ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 2 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Λύση της Δ.Ε. Αρμονικού Ταλαντωτή Γραφική Αναπαράσταση Αρμονικής Ταλάντωσης Ταχύτητα και Επιτάχυνση στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση Διερεύνηση της Εξίσωσης της Αρμονικής Ταλάντωσης Ενέργεια Αρμονικού Ταλαντωτή

2 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
Επίδειξη – Παρατήρηση Με τη βοήθεια του mouse μετακινείστε τη σφαίρα που βρίσκεται στον δίσκο στην περιφέρεια του δίσκου. Κυκλική Κίνηση και Αρμονική Ταλάντωση Ρυθμίσεις 1: Γωνιακή ταχύτητα δίσκου: ω=4,5 rad/s Σταθερά ελατηρίου k=1,4 Αρχική ταχύτητα μάζας υ0=0 m/s Πλάτος ταλάντωσης Α=75 Η ανάλυση της προσομοίωσης να γίνει στον Πίνακα Ρυθμίσεις 2: Γωνιακή ταχύτητα δίσκου: ω=1,2 rad/s Σταθερά ελατηρίου k=0,1 Αρχική ταχύτητα μάζας υ0=0 m/s Πλάτος ταλάντωσης Α=75 Η κίνηση της μάζας του ελατηρίου ταυτίζεται με την κίνηση της προβολής της περιστρεφόμενης σφαίρας πάνω στο x-άξονα

3 είναι η αρχική φάσης της ταλάντωσης
ΛΥΣΗ ΤΗΣ Δ.Ε. ξ1 = α cos(ωt) Μερικές Λύσεις ξ2 = a sin(ωt) Γενική Λύση Δ.Ε.: ή ισοδύναμα: Όπου: είναι το πλάτος της ταλάντωσης είναι η αρχική φάσης της ταλάντωσης

4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ Δ.Ε. Γενική Λύση Δ.Ε.:

5 ω2 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Όπου: Ελατήριο – Μάζα Απλό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές
ΤΑΛΑΝΤΟΥΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ω2 ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f (s-1 ή Hz ) ΠΕΡΙΟΔΟΣ T (sec) Ελατήριο – Μάζα Απλό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές Στροφικό Εκκρεμές Πλωτήρας x = A cos(ωt+φ) θ = θmax cos(ωt+φ) θ = θmax cos(ωt+φ) θ = θmax cos(ωt+φ) y = A cos(ωt+φ) Όπου:

6 ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
t ξ ξ(t) = ξmax cos(ωt+φ) T Περίοδος: Τ ξmax ξ0 ξ0= ξ(0) = ξmax cos(φ) -ξmax Συχνότητα: Γωνιακή Συχνότητα :

7 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Συνοριακή συνθήκη t=0 s : Θέση : x(t) = Α cos(ωt + φ) x(0) = x0 = Α cos(φ) Ταχύτητα : υmax = ω Α Επιτάχυνση: amax = ω2Α

8 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ x=0 x=x0 x=-x0 (α) x=x0 ; υ=0 ; a=-amax (β) x=0 ; υ=-υmax ; a=0 (γ) x=-x0 ; υ=0; a=amax (δ) x=0 ; υ=υmax ; a=0 (ε) x=x0 ; υ=0 ; a=-amax

9 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0
x = A cos(ωt+φ)  x0 = A cos(φ) x A t x0 = A  φ = 0 rad x0 = - A  x -A t φ = π rad

10 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0
x = A cos(ωt+φ) x0 = A cos(φ) υ0 = -υmax sin(φ) x A t x0 = 0  υ0 < 0  0 < φ < π

11 x = A cos(ωt+φ) x0 = A cos(φ) υ0 = -υmax sin(φ) ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0 x A t x0 = 0  υ0 > 0 

12 x = A cos(ωt+φ) x0 = A cos(φ) υ0 = -υmax sin(φ) ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν είναι γνωστά η αρχική ταχύτητα υ0 και η μέγιστη ταχύτητα του ταλαντωτή, η αρχική φάση υπολογίζεται μόνο από την Εξίσωση:

13 ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

14 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ
x(t) = Α cos(ωt + φ) υ(t) = -ωΑ sin(ωt + φ) a(t) = -ω2Α cos(ωt + φ) ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Κινητική Ενέργεια μάζας: Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου:

15 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ
Ολική Ενέργεια Συστήματος: E = K + U  E = Υπενθύμιση:  k = mω2 Οπότε: E = E =

16 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Κινητική Ενέργεια Μάζας: Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου: Ενέργεια Συστήματος Ελατηρίου-Μάζας: E = K + U

17 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
 x = A cos(ωt+φ)

18 ΣΕ ΚΑΘΕ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ:
Η ταλάντωση λαμβάνει χώρα γύρω από ένα σημείο ισορροπίας στο οποίο η δύναμη που προκαλεί την ταλάντωση είναι μηδέν. Η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης διατηρείται σταθερή. Μέσα σε μια ημιπερίοδο, η μηχανική ενέργεια εναλλάσσεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα . Η περίοδος ταλάντωσης δεν εξαρτάται από το πλάτος αυτής. Η περίοδος ταλάντωσης δεν εξαρτάται από τη μέγιστη ταχύτητα υmax.