do deformacije fluidnog elementa - promjene profila brzina Odgovarajuće tangencijalno naprezanje je definirano konstitutivnom jednadžbom Newton-ove tekućine : Koeficijent proporcionalnosti  naziva se dinamički koeficijent viskoznosti i ima jedinicu Pa s. Dijeljenjem dinamičkog koeficijenta viskoznosti sa gustoćom dobiva se kinematski koeficijent viskoznosti (neovisan o gustoći)  =  /  sa pripadnom jedinicom  m2/s .

13 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA - viskoznost
Realne tekućine se dijele na Newton-ove tekućine i anomalno viskozne tekućine (Ne-Newtonove tekućine). Reologija se bavi proučavanjem odnosa između deformacija i naprezanja u tekućinama uslijed pojave trenja. Reološki dijagram tekućina definira odnose između tangencijalnih naprezanja i promjene brzine

14 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA – gustoća i viskoznost
Gustoća i viskoznost vode Gustoća i viskoznost zraka Gustoću zraka ćemo u okviru ovog tečaja zanemarivat (osim kod definiranja sile otpora oblika)

15 Jednadžba stanja tvari
Fazni dijagram (p-T projekcija) Nadmorska visina Temperatura ključanja vode - 400 (Mrtvo more) 101 100 300 99 600 98 1500 95 3000 91 8000 80

16 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA – kapilarnost
Na molekule kapljevine, koje se nalaze u mirovanju, djeluju međusobno privlačne sile sa radijusom djelovanja rM =10-9 m. Na kontaktnoj površini dviju nemješajućih kapljevina ili kapljevine i plina djeluju molekularne privlačne sile obje tekućine. Privlačne sile molekula plina na molekule kapljevine su zanemarivo male. Ukoliko se jedna kapljica tekućine manje gustoće položi na tekućinu veće gustoće, tekućina manje gustoće će zadržati svoj oblik kapljice ili će se razliti u obliku tankog filma po površini gušće tekućine (nafta na vodi ili voda na živi).

17 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA – kapilarnost
Ako su molekule kapljevine na udaljenosti a > rM od kontaktne površine sa plinom - sile na molekulu djeluju istim intenzitetom u svim smjerovima (rezultantna sila FM = 0). (to su molekule unutar tekućine) Ako su molekule kapljevine na udaljenosti a < rM sile nisu uravnotežene (rezultantna FM  0). (to su molekule uz površinu - vodno lice) Na kontaktnoj površini ostaje onaj broj molekula koji je minimalno potreban za formiranje slobodnog vodnog lica.

18 živa i staklo voda i staklo
KARAKTERISTIKE TEKUĆINA – površinska napetost Kada kapljevina dodiruje stjenku krutog tijela njezine molekule su pod utjecajem obje kontaktne tekućine (plina i kapljevine) i «krute» granice (adhezivne sile). Ukoliko su privlačne sile između čvrste stjenke i molekula tekućine znatno veće nego privlačne sile između molekula tekućine, tekućina će u blizini čvrste stjenke imati tendenciju širenju po njoj. Naponi na kontaktnoj plohi nazivaju se kapilarni naponi. Tanke cjevčice u kojima je efekt kapilarnosti vrlo izražen nazivaju se kapilare. živa i staklo voda i staklo

19 KARAKTERISTIKE TEKUĆINA – površinska napetost
Naponi  na zakrivljenom segmentu kontaktne plohe dA imaju rezultantu dFn koja predstavlja silu okomitu na taj segment. Rezultanta dFn proporcionalna je zakrivljenosti segmentne plohe. Rezultantni tlak pK Pa definiran je odnosom pK = dFn /dA i izrazom:

20 HIDROSTATIKA - tlak Ravnotežna stanja, kao i u slučaju promatranja krutog tijela, vežu se uz tekućinu u apsolutnom ili relativnom mirovanju. Tada nema pojave posmičnih naprezanja, već samo normalnih, odnosno tlakova. Tlak je skalarna veličina koja ovisi o položaju p(x,y,z). Analiziramo raspodjelu tlaka na djelić tekućine u mirovanju (ravnoteža vanjskih sila).

21 HIDROSTATIKA - tlak U z smjeru na promatrani djelić djeluju masene sile (težina) i površinske sile (sile tlaka) : Ravnoteža je ostvarena ukoliko su sve vanjske sile u ravnoteži: Usvajanjem razlike tlaka p između “gornje” i “donje” plohe dobiva se:

22 HIDROSTATIKA - tlak Prelaskom na z0 dobiva se jednakost :
Prema tome, u hidrostatskim uvjetima i u vertikalnom smjeru postoji gradijent tlaka koji djeluje suprotno od smjera djelovanja sile teže. Stoga se tlakovi povećavaju s povećanjem dubine, s intenzitetom ovisnim o gustoći tekućine . Kako u horizontalnom smjeru nema masenih sila (ubrzanja) nema ni promjene tlaka u tom smjeru. Za dobivanje apsolutnog iznosa tlaka potrebno je integrirati gornji izraz po varijabli z.

23 HIDROSTATIKA - tlak Za konstantu integracije moguće je odabrati apsolutnu nulu tlaka p0= 0 Pa (vakum) ili relativnu nulu patm koja odgovara atmosferskom tlaku, te se najčešće upotrebljava u tehničkoj praksi (prel= paps - patm ). Standardni atmosferski tlak definira se za 15 0C, iznad površine mora, te iznosi paps = 1,013 bar = 1,013*105 Pa. U većini inženjerskih problema debljina sloja tekućine je toliko mala da se gustoća može usvojiti kao konstantna po vertikali. Stoga je prirast tlaka po vertikali linearan:

24 HIDROSTATIKA - površinske sile
Tekućina miruje => Djeluju samo gravitacione sile (Inercijalne sile i sile trenja su jednake nuli) Na mali (elementarni) volumen tekućine djeluju površinske sile okolne tekućine preko kontaktnih površina. A je površina na elementarnom volumenu tekućine a FP tlačna sila koja djeluje na tu površinu. Y

25 HIDROSTATIKA- površinske sile
, ,  kutovi između osi x,y,z i normale na površinu A pa vrijede odnosi: Ax = Acos, Ay = Acos, Az = Acos Uvjeti ravnoteže za površinske sile tlaka na tetraedar u tri koordinatna smjera (x, y, z) glase: px Ax – p A cos = Ax = A cos py Ay – p A cos = 0 uvrštavanjem površina Ay = A cos pz Az – p A cos = Az = A cos Dobiva se Pascalov zakon (tlak je u svim smjerovima jednakog intenziteta) px = py = pz Zaključci u vezi sile tlaka važeći su i u slučaju djelovanja tlaka na površinu čvrste konture. y

26 HIDROSTATIKA- površinske sile
Sila tlaka na površinu Sila tlaka koja djeluje okomito na površinu dA predstavlja vektorsku veličinu sa vrijednosti dA = endA (usmjerena površina sa vektorom vanjske normale ). Tlak djeluje uvijek okomito na plohu (zašto???)

27 HIDROSTATIKA- površinske sile
Sila tlaka na djelić tekućine Promatramo jedan mali djelić tekućine proizvoljnog oblika i volumena V s pripadnom masom m =V. Na infinitezimalne površine dA djeluju samo normalne sile tlaka jer je okolna tekućina u mirovanju. Tlak u koordinatama ishodišta x = y = z = 0 označavamo s p0 Tlak na površinu A može se izraziti razvojem Taylorovog reda:

28 HIDROSTATIKA- površinske sile
Komponenta sile tlaka dFx = dFx1 – dFx2 = (p1-p2)dAX djeluje normalno (okomito) na površinu dAx u x smjeru. Komponenta sile tlaka na promatrani djelić tekućine u x – smjeru FPx = INT (dFx) dobiva se integracijom po volumenu *V = INT (dVx) ( šrafirani dio volumena sa gornje slike dVx = xdAx ). Do istog rezultata dolazi se i na način da se promatra elementarni volumen tekućine u obliku kvadra. * Ovdje zapravo Δx služi da se izračuna prirast tlaka i množi se sa gradijentom tlaka da se dobije ukupni prirast

29 HIDROSTATIKA- površinske sile
Sila tlaka na tekućinu konačnog volumena V Analizira se proizvoljno odabrani volumen V (pazi, nije elementarni volumen V) koji je omeđen sa površinom A. U infinitezimalnom volumenu dV unutar V sadržana je masa dm = dV na koju djeluje sila tlaka Integracijom po cijelom volumenu V dobiva se ukupna sila tlaka: (GGO teorem) VAŽNO: Iz gornjeg izraza uočiti da se sile tlaka u unutrašnjosti volumena V međusobno poništavaju - ukupno djelovanje tlaka samo kroz djelovanje tlaka po oplošnoj površini dA.

30 HIDROSTATIKA- masene (volumne) sile
Masene vanjske sile na djelić tekućine - apsolutno mirovanje S vektorom označava se gravitaciono ubrzanje koje djeluje na masu m a čime se dobiva i odgovarajuća sila Pripadna masena sila (sila po jedinici mase) u vektorskom obliku je , odnosno po komponentama: fBx = fBy = 0 ; fBz = - g Hidrostatski tlakovi se mijenjaju po linearnom zakonu te rastu sa povećanjem dubine. U svim točkama horizontalne ravnine na dubini h djeluje isti tlak.

31 HIDROSTATIKA- ravnoteža sila
Ravnoteža djelića tekućine m = V postignuta ukoliko vektorski zbroj masene sile i sile tlaka daje nulu (Euler, 1755). Zaključno, za djelić tekućine u mirovanju s masom m vrijedi ( (temeljna jednadžba hidrostatike). Konzervativno polje sila Može se opisati uz pomoć jedne potencijalne funkcije. Temeljna jednadžba hidrostatike zadovoljena je uz važenje: ; Potencijal masenih sila Za silu težine i centrifugalnu silu specifični potencijali izraženi su na način: (gravitacijski i centrifugalni potencijal)

32 HIDROSTATIKA- TEKUĆINA U MIROVANJU – ekvipotencijale
Zamišljena površina koja povezuje sve točke prostora u kojima vlada tlak istog intenziteta dobiva se tzv. ekvipotencijalna ploha. Kroz svaku točku prostora unutar promatranog volumena prolazi samo jedna ekvipotencijalna ploha. Ekvipotencijalna ploha odgovara plohi na kojoj se nalaze točke istog potencijala masenih sila (uB = konst.). Vektor vladajuće masene sile je okomit na ekvipotencijalnu plohu u svakoj točci tekućine (Isto i za slobodnu površinu na kojoj vlada atmosferski tlak). Ukoliko od masenih sila djeluje samo gravitacija (usmjerena vertikalno prema dolje) ekvipotencijale su položene horizontalno i međusobno su paralelne.

33 HIDROSTATIKA Ukoliko je suma energije položaja i energije tlaka konstantna onda je i suma potencijala masene sile i sile tlaka konstantna bez obzira na prostorni položaj u kojem se nalazi odabrani djelić tekućine. Ukoliko se u masene sile ubroji samo član dobiva se jednakost: dp + gdz = (energetska jednadžba za tekućinu u mirovanju sa obuhvatom energije položaja i tlaka) Zaključno, osnovna jednadžba hidrostatike za nestišljivu tekućinu: Iz gornjeg izraza razvidno da se hidrostatski tlakovi mijenjaju po linearnom zakonu te da rastu sa povećanjem dubine. Nadalje, u svim točkama horizontalne ravnine na dubini h djeluje isti tlak.

34 HIDROSTATIKA Sile tlaka koja se pojavljaju na dno posuda istih površina A su jednake usprkos različitim oblicima bočnih kontura posude. Tlakovi na dnu posuda su jednaki ukoliko je u svim posudama razina vodnog lica u istoj horizontalnoj ravnini (hidrostatski paradoks)

35 HIDROSTATIKA- Primjeri
Uz rubni uvjet da na slobodnoj površini djeluje atmosferski tlak (p0= patm) dobiva se dijagram raspodjele tlaka po konturi.

36 HIDROSTATIKA- Primjeri
Dijeljenjem tlaka p sa g dobiva se tzv. tlačna visina koja u zbroju s članom geodetske visine z rezultira piezometarskom visinom. Piezometarska visina (razina) je konstantna, bez obzira na položaj promatranog djelića tekućine u mirovanju.

37 HIDROSTATIKA- Primjeri
Ukoliko gustoća  nije konstantna po stupcu tekućine potrebno je provesti integraciju na način:

38 HIDROSTATIKA -sile Ukupna sila tlaka dobiva se integracijom tlaka po ukupnoj površini A sačinjenoj od infinitezimala dA. Osim intenziteta sile hidrostatskog tlaka u praksi nas interesira i položaj hvatišta te sile. Analiziramo opći slučaj proizvoljne površine A koja se nalazi u ravnini pod kutem  u odnosu na ravninu vodnog lica. Sa h označavamo dubinu (udaljenost) od vodnog lica do neke točke, a sa  koordinatu u ravnini u kojoj se nalazi i promatrana površina.

39 HIDROSTATIKA -sile Ukupna sila tlaka: pri čemu je: T koordinata težišta, hT dubina težišta promatrane površine A; pT tlak u točki težišta površine A na dubini hT. Hvatište ukupne sile FP izvodi se iz uvjeta ravnoteže momenata.

40 HIDROSTATIKA -sile U mnogim praktičnim primjerima pojavljuje se potreba za primjenom komponentni sile tlaka: Ukupna sila tlaka u horizontalnom smjeru Fx dobiva se umnoškom tlaka pTx = ghTx u točki težišta površine projekcije AX i same površine projekcije AX

41 HIDROSTATIKA- TLAK NA ČVRSTE POVRŠINE – sila tlaka na ravne površine
Osnovna jednadžba glasi: p0 – tlak na vodnom licu z0 (apcisa koordinatnog sustava) p – tlak na proizvoljnoj dubini -z

42 HIDROSTATIKA- TLAK NA ČVRSTE POVRŠINE – sila tlaka na ravne površine
Integracijom po površini A dobiva se i ukupna sila tlaka (označena bez indeksa “P”, FP = F ): zS' – udaljenost točke težišta površine A od z' = 0 u ravnini x-z' pS – tlak u točki težišta površine A Rezultantna sila tlaka F na površinu A jednaka umnošku površine A i razlike tlakova (pS – p0). Tlak nije jednoliko raspodijeljen po cijeloj površini A (linearno se povećava sa prirastom dubine z ili z‘. Zato točka hvatišta rezultante D(xD, zD' ) pada ispod točke težišta S površine A. Primjenjuje se jednadžba ravnoteže momenata oko x i z' osi.

43 HIDROSTATIKA- TLAK NA ČVRSTE POVRŠINE – sila tlaka na ravne površine
Ixx – moment tromosti (inercije) površine A oko osi x Ixz' – centrifugalni moment površine A oko osi x i z‘ Steinerov stavak za momente tromosti površina Ixx = IS + A ( zS' )2 IS - moment tromosti oko osi paralelne sa x a koja prolazi kroz težište S površine A Zaključno, udaljenost e između hvatišta sile tlaka (D) od težišta (S) površine A:

44 HIDROSTATIKA- TLAK NA ČVRSTE POVRŠINE – sila tlaka na ravne površine
x

45 HIDROSTATIKA- TLAK NA ČVRSTE POVRŠINE – sila tlaka na zakrivljene plohe
Promatra se čvrsta zakrivljena ploha sa površinom A koja je dio čvrstog zida na kontaktu sa homogenom tekućinom gustoće  u mirovanju. Rezultantna sila tlaka tekućine na površinu A iznosi: dA – usmjerena površina sa pozitivnim smjerom vanjske normale prema tekućini Ax, Ay, Az – projekcije površine A na y-z, x-z i x-y ravninu.

46 HIDROSTATIKA- TLAK NA ČVRSTE POVRŠINE – sila tlaka na zakrivljene plohe
Horizontalna sila tlaka Fxy kojom tekućina u mirovanju djeluje na proizvoljnu zakrivljenu površinu A po vrijednosti odgovara sumi sila tlakova Fx + Fy na projekcijske površine Ax i Ay u y,z i x-z ravnini. Vertikalna komponenta Fz ukupne sile tlaka F na površinu A dobiva se prema izrazu: VF – volumen stupca kapljevine iznad cijele površine A do ravnine slobodne površine gVF – težina stupca kapljevine iznad

47 HIDROSTATIKA –uzgon Na gornjoj stranici uronjenog tijela djeluje tlak s intenzitetom gh dok sa donje strane tijela djeluje tlak g(h + h). Razlika tlakova prisutna je po cijeloj površini, pa se njihovom integracijom (po cijeloj površini) dobiva tzv. sila uzgona:

48 HIDROSTATIKA- Arhimedov zakon
Čvrsto tijelo je djelomično uronjeno u kapljevinu sa gustoćom F a dijelom se nalazi u kontaktu sa plinom gustoće G. Po cijelom oplošju tijela djeluje sila tlaka. Rezultanta je FP. Ekvipotencijale su horizontalne ravnine. Stoga, komponenta rezultantne sile tlaka FP u horizontalnom smjeru FPx = 0. Rezultantna sila tlaka FP sačinjena je samo od vertikalne komponente FPy = FA (uzgonska sila). za z0 z z2 je  = G (plin) za z1 z z0 je  = F (kapljevina)

49 HIDROSTATIKA- TEKUĆINA U MIROVANJU – Arhimedov zakon
Ukupna sila hidrostatskog uzgona sa smjerom djelovanja vertikalno prema gore: Obzirom da je G << F, pripadna težina plina FBG se zanemaruje. Arhimedov zakon: Tijelo prividno izgubi na svojoj težini koliko teži istisnuta tekućina. Hvatište sile uzgona je u težištu tijela. Kruna je imala veći volumen te je istisnula više vode i postala lakša na vagi. Veći volumen uz istu težinu znači da je manje gustoće tj. da je u zlatu bilo srebra

50 Arhimed Arhimedov zakon je opisan u njegovoj raspravi O plutajućim tijelima. Ako dva tijela iste mase, a različitog obujma, obješena kao na slici, uronimo u tekućinu tijelo većeg obujma istiskuje više tekućine, trpi veći uzgon i postaje lakše od tijela manjeg obujma i vaga više nije horizontalna. Ovim je dokazano da tijelo iste mase a većeg obujma (zlatna kruna) ima manju gustoću zbog dodanog srebra.

51 Arhimedov zakon Sila uzgona je proporcionalna težini istisnute tekućine kg kg 3 kg vode kg

52 Hidrostatska sila na zakrivljene plohe

53 HIDROSTATIKA Vertikalna komponenta sile tlaka jednaka je težini vodenog stupca od promatrane površine do slobodnog vodnog lica: Rasap ukupne sile tlaka na horizontalnu i vertikalnu komponentu je inženjerska prilagodba rješavanju problema u kojima se pojavljuju zakrivljene površine.

54 Uronjeno tijelo Plivajuće tijelo Potonulo tijelo
Težina istisnute tekućine je manja od težine tijela (uronjeno tijelo je lakše npr. sidro)

55 Stabilnost plivajućeg krutog tijela
Prvi uvjet: Pri djelomičnom uranjanju krutog tijela hidrostatski uzgon U po smjeru suprotan od smjera vektora težine krutog plivajućeg tijela G i po veličini jednak težini krutog plivajućeg tijela U = G odnosno za homogeno tijelo gustoće ρT vrijedi Drugi uvjet: Održavanje stabilne ravnoteže

56 Stabilnost plivajućeg krutog tijela
Za male otklone B ≈ B’ Pri čemu je: I moment inercije vodne linije oko osi rotacije V volumen istisnute tekućine Metacentarska visina TM definirana kao TM = BM – BT za uvjet stabilnog plivanja mora biti veća od nule a na brodovima je obično 0,5 do 1,5 m.

57 Stabilnost plivajućeg krutog tijela

58 Kod jedrilice je težište vrlo nisko pa je stabilitet velik

59 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Iako zvuči paradoksalno, gibanje u sustavu relativnog mirovanja tematski pripada poglavlju hidrostatike. Opažač koji se kreće s tekućinom u sustavu relativnog mirovanja oko sebe opaža tekućinu koja se ne giba u odnosu na njega. Prema tome, vanjske sile na elementarni djelić tekućine i u ovom slučaju se nalaze u ravnoteži. Vanjske sile ponovno su sadržane od sile tlaka (uslijed razlike tlakova po površinama promatranog djelića tekućine) i težine.

60 HIDROSTATIKA- relativno mirovanje
APSOLUTNO MIROVANJE RELATIVNO MIROVANJE LINEARNO UBRZANJE RADIJALNO UBRZANJE

61 HIDROSTATIKA- relativno mirovanje
Pri konstantnoj promjeni brzine vozila u vremenu i po pravcu osim djelovanja masene sile u vertikalnom smjeru (gravitaciono ubrzanje aZ = g) prisutna je i horizontalna komponenta (aX  0).

62 HIDROSTATIKA- masene (volumne) sile
Masene vanjske sile na djelić tekućine – relativno mirovanje Osim gravitacionog ubrzanja djeluje još i linijsko ubrzanje (objasnit prirast tlaka)

63 HIDROSTATIKA- masene (volumne) sile
Masene vanjske sile na djelić tekućine – relativno mirovanje Osim gravitacionog ubrzanja djeluje još i radijalno ubrzanje Pri rotaciji djelića tekućine mase m s kutnom brzinom  oko vertikalne osi z osim sile teže (FBZ = mg - vertikalno prema dolje) djeluje i centrifugalna sila FBr = m2r radijalnog smjera u horizontalnoj ravnini. Time masena sila poprima oblik odnosno po komponentama: fBxy = aC = 2r (r = (x2+y2)1/2) ; fBz = - g

64 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Parcijalna promjena tlaka u x-smjeru izražena je sa: Analogno, za 3-D problem vrijedi: Ukoliko se kroz prostor krećemo po liniji istog tlaka (izobare) totalni diferencijal tlaka je jednak nuli:

65 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
U relativnom sustavu, koji se giba u odnosu na apsolutni sustav u mirovanju, vrijedi: Slobodna površina uvijek predstavlja jednu plohu istog tlaka (p=konst.=p0 = patm), a vektor ubrzanja uvijek je okomit na tu plohu (3D) odnosno na liniju-izobaru (2D vertikalni presjek). Primjerice, u posudi u kojoj se nalazi tekućina u apsolutnom mirovanju vodno lice je horizontalno a jedini vektor ubrzanja je gravitaciono ubrzanje s vertikalnim smjerom djelovanja.

66 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Pri konstantnoj promjeni brzine vozila u vremenu i po pravcu osim djelovanja masene sile u vertikalnom smjeru (gravitaciono ubrzanje aZ = g) prisutna je i horizontalna komponenta (aX  0). Za slobodnu površinu primjenjuje se izraz: pa slobodna površina ima formu definiranu jednadžbom:

67 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Postavljanjem ishodišta koordinatnog sustava u točku sredine vozila i u razini vodnog lica (presjecište linija vodnog lica u potpunom i relativnom mirovanju) jednadžba vodnog lica glasi: Za određivanje tlaka u proizvoljnoj točki prostora, na vertikalnoj udaljenosti h od površine vodnog lica, koriste se izrazi:

68 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Slučaj posude koja se okreće oko svoje osi s konstantnom kutnom brzinom logično je vezati uz cilindrični koordinatni sustav. Funkcija vodnog lica se ponovno dobiva iz uvjeta da je rezultantni vektor masenih sila na nju okomit.

69 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Integracijom se dobiva: Dijeljenjem s g te usvajanjem integacijske konstante z2 : Konstanta z2 definira se izborom pozicije ishodišta koordinatnog sustava, i to na poziciji vodnog lica u osi posude prije početka rotacije. To znači da pri nastupu rotacije volumni integral: poprima vrijednost 0.

70 HIDROSTATIKA – relativno mirovanje
Usvajanjem z1 – z2 = z dobiva se: Konačno, jednadžba vodnog lica tekućine u posudi koja rotira s konstantnom kutnom brzinom  oko simetrale definirana je jednadžbom:

71 HIDROSTATIKA- TEKUĆINA U MIROVANJU – ekvipotencijale
Zamišljena površina koja povezuje sve točke prostora u kojima vlada tlak istog intenziteta dobiva se tzv. ekvipotencijalna ploha. Kroz svaku točku prostora unutar promatranog volumena prolazi samo jedna ekvipotencijalna ploha. Ekvipotencijalna ploha odgovara plohi na kojoj se nalaze točke istog potencijala masenih sila (uB = konst.). Vektor vladajuće masene sile je okomit na ekvipotencijalnu plohu u svakoj točci tekućine (Isto i za slobodnu površinu na kojoj vlada atmosferski tlak). Ukoliko od masenih sila djeluje samo gravitacija (usmjerena vertikalno prema dolje) ekvipotencijale su položene horizontalno i međusobno su paralelne.

72 HIDROSTATIKA- TEKUĆINA U RELATIVNOM MIROVANJU – ekvipotencijale
Primjer zajedničkog djelovanja gravitacijske i centrifugalne sile je cilindrična posuda radijusa R koja rotira sa jednolikom kutnom brzinom  oko vertikalne osi posude. Prije početka rotacije posuda je bila ispunjena sa homogenom kapljevinom do visine H. Ekvipotencijale poprimaju zakrivljenu formu (paraboloidi). Kapljevina se na kontaktnoj plohi s konturama posude kreće jednakom apsolutnom brzinom kao i točke konture posude. Promatrano u relativnom sustavu posude, koji se rotira zajedno sa posudom, tekućina miruje (nema promjene udaljenosti između bilo koje dvije točke tekućine)- RELATIVNO MIROVANJE.

73 HIDROSTATIKA- TEKUĆINA U MIROVANJU – ekvipotencijale
Kontinuirana krivulja vodnog lica u vertikalnom presjeku kroz središte rotacije definirana jednadžbom (najniža točka u osi rotacije r = 0 naznačena s zmin = z (r = 0)) : Krivulja vodnog lica u vertikalnoj ravnini je parabola. Površina vodnog lica u 3D ima formu rotacionog paraboloida. Za potpuno određivanje z(r) potrebno je poznati zmin. Ta vrijednost se dobiva temeljem jednakosti volumena kapljevine u posudi prije i za vrijeme rotacije.