8. Magnetska svojstva materijala

Παρουσίαση με θέμα: "8. Magnetska svojstva materijala"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 8. Magnetska svojstva materijala
8.1. Uvod

2 U magnetskom polju sustav se magnetizira, a stupanj magnetizacije sustava karakterizira vektor magnetizacije M. Magnetizacija nastaje djelovanjem elementarnih magnetskih dipola, a definiramo je kao rezultantni dipolni moment jediničnog volumena. Često veza između magnetizacije i magnetskog polja ima linearan oblik: Faktor proporcionalnosti χ nazivamo magnetskom susceptibilnošću sustava. Općenito magnetizacija ovisi o smjeru promatranja, pa je χ tenzor. Mi ćemo se ograničiti na izotropne sustave, a u njima se χ reducira na skalar. Slabi su magneti dijamagneti i paramagneti, a jaki su magneti feromagneti, antiferomagneti i ferimagneti. Većina izolatora i poluvodiča te približno polovica metala jesu dijamagneti. Osim malog broja jakih magneta, preostali materijali jesu paramagneti. Proučavajući slabe magnete, razlikovat ćemo dvije grupe doprinosa. Prva od njih nastaje djelovanjem vanjskog magnetskog polja na unutrašnje elektrone u atomima. To daje dijamagnetizam i paramagnetizam vezanih elektrona (atomski doprinos). Osim atomskog doprinosa, u metalima postoji i doprinos vodljivih elektrona. On se također sastoji od dijamagnetskog i paramagnetskog člana.

3 Dijamagneti Dijamagnetizam nastaje djelovanjem magnetskog polja na orbitalnu elektronsku valnu funkciju. Uključenjem magnetskog polja modificira se elektronsko gibanje oko atoma, koje proizvodi dodatnu električnu struju. Elektroni se u atomima gibaju bez otpora, pa dodatna struja teče dok ne isključimo magnetsko polje. Inducirana struja stvara magnetski dipolni moment, a on se prema Lenzovu pravilu postavlja suprotno od smjera vanjskog magnetskog polja. Magnetsko polje inducira magnetske dipole koji reduciraju njegovo djelovanje U dijamagnetima se inducira magnetizacija čiji je iznos proporcionalan iznosu vanjskog magnetskog polja, no faktor proporcionalnosti je negativan: Dijamagnetizam je općenito svojstvo svih tvari. On nastaje indukcijom magnetskih dipola. Taj je efekt slab, pa pojavu dijamagnetizma često zasjenjuje neko jače magnetsko djelovanje.

4 Paramagneti Pri gibanju oko jezgre elektron stvara električnu struju, a ona proizvodi magnetsko polje. Elektronu orbitalnog momenta l pridružen je magnetski dipolni moment: Osim orbitalnog momenta impulsa l, magnetskom momentu elektrona pridonosi i spin s. Spinski magnetski dipolni moment elektrona iznosi:

5 U atomima se doprinosi pojedinih elektrona zbrajaju u rezultantni magnetski
dipolni moment. U kompletno zaposjednutim energijskim podljuskama magnetsko djelovanje elektrona se poništava. U njima su kvantna stanja pozitivnih i negativnih vrijednosti projekcije orbitalnog momenta impulsa i spina na smjer magnetskog polja simetrično populirana. Rezultantni magnetski dipolni moment podljuske bit će različit od nule samo ako je ona parcijalno zaposjednuta elektronima. Ukupnom magnetskom dipolnom momentu pridonosi i atomska jezgra. No kako je magnetski dipolni moment obrnuto prporcionalan s masom, to je nuklearni magnetski dipolni moment mnogo manji od elektronskoga. Ako je rezultantni magnetski dipolni moment atoma različit od nule, potencijalna energija magnetskog dipola  u magnetskom polju: Energija dipola bit će najniža ako su vektori  i B paralelni. Težeći stanju minimalne energije, mnoštvo dipola u magnetskom polju nastoji se postaviti u smjer polja. To rezultira paramagnetizmom tvari. Magnetizacija je paralelna s magnetskim poljem, a magnetska susceptibilnost pozitivna:

6 Težnja dipola da se postave paralelno vanjskom polju dominirat će pri apsolutnoj nuli temperature. Povišenjem temperature povećavat će se odstupanja dipola od paralelne orijentacije. Paramagnetska susceptibilnost smanjuje se zagrijavanjem sustava, dok dijamagnetska susceptibilnost ne ovisi o temperaturi. Paramagnetska susceptibilnost elektronskog plina u metalima praktički ne ovisi o temperaturi. Zbog Paulijeva principa elektronski plin u metalima ima već i pri apsolutnoj nuli veliku energiju, pa povišenje temperature ne utječe bitnije na energiju elektronskog plina.

7 Jaki magneti Željezo je feromagnet. Kao i paramagnetizam, feromagnetizam nastaje zbog postojanja permanentnih dipola. No, feromagnete karakterizira visok stupanj mikroskopskog uređenja sustava. Pri visokim temperaturama feromagneti prelaze u paramagnetsko stanje. Temperaturu prijelaza pri kojoj iščezava feromagnetizam nazivamo Curieovom temperaturom. Razlika između feromagneta i paramagneta je što u feromagnetima postoji uređena orijentacija elementarnih dipola i bez djelovanja vanjskog magnetskog polja. Feromagnete obilježava svojstvo spontane magnetizacije. U unutrašnjosti feromagneta postoji jako magnetsko polje i onda kada vanjsko polje prestane djelovati. Spontana magnetizacija najveća je pri apsolutnoj nuli jer je tada uređenje feromagneta maksimalno. Povišenjem temperature sve će se veći broj dipola otkloniti od paralelnog usmjerenja. Time se smanjuje spontana magnetizacija. Pri Curievoj temperaturi termička energija nadvladat će energiju vezanja dipola i razoriti feromagnetsko uređenje sustava.

8 Feromagnetskom uređenju slično je antiferomagnetsko uređenje
Feromagnetskom uređenju slično je antiferomagnetsko uređenje. Antiferomagneti sadrže dvije skupine dipola koji se nastoje postaviti antiparalelno. Iznosi dipolnih momenata u obje skupine su jednaki, pa je pri temperaturi apsolutne nule magnetizacija antiferomagneta jednaka nuli. Ako su iznosi antiparalelno postavljenih magnetskih dipola različiti, nastaje pojava ferimagnetizma.

9 Svojstvo ferimagnetizma ima grupa magnetskih oksida koje nazivamo feritima. Za razliku od feromagneta, feriti su električni izolatori, pa su u njima vrtložne struje zanemarive. Ferite koristimo kao magnete za rad u visokofrekventnim uređajima.

10 8.2. Larmorov atomski dijamagnetizam
Promotrimo elektrone u potpuno zaposjednutim atomskim energijskim podljuskama. Pretpostavit ćemo da se elektroni u kružnicama gibaju oko pripadnih jezgara. Uključimo li vanjsko magnetsko polje, promijenit će se magnetski tok kroz površinu koju zatvara elektronska staza. Time u atomima nastaje dodatna električna struja, a ona inducira magnetske momente čija je orijentacija određena Lenzovim pravilom. Inducirani magnetski dipoli nastoje neutralizirati vanjsko magnetsko polje. Neka se elektron mase m i naboja –e giba konstantnim iznosom brzine v oko jezgre u kružnici radijusa ρ. Iznos njegove kutne brzine je:

11 Promotrimo što se događa kada atom stavimo u vanjsko magnetsko polje H
Promotrimo što se događa kada atom stavimo u vanjsko magnetsko polje H . Pretpostavit ćemo da vanjsko polje ne deformira jako elektronsku stazu. Prema Larmorovu teoremu, u magnetskom polju orbitalni moment impulsa l započinje precesijsko gibanje oko smjera polja. Frekvencija tog periodičnog gibanja jest Larmorova frekvencija: Jednako kao i orbitalni moment impulsa, tako i inducirani magnetski moment precedira oko osi magnetskog polja Larmorovom frekvencijom: Vanjsko magnetsko polje bit će slaba smetnja ako je Larmorova frekvencija ωL<< ω0 , elektronske frekvencije vrtnje u slobodnom atomu. Tipične brzine elektrona u atomu jesu v=106 m/s, a radijusi orbita ρ=10-10 m, pa za frekvenciju slobodne rotacije elektrona u atomu dobivamo:

12 Ako je B=1T Larmorova frekvencija iznosi:
Promotrit ćemo djelovanje magnetskog polja na elektron koji bi inače bio potpuno slobodan. Sila magnetskog polja iznosi:

13 Sila djeluje okomito na polje, pa će gibanje elektrona u smjeru polja biti jednoliko. No sila je okomita i na brzinu. Rezultat toga je da u ravnini okomitoj na polje elektronska staza opisuje kružnicu: Za frekvenciju periodičnog gibanja elektrona u ravnini okomitoj na magnetsko polje dobivamo: Ona je dvaput veća od Larmorove frekvencije. Frekvenciju ωc nazivamo ciklotronskom frekvencijom. Gibanje nevezanih elektrona u magnetskom polju sastavljeno je od jednolikog gibanja u smjeru polja i kružnog gibanja s frekvencijom ωc u ravnini okomitoj na polje. Rezultantna staza jest spirala kojoj je os paralelna s magnetskim poljem.

14 Mjerenjem ciklotronske rezonancije efektivnu masu nosioca naboja možemo neposredno odrediti. Zbog djelovanja konstantne magnetske indukcije B elektronska frekvencija nosilaca naboja bit će: Neka u ravnini okomitoj na B djeluje elektromagnetsko polje frekvencije ω. Slično kao i u ciklotronu, nosioci naboja će se ubrzavati. Interakcija elektromagnetskog polja i nosioca naboja bit će to jača što je frekvencija polja ω bliža ciklotronskoj frekvenciji ωc dok ne postignemo uvjet rezonancije: Pri toj frekvenciji apsorpcija elektromagnetskog vala postat će maksimalna. Mjerimo li ciklotronsku frekvenciju mijenjajući kut koji zatvara smjer vektora B s kristalnim osima, možemo odrediti efektivnu masu elektrona i šupljina za različite smjerove. Da bismo ciklotronsku rezonanciju mogli detektirati, ne smije srednji slobodni put nosioca naboja biti premalen, odnosno relaksacijsko vrijeme nosilaca naboja τ mora biti dovoljno veliko. Taj uvjet možemo izraziti relacijom:

15 Ako uzmemo m*= m = 9, kg i B = 1T, za red veličine ciklotronske frekvencije dobivamo 1011 Hz. Pri sobnim temperaturama relaksacijsko vrijeme u poluvodičima i metalima približno varira od s do s. Ono se povećava sa smanjenjem statičkih i dinamičkih defekata u kristalu. Da bismo povećali relaksacijsko vrijeme nosilaca naboja, ciklotronsku rezonanciju obično mjerimo na vrlo čistim uzorcima i pri vrlo niskim temperaturama. Dodatno periodično gibanje elektrona stvara električnu struju: Slijedi: Struja I proizvodi magnetski dipolni moment:

16 P je površina dobivena projekcijom elektronske staze na ravninu okomitu na magnetsko polje.

17 Pri izvodu smo se koristili zornom predodžbom elektronske staze, što nije dopušteno u kvantnoj fizici. U kvantnoj fizici pišemo: Izraz znači prosječnu vrijednost kvadrata udaljenosti težišta elektronskog oblaka od jezgre. Ψ je elektronska valna funkcija. Zbrojimo li prosječne vrijednosti magnetskih momenata elektrona u atomu i rezultantni izraz pomnožimo koncentracijom atoma N, dobivamo magnetizaciju sustava: Suma obuhvaća sve elektrone u unutrašnjim atomskim energijskim podljuskama. Kako je:

18 Za magnetsku susceptibilnost dobivamo:
Vodeći doprinos dijamagnetizmu daju elektroni iz najviših energijskih podljusaka. Protegnutost njihovih valnih funkcija je najveća. Ako pretpostavimo da je N = m-3, r2 srednje približno m2, a u vanjskoj ljusci 10 elektrona dobivamo: Eksperimenti potvrđuju kvalitativnu ispravnost izvedenih rezultata.

19 Redni broj Element -χd 9 F-1 11,8 ×10-11 m3mol-1 17 Cl-1 30,4 ×10-11 m3mol-1 35 Br-1 43,3 ×10-11 m3mol-1 53 I-1 63,6 ×10-11 m3mol-1 2 He 2,4 ×10-11 m3mol-1 10 Ne 9,0 ×10-11 m3mol-1 18 Ar 24,4 ×10-11 m3mol-1 36 Kr 35,2 ×10-11 m3mol-1 54 Xe 54,0 ×10-11 m3mol-1 3 Li+ 0,9 ×10-11 m3mol-1 11 Na+ 7,7 ×10-11 m3mol-1 19 K+ 18,3 ×10-11 m3mol-1 37 Rb+ 27,6 ×10-11 m3mol-1 55 Cs+ 44,0 ×10-11 m3mol-1

20 Iz tablice opažamo: Iznos susceptibilnosti u svakoj grupi raste s porastom rednog broja elementa. Time se povećava i broj elektrona u atomu i njihova prosječna udaljenost od jezgre. Pozitivni ioni imaju manji, a negativni ioni veći iznos susceptibilnosti od odgovarajućih neutralnih atoma. To je posljedica odbijanja istoimenih i privlačenja raznoimenih naboja.

21 8.3. Atomski paramagnetizam
Neka se ujediničnom volumenu nalazi N jednakih atoma, te neka svaki atom djeluje kao permanentni magnetski dipol μ. U magnetskom polju potencijalna energija magnetskog dipola jeste: U osnovnom energijskom stanju sustava svi dipoli su postavljeni paralelno s vektorom magnetske indukcije B. To je najuređenije stanje sustava. Tada je magnetizacija maksimalna:

22 Idealno uređenje sustava narušeno je termičkim gibanjem čestica
Idealno uređenje sustava narušeno je termičkim gibanjem čestica. Što je viša temperatura, to će otkloni magnetskih dipola iz uređenog stanja biti brojniji, a time magnetizacija postaje manja. Možemo očekivati da će pri velikim termičkim energijama odziv sustava na vanjsko polje biti linearan. Pri visokim temperaturama magnetizacija će biti proporcionalna s magnetskom indukcijom: Promotrimo elektrone u parcijalno zaposjednutoj energijskoj podljusci. Zbrajajući doprinose pojedinih elektrona, dobivamo ukupan orbitalni angularni moment L i ukupan spin podljuske S. Njihov vektorski zbroj jednak je ukupnom angularnom momentu podljuske: Budući da parcijalno popunjena energijska podljuska djeluje kao magnetski dipol, u magnetskom polju mijenja se energija atoma. To je Zeemenov efekt.

23 Magnetsko polje postavit ćemo u smjer z-osi
Magnetsko polje postavit ćemo u smjer z-osi. Energija magnetskog dipola u magnetskom polju bit će: Sa z smo označili projekciju magnetskog dipola na smjer magnetskog polja. Njezinu vrijednost nalazimo primjenom prve aproksimacije računa smetnje. Rezultat je: g je spektroskopski faktor. U nerelativističkoj kvantnoj teoriji dobiva se: gdje su S´, L´, J´ i Jz´ kvantni brojevi. Kvantni broj Jz´ može poprimiti vrijednosti:

24 Energijski spektar magnetskog dipola u magnetskom polju
Stoga se u stanju kvantnog broja J´energijski spektar magnetskog dipola sastoji od 2J´+1 ekvidistantnih nivoa, pri čemu je udaljenost susjednih nivoa gBB

25 U stanju termičke ravnoteže pri temperaturi T prosječna vrijednost z-komponente magnetskog dipola jest: Ei je energija dipola u i-tom kvantnom stanju: A suma obuhvaća sve vrijednosti projekcije magnetskog dipola na smjer vektora B. Magnetizaciju sustava dobivamo množeći koncentraciju atoma s prosječnom vrijednosti projekcije magnetskog dipola na smjer polja: Pretpostavit ćemo da je L´=0, a S´= ½. Tada je J´=S´, pa dobivamo: g = 2

26 Kako je J´= ½ slijedi: Za magnetizaciju dobivamo: Ako je:

27 Ako je: Dobili smo Curiev zakon: paramagnetska susceptibilnost obrnuto je proporcionalna s T. Definirajmo kritičnu temperaturu T0 pri kojoj su toplinska i magnetska energija jednake: Ako je B=1T dobivamo T0=1K. To znači da je u paramagnetskim materijalima magnetizacija najčešće proporcionalna s magnetskim poljem. Izuzeci od tog pravila nastat će tek u neposrednoj blizini apsolutne nule u ekstremno jakim magnetskim poljima.

28 Za dijamagnetsku susceptibilnost smo imali
Za omjer dijamagnetske i paramagnetske susceptibilnosti slijedi: Ako u gornji izraz uvrstimo izraz za Bohrov magneton dobivamo:

29 Ako uvrstimo tipične vrijednosti dobivamo:
U nekim sustavima postoji također i Van-Vleckov paramagnetizam. Van-Vleckov paramagnetizam nastaje u atomima u kojima je oblak elektronskog naboja nesimetrično raspoređen oko smjera magnetskog polja. On će biti to veći što su pobuđeni energijski nivoi bliži osnovnom energijskom nivou. Tipična vrijednost Van-Vleckova paramagnetizma mnogo je manja od vodećeg temperaturno ovisnog paramagnetskog člana. Van-Vleckova susceptibilnost kompatibilna je s atomskom dijamagnetskom susceptibilnošću. Premda je dijamagnetizam fundamentalno svojstvo tvari, on može postati efektivan tek ako u osnovnom stanju atomi nemaju permanentan magnetski dipolni moment. Ako zbog simetrične distribucije električnog naboja iščezava i Van-Vleckov paramagnetski doprinos, tada će magnetsko ponašanje atoma imati dijamagnetski karakter.

30 8.4. Paramagnetizam vodljivih elektrona u metalima
Paramagnetska susceptibilnost elektrona u nezatvorenim energijskim podljuskama obrnuto je proporcionalna s temperaturom: U čvrstim tijelima pri sobnim temperaturama ona je približno Mjerenja pokazuju da izraz ne vrijedi u nizu metala. Paramagnetska susceptibilnost alkalijskih metala (Li, Na, K, Rb i Cs) praktički ne ovisi o temperaturi, a njezin je izbos reda veličine Gornji izraz smo izveli uz pretpostavku da su elektroni lokalizirani na područje atoma. Osim lokaliziranih elektrona, magnetska svojstva metala određuju i vodljivi elektroni Slično kao i lokalizirani elektroni, vodljivi elektroni u metalima daju i dijamagnetski i paramagnetski doprinos. Uzrok dijamagnetizmu je promjena orbite vodljivih elektrona u magnetskom polju. Paramagnetizam vodljivih elektrona rezultat je djelovanja magnetskog polja na elektronski spin.

31 Iznos spina elektrona iznosi:
Pa slijedi: Razmotrimo elektronski plin u općenitom periodičnom potencijalu. Energiju elektrona valnog vektora k označit ćemo sa E(k). Pri temperaturi apsolutne nule u svakom orbitalnom stanju određenoga valnog vektora ispod Fermijeva nalaze se dva elektrona suprotnih spinova. Dok na elektrone ne djeluje magnetsko polje, oni će biti ravnopravno smješteni u oba spinska stanja. Stoga je rezultantni magnetski moment elektronskog plina jednak nuli. Elektronski plin u metalima je jako degeneriran, što znači da povišenje temperature samo neznatno modificira funkciju raspodjele vodljivih elektrona.

32 Vanjsko magnetsko polje promijenit će energiju elektrona
Vanjsko magnetsko polje promijenit će energiju elektrona. Potencijalna energija magnetskog dipola iznosi: Već prema tome da li je magnetski dipol μB paralelan ili antiparalelan s vektorom B, za energiju elektrona valnog vektora k u magnetskom polju dobivamo dvije vrijednosti: Energija elektrona paralelne orijentacije niža je od elektrona antiparalelne orijentacije magnetskog momenta. Radi toga će u magnetskom polju dio elektrona preokrenuti svoje magnetske momente u energijski stabilnije stanje. Time nastaje višak elektrona s paralelno orijentiranim magnetskim dipolnim momentom, a to proizvodi rezultantnu magnetizaciju elektronskog plina. Ona ima isti smjer kao i magnetsko polje, spinska susceptibilnost elektronskog plina je pozitivna.

33 Ako je B=1T, dobivamo μBB=10-23J
Ako je B=1T, dobivamo μBB=10-23J. To je mnogo manje od tipične energije vodljivih elektrona u metalu. Magnetsko polje preokrenut će spinove samo malom postotku elektrona, pa spinska susceptubilnost vodljivih elektrona u metalima nije velika. Utjecaj magnetskog polja na raspodjelu vodljivih elektrona u metalima: a) Izvan magnetskog polja elektroni simetrično zaposjedaju kvantna stanja paralelnog i antiparalelnog usmjerenja magnetskoga dipolnog momenta. b)U magnetskom polju energija paralelno orijentiranog dipola se smanjuje, a antiparalelno orijentiranog dipola povećava za μBB. c)Da bi energija sustava bila minimalna, dio elektrona prelazi iz antiparalelnih u paralelno orijentirana stanja.

34 U magnetskom polju elektroni će se raspodijeliti u nova kvantna stanja
U magnetskom polju elektroni će se raspodijeliti u nova kvantna stanja. Promjena gustoće elektronske populacije g(E)ρ(E) bit će ograničena na usko područje, približne širine μBB oko Fermijeve energije. Red veličine efektivne koncentracije vodljivih elektrona koji stvaraju magnetizaciju sustava jednak je umnošku širine energijskog intervala μB s gustoćom stanja pri Fermijevoj energiji g(EF): U Dalje slijedi: Paramagnetska susceptibilnost vodljivih elektrona u metalima proporcionalna je s gustoćom stanja na Fermijevu energijskom nivou. Točniji račun potvrđuje ne samo kvalitativnu nego i kvantitativnu ispravnost gornje relacije.

35 Kako je: Pauli 1927 Slijedi: Gornju relaciju ćemo napisati u obliku: Faktor T/TF reducira susceptibilnost. Redukcija susceptibilnosti posljedica je Paulijeva principa. Svako kvantno stanje može prihvatiti samo jedan elektron, pa će se u magnetskom polju preokrenuti magnetski dipolni momenti samo elektronima s vrha energijske raspodjele. Pri sobnim temperaturama T/TF=0,01, pa je spinska paramagnetska susceptibilnost vodljivih elektrona u metalima relativno mala. Ona je istog reda veličine kao i iznos dijamagnetske susceptibilnosti elektrona iz unutrašnjih energijskih ljusaka (Larmorov dijamagnetizam).

36 8.5. Rezultantna magnetska susceptibilnost slabih magneta
Promatrajući vodljive elektrone kao nosioce permanentnog magnetskog momenta, izračunali smo njihov doprinos paramagnetskoj susceptibilnosti metala: U Sommerfeldovu modelu prethodni izraz postaje: Da bismo kompletirali mikroskopsku sliku o magnetskim svojstvima metala, moramo uvažiti i utjecaj magnetskog polja na orbitalnu valnu funkciju elektrona. Provodeći račun u Sommerfeldovu modelu slobodnog elektrona, Landau je godine izveo izraz za dijamagnetsku susceptibilnost vodljivih elekrona u metalima:

37 Iznos dijamagnetskog člana tri puta je manji od paramagnetskog
Iznos dijamagnetskog člana tri puta je manji od paramagnetskog. Rezultantna magnetska susceptibilnost je pozitivna. Ukupno djelovanje magnetskog polja na stazu i spin slobodnih elektrona je paramagnetsko: Rezultat je izveden u Sommerfeldovu modelu. On prestaje vrijediti ako u razmatranje uključimo djelovanje okoline na elektron, tada primjenjujemo aproksimaciju efektivne mase. Izraz za energiju slobodnog elektrona: Zamijeniti ćemo izrazom: gdje je m* efektivna masa vodljivog elektrona u metalu. Uvođenjem efektivne mase transformiraju se izrazi za paramagnetsku i dijamagnetsku susceptibilnost. Nove izraze označit ćemo sa: χp* i χd* .

38 U paramagnetskom članu izraz za Bohrov magneton ostaje isti kao i u Sommerfeldovu modelu. To je razumljivo jer okolina elektrona ne djeluje na njegov spin. Mijenja se samo izraz za gustoću stanja koji u aproksimaciji efektivne mase postaje: Fermijeva energija bit će: Slijedi: Za paramagnetsku spinsku susceptibilnost vodljivih elektrona u metalima slijedi:

39 Zamjenom m sa m* u izrazu za dijamagnetsku susceptibilnost ne mijenja se samo Fermijeva energija nego i Bohrov magneton. Bohrov magneton je sada: Za dijamagnetsku susceptibilnost elektronskog plina u modelu efektivne mase dobivamo: χd je Landauov izraz za dijamagnetsku susceptibilnost slobodnih vodljivih elektrona. Rezultat da je utjecaj magnetskog polja na deformaciju elektronske staze obrnuto proporcionalan s efektivnom masom možemo lako razumjeti. U magnetskom polju na elektron djeluje sila:

40 Kako je: Slijedi da je iznos sile obrnuto proporcionalan s efektivnom masom m*: Što je manja efektivna masa, to će deformacija elektronske staze biti veća, a to povećava dijamagnetski efekt. U Sommerfeldovu modelu je: Dok je u modelu efektivne mase: Pa za rezultantnu susceptibilnost vodljivih elektrona u metalu dobivamo:

41 Ako je efektivna masa elektrona dovoljno mala, dijamagnetski efekt dominirat će nad paramagnetskim. Elektroni u bizmutu imaju malu efektivnu masu, pa je njihovo rezultantno djelovanje dijamagnetsko. U AIIIBV poluvodičima efektivna masa elektrona u vodljivoj zoni desetak je puta manja od mase slobodnog elektrona, pa imamo dijamagnetizam. Ako je u vodiču efektivna masa približno jednaka ili veća od mase slobodnog elektrona, vodljivi elektroni proizvodit će paramagnetski efekt (to se događa u alkalijskim metalima). Ukupna susceptibilnost metala jednaka je zbroju susceptibilnosti vodljivih elektrona i elektrona unutrašnjih energijskih podljusaka. Pritom elektroni iz parcijalno okupiranih energijskih podljusaka djeluju paramagnetski. U metalima grupe željeza paramagnetizam nastaje zbog nezatvorene 3d-podljuske. U kobaltu, željezu i niklu međudjelovanje magnetskih momenata toliko je jako da se u tim metalima stvara feromagnetsko uređenje. U metalima s popunjenim unutrašnjim energijskim podljuskama u kojima je Van Vleckov paramagnetizam zanemariv, djelovanje vezanih elektrona bit će dijamagnetsko. Taj efekt raste s povećanjem prosječne udaljenosti elektrona od jezgre. Dijamagnetizam plemenitih metala (Cu, Ag i Au) objašnjavamo velikom protegnutošću elektronskih valnih funkcija u unutrašnjim stanjima. Suprotno metalima, u kojima vodljivi elektroni mogu davati vodeći doprinos magnetskom ponašanju materijala, u izolatorima i poluvodičima s malom koncentracijom efektivnih nosilaca naboja taj je doprinos zanemariv. U njima su magnetska svojstva određena valnim funkcijama vezanih elektrona. Stoga su većina izolatora i poluvodiča dijamagneti. Taj zaključak ne vrijedi za one poluvodiče i izolatore u kojima paramagnetski Van Vleckov doprinos dominira nad dijamagnetskim Larmorovim doprinosom. Oni će biti paramagneti.

42 Ako je koncentracija efektivnih nosilaca naboja u poluvodiču velika, tada moramo pribrojati i njihov doprinos. Rezultantni efekt efektivnih nosilaca naboja bit će paramagnetski ili dijamagnetski, što ovisi o tome da li je Paulijeva spinska susceptibilnost veća ili manja od iznosa Landauove dijamagnetske susceptibilnosti.

43 8.6. Feromagnetizam θ/K Tt/K Fe 1043 1808 Co 1404 1768 Ni 631 1726 Gd
Fundamentalno svojstvo feromagneta je spontana magnetizacija. U feromagnetima magnetizacija postoji i izvan djelovanja vanjskoga magnetskog polja. Ona je maksimalna pri temperaturi apsolutne nule, a zagrijavanjem kristala postaje sve manja te konačno iščezava pri Curieovoj temperaturi. Iznad Curieove temperature feromagneti se ponašaju poput paramagneta. θ/K Tt/K Fe 1043 1808 Co 1404 1768 Ni 631 1726 Gd 289 1585 Curieove temperature i temperature tališta nekih feromagneta

44 Unutrašnjost feromagneta sastavljena je od sitnih područja koje nazivamo domenama. U svakoj domeni postoji uređena orijentacija dipola. Rezultat unutrašnje uređenosti domene jest spontana magnetizacija Ms(T). Pri temperaturi apsolutne nule svi elementarni dipoli u domeni postavljeni su paralelno. To proizvodi maksimalnu spontanu magnetizaciju Ms(0). Iako ispod curieve temperature u svakoj domeni postoji spontana magnetizacija, ona se mora manifestirati makroskopski. Spontane magnetizacije različitih domena mogu se poništavati, a tada magnetizacija uzorka iščezava.

45 Nastajanje domena u monokristalu
Postojanje domena kvalitativno objašnjavamo težnjom sustava da zauzme stanje najniže energije. U termičkoj ravnoteži pri konstantnom volumenu i konstantnoj temperaturi slobodna energija sustava F=U-TS mora biti minimalna. Zbog pravilne orijentacije dipola entropiju feromagneta možemo zanemariti, pa će zahtjev minimalne slobodne energije praktički biti realiziran pri minimalnoj unutrašnjoj energiji sustava. Magnetska energija je maksimalna u homogenom sustavu. Ona se smanjuje ako sustav podijelimo na veći broj podsustava. Time objašnjavamo nastajanje domena u feromagnetima.

46 Nastajanje magnetskih domena i promjena energije feromagneta prema stanju u kojem su svi dipoli paralelni, a ukupna magnetska energija iznosi E0: Energija okolnog magnetskog polja, Energija proporcionalna površini (odnosno volumenu) Blochovih stijenki Suma energija a i b Za formiranje domena potrebna je određena energija. Veličine domena određene su uvjetom da bi dalje sniženje magnetske energije, dobiveno redukcijom na još sićušnije podsustave, bilo manje od energije potrebne za stvaranje površinskog sloja između domena. Tipične linearne dimenzije domena jesu 10-3 do 10-2 cm. Unatoč maloj protegnutosti, domena sadrži mnoštvo atoma. Ako je atomska koncentracija cm-3, u domeni volumena 10-9 cm3 nalazit će se atoma.

47 Preorijentacija dipola u graničnom području dviju domena

48 Krivulja histereze Proces magnetiziranja makroskopskog uzorka feromagneta opisan je krivuljom histereze. Povećanjem vanjskog magnetskog polja raste broj domena u kojima je spontana magnetizacija postavljena paralelno sa smjerom polja. U dovoljno jakom polju spontane će magnetizacije u svim domenama biti paralelne s vanjskim poljem, pa dolazimo do točke A u kojoj je magnetizacija uzorka dosegla vrijednost zasićenja. Smanjujemo li vanjsko polje, smanjivat će se i magnetizacija jer će sve veći broj domena orijentirati svoje magnetizacije nasumce. Međutim i pri H=0 neke domene zadržat će paralelnu orijentaciju spontane magnetizacije. One proizvode remanentnu magnetizaciju uzorka Mr.

49 Magnetizacija feromagneta pada na nulu tek ako primijenimo dovoljno jako magnetsko polje suprotnog smjera –Hc. Nazivamo ga koercitivnim poljem. U njemu se uzorak demagnetizira. Daljim povećanjem suprotnog polja uzorak se magnetizira u suprotnom smjeru, da bi u točki B dosegao maksimalan iznos. Slabljenjem suprotnog polja magnetizacija opada i pri H=0 preostaje negativna remanentna magnetizacija –Mr. Nju možemo ukloniti primjenom polja Hc. Nastavimo li pojačavati polje, magnetizacija će se povećavati dok konačno krivulja histereze ponovno ne dođe do točke A. Za reorijentaciju magnetizacije u feromagnetu potrebno je obaviti rad. Površina obuhvaćena petljom histereze mjeri rad vanjskog polja pri jednom ciklusu magnetiziranja uzorka. Taj se rad pretvara u toplinu. Feromagnete u kojima su vrijednosti remanentne magnetizacije i koercitivnog polja velike nazivamo tvrdim feromagnetima. Oni imaju široku petlju histereze, te ih koristimo za pravljenje permanentnih magneta. Mekani feromagneti imaju male vrijednosti koercitivnog polja i usku petlju histereze. Zato ih možemo lagano demagnetizirati. Oni se upotrebljavaju u uređajima u kojima se ciklus histereze periodično ponavlja, pa je poželjno da disipacija energije bude što manja. Iz mekanih feromagneta pravimo jezgre za transformatore, generatore izmjeničnih struja....Povećanjem frekvencije polja povećava se gubitak energije koji nastaje zbog induciranih vrtložnih struja u feromagnetu. Da bi se to izbjeglo magnetske jezgre u visokofrekventnim uređajima ne izrađuju se od feromagneta nego od ferita.

50 8.7. Weissova teorija feromagneta
Da bismo objasnili kako nastaje feromagnetizam, moramo uvažiti korelaciju elektrona. Osnovne kvantne teorije feromagnetizma razvili su nezavisno Frenkel i Heisenberg. Oni su uzrok feromagnetizma potražili u spinskom međudjelovanju. Feromagneti Ni, Co, Fe pripadaju skupini prijelaznih metala prve grupe. U njima su kvantna stanja 3d-podljuske samo djelomično zaposjednuta, pa je rezultantni spin različit od nule. Prema Heisenbergovoj teoriji potencijalna energija spinskog međudjelovanja i-tog i j-tog atoma određena je izrazom: Parametar Aij povećava se sa stupnjem prekrivanja elektronskih oblaka centriranih na i-ti i j-ti atom. Nazivamo ga integralom izmjene. Spinove izražavamo u bezdimenzionalnim jedinicama, pa integral izmjene Aij ima dimenziju energije. Što se jače prekrivaju elektronski oblaci i-tog i j-tog atoma, to će integral izmjene Aij biti veći. Budući da elektronske valne funkcije vrlo brzo opadaju s rastućom udaljenošću, prekrivanje je praktički ograničeno samo na elektrone iz susjednih atoma.

51 Pri temperaturi apsolutne nule spinovi Si i Sj postavit će se tako da energija međudjelovanja Eij bude minimalna. Taj uvjet daje kriterij za pojavu feromagnetizma. Paralelna orijentacija vektora Si i Sj bit će energijski najstabilnija ako je: U feromagnetima integral izmjene mora biti pozitivan. Ako je gornji uvjet ispunjen, u najnižem energijskom stanju sustava spinovi atoma bit će orijentirani paralelno. Spin stvara magnetski dipol, pa će u osnovnom stanju svi magnetski dipoli u domeni imati istu orijentaciju. U unutrašnjosti feromagneta magnetski dipoli spontano izgrađuju vlastito magnetsko polje. Međudjelovanje dipola možemo aproksimativno opisati teorijom koja je bazirana na predodžbi da se svaki magnetski dipol nalazi u usrednjenom polju svih ostalih magnetskih dipola. Prema toj teoriji, koju nazivamo teorijom srednjeg molekulskog polja, u unutrašnjosti feromagneta djeluje dodatno magnetsko polje koje je proporcionalno s magnetizacijom sustava:

52 Faktor proporcionalnosti γ izražava jačinu međudjelovanja magnetskih dipola. On raste s porastom integrala izmjene. Izraz je postavio godine Weiss kao ishodište svoje fenomenološke teorije. Tek je naknadno Heisenbergova kvantnomehanička mikroskopska teorija objasnila Weissovo polje BW kao rezultat spinske interakcije elektrona. Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo da se elementarni magnetski dipoli mogu postaviti samo u dva međusobno antiparalelna položaja. Za magnetizaciju takvog paramagneta vrijedi: Prelazeći na razmatranje feromagneta izraz za magnetsku indukciju proširit ćemo s Weissovim članom γM. Pri tome uvrštavamo da je vanjsko polje jednako nuli, pa dobivamo odredbenu jednadžbu za spontanu magnetizaciju:

53 1. Najprije ćemo razmotriti stanje sustava pri temperatuti apsolutne nule:
U limesu apsolutne nule spontana magnetizacija teži maksimalnoj vrijednosti. Pri temperaturi apsolutne nule svi magnetski dipoli u domeni postavljaju se paralelno izgrađujući jako unutarnje polje 2. Izračunat ćemo spontanu magnetizaciju u domeni pri proizvoljnoj temperaturi ispod Curieove temperature:

54 Grafičko određivanje spontane magnetizacije
Što je viša temperatura, to je nagib pravca a(T)y veći, pa će njegovo sjecište s krivuljom thy biti bliže ishodištu. To znači da se povišenjem temperature smanjuje spontana magnetizacija. Pri dovoljno visokoj temperaturi θ pravac a(θ)y postaje tangenta na krivulju thy. Pri toj temperaturi iščezava spontana magnetizacija. To je Curieva temperatura. Pri temperaturi θ feromagnet prelazi u paramagnetsku fazu. Budući da za mali y približno vrijedi:

55 Kako je: Curieva temperatura je proporcionalna s parametrom γ. Taj smo parametar uveli kao veličinu koja raste s povećanjem stupnja spinskog međudjelovanja. Što je jače spinsko međudjelovanje, to će Curieova temperatura biti viša. Uređeno stanje mnoštva dipola u domeni nastaje zbog spinskog međudjelovanja. Jačina međudjelovanja proporcionalna je s integralom izmjene Aij. Uz zadanu jačinu međudjelovanja, stupanj uređenja sustava mijenjat će se s temperaturom. S povišenjem temperature smanjuje se pravilnost u rasporedu magnetskih dipola, a time se smanjuje i spontana magnetizacija. Pri Curieovoj temperaturi θ termička energija kBθ prevladat će energiju spinskog međudjelovanja. Tada će spontana magnetizacija domene pasti na nulu. Pri Curievoj temperaturi razara se feromagnetsko uređenje sustava.

56 Temperaturna ovisnost spontane magnetizacije u domeni
U blizini temperature apsolutne nule spontana magnetizacija sporo opada s povišenjem temperature. Što je temperatura bliža Curievoj temperaturi, pad spontane magnetizacije postaje sve brži. Takav oblik krivulje MS(T) posljedica je međudjelovanja magnetskih dipola. Najteže će se preokrenuti prvi dipoli jer na njih djeluje jako molekulsko polje koje proizvode svi ostali dipoli. Što je broj preokrenutih dipola veći, to će molekulsko polje u domeni biti slabije, paće termička energija potrebna za reorijentaciju dipola postajati sve manja. Blizu temperature prijelaza θ već će i mali prirast temperature dostajati za preokretanje velikog broja magnetskih dipola. Time tumačimo zašto je temperaturni prijelaz iz feromagnetske u paramagnetsku fazu vrlo oštar.

57 U paramagnetskoj fazi spontana magnetizacija ne postoji
U paramagnetskoj fazi spontana magnetizacija ne postoji. Iznad Curieve temperature magnetizacija se stvara tek djelovanjem vanjskog magnetskog polja: Pri visokim temperaturama termička energija mnogo je veća od magnetske energije: Pa slijedi:

58 Gornji izraz napisat ćemo u obliku:
To je Curie-Weissov zakon. Možemo ga usporediti sa Curievim zakonom: Pomaknemo li u Curie-Weissovom izrazu ishodište temperaturne osi iz nule u točku TC, Curie-Weissov zakon će prijeći u Curiev zakon. Slijedi: Eksperimenti pokazuju da je temperaturni parametar TC redovito malo viši od Curieove temperature θ.

59 TC/K (TC-θ)/K Fe 1093 50 Co 1428 24 Ni 650 19 Temperatura TC i razlika temperatura TC-θ za neke feromagnete Curie-Weissov zakon možemo napisati u obliku:

60 Eksperimentalna (e) i teorijska (t) krivulja temperaturne ovisnosti susceptibilnosti
feromagneta u paramagnetskoj fazi

61 Domaća zadaća: Promatrajući elektron koji se u kružnici polumjera ρ giba oko jezgre, izvedite izraz za Larmorovu frekvenciju u magnetskom polju. Promatrajući sustav jednakih dipola u magnetskom polju, pokažite da je magnetizacija jednaka negativnoj derivaciji slobodne energije po magnetskoj indukciji. Odredite magnetizaciju mnoštva jednakih magnetskih dipola ako projekcija dipola na smjer magnetskog polja može poprimiti vrijednosti , 0 ili -. Primjenom dobivenog izraza izvedite formulu za magnetsku susceptibilnost ako je kBT >> B. Izvedite izraz za atomsku paramagnetsku susceptibilnost pretpostavljajući da kut između magnetskog polja i magnetskog momenta  može biti proizvoljan.