EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
Το θεμελιώδες πρόβλημα των επικοινωνιών είναι η αξιόπιστη αναπαραγωγή από ένα σημείο (είτε στο χώρο είτε στο χρόνο) σε ένα άλλο σημείο ενός μηνύματος πληροφορίας. Συνήθως το μήνυμα προς μετάδοση περιέχει κάποιο νόημα, το οποίο πρέπει να γίνει κατανοητό από τον αποδέκτη του, είτε αυτός είναι άνθρωπος είτε μηχανή. Οι φυσικοί επιστήμονες και μηχανικοί δεν ενδιαφέρονται για την παραπάνω θεώρηση, αλλά για το γεγονός ότι το μήνυμα προς μετάδοση είναι ένα από πλήθος πιθανών μηνυμάτων. Το (τηλεπικοινωνιακό) σύστημα πρέπει να σχεδιασθεί με τη δυνατότητα να λειτουργεί αξιόπιστα για κάθε ένα μήνυμα ξεχωριστά από το πλήθος των πιθανών μηνυμάτων και όχι για ένα μόνον διότι το ποιο συγκεκριμένο μήνυμα είναι έτοιμο προς μετάδοση είναι άγνωστο κατά τη φάση του σχεδιασμού. Claude Elwood Shannon, ο θεμελιωτής της σύγχρονης θεωρίας επικοινωνιών και κωδίκων ( ).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
1.1 Βασικά στοιχεία ενός ψηφιακού τηλεπικοινωνιακού συστήματος

Τα μέρη από τα οποία αποτελείται ένα τυπικό ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα είναι τα εξής: ψηφιακή πηγή (digital source). κωδικοποιητής πηγής (source encoder). κωδικοποιητής διαύλου (channel encoder). διαμορφωτής (modulator). δίαυλος (channel). αποδιαμορφωτής (demodulator). αποκωδικοποιητής διαύλου (channel decoder). αποκωδικοποιητής πηγής (source decoder). αποδέκτης πληροφορίας (digital sink).

Η έξοδος της πηγής δεδομένων μπορεί να είναι είτε ένα αναλογικό σήμα, όπως φωνή, εικόνα ή video (εικόνα με μεταβαλλόμενο ρυθμό μετάδοσης), είτε ένα ψηφιακό σήμα, δηλαδή μια σειρά από σύμβολα, όπως η έξοδος ενός τηλετύπου, το οποίο είναι διακριτό στο χρόνο και ανήκει σε αριθμήσιμο σύνολο, όσον αφορά τους χαρακτήρες στην έξοδό του. Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα τα παραγόμενα μηνύματα μετατρέπονται σε ακολουθίες δυαδικών ψηφίων (ή q-αδικών συμβόλων, όπου q=3,4,.., M). Τα δυαδικά ψηφία είναι γνωστά ως δυφία. Τα δυφία έχουν λογικές τιμές 0 και 1, και ένα δυφίο είναι το βασικό μέγεθος πληροφορίας όταν η τελευταία μετράται σε bits (binary digits).

Ο ιδανικότερος τρόπος να αναπαραστήσουμε την έξοδο της πηγής πληροφορίας θα ήταν εάν μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε όσο το δυνατόν λιγότερα δυαδικά ψηφία γίνεται, οδηγούμενοι έτσι σε όσο το δυνατόν λιγότερο ή και καθόλου πλεονασμό. Η διαδικασία της αποτελεσματικής μετατροπής της εξόδου της αναλογικής ή ψηφιακής πηγής σε ακολουθία δυαδικών ψηφίων ονομάζεται κωδικοποίηση πηγής ή συμπίεση δεδομένων (source encoding ή data compression). Αρχαιότερος κώδικας πηγής αναφέρεται από τον ιστορικό Πολύβιο στο βιβλίο Ι’ των Ιστοριών του.

Η ακολουθία των δυαδικών ψηφίων από τον κωδικοποιητή πηγής (source encoder) μεταβιβάζεται στον κωδικοποιητή διαύλου (channel encoder). Σκοπός ύπαρξης του τελευταίου είναι να εισάγει με ελεγχόμενο τρόπο κάποια πλεονάζοντα σύμβολα στην ακολουθία δυαδικής πληροφορίας έτσι ώστε τα δεδομένα να προφυλάσσονται κατά του θορύβου και κάθε άλλου είδους παρεμβολής που δημιουργούνται από τον τηλεπικοινωνιακό δίαυλο και που μπορεί να οδηγήσουν σε παρερμηνεία του μεταδιδόμενου μηνύματος στο στάδιο αποκωδικοποίησης. Το τελευταίο επιτυγχάνεται με τους κώδικες ελέγχου σφάλματος (ERROR CONTROL CODES).

Υπάρχουν δύο βασικές διαφορετικές τεχνικές, που είναι διαθέσιμες για τον έλεγχο σφαλμάτων. Η πρώτη τεχνική αναφέρεται σαν διόρθωση σφάλματος (Forward Error Correction-FEC). Σε μια διάταξη ελέγχου σφάλματος εξαρτιόμαστε από την κωδικοποίηση για να επιτύχουμε διόρθωση σφάλματος. Επιπλέον, για να επιτευχθούν χαμηλοί ρυθμοί σφάλματος, προστίθενται πλεονάζοντα δυαδικά ψηφία. Η διόρθωση των σφαλμάτων πραγματοποιείται στον αποκωδικοποιητή. Η δεύτερη μορφή ονομάζεται αίτηση αυτόματης επανάληψης (Automatic Repeat reQuest). Στο σύστημα αυτό, ο δέκτης δεν καλείται να διορθώσει, αλλά μόνο να ανιχνεύσει σφάλματα. Όταν ανιχνευθεί σφάλμα σε μια κωδική λέξη, ο δέκτης δίνει σήμα στον πομπό και η λέξη αναμεταδίδεται. Για να πραγματοποιηθεί αυτό, πρέπει σε ένα ARQ σύστημα να υπάρχει ένας βρόχος ανάδρασης. Άρα, η πρόσθετη πολυπλοκότητα συμβάλλει στην αξιοπιστία της λαμβανόμενης πληροφορίας.

Οι δυαδικές (ή q-αδικές) κωδικές λέξεις μεταβιβάζονται στη συνέχεια στο ψηφιακό διαμορφωτή (digital modulator), ο οποίος είναι υπεύθυνος για την αλληλεπίδραση (interface) με το φυσικό μέσο. Καθώς σχεδόν όλοι οι τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι που συναντώνται στην πράξη είναι ικανοί για τη μετάδοση ηλεκτρικών σημάτων ή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με τη χρήση κεραιών μικρού μήκους κύματος και άρα μικρού φυσικού μεγέθους, πρωταρχικός σκοπός του ψηφιακού διαμορφωτή είναι η αντιστοίχιση των δυαδικών κωδικών λέξεων σε ηλεκτρικές κυματομορφές, οι οποίες ονομάζονται διαμορφωμένα σήματα. Ως παράδειγμα χρησιμοποιείται η ευρύτατα εφαρμοζόμενη ψηφιακή διαμόρφωση δυαδικής εναλλαγής φάσης (Binary Phase Shift Keying-BPSK).

Κατ’αρχήν τα δυφία μετατρέπονται σε σήμα βασικής ζώνης NRZ (Non Return to Zero), δηλαδή σε σήμα το οποίο μεταβάλλεται με ρυθμό παρόμοιο προς αυτό των δυφίων που προσάγονται στην είσοδο του διαμορφωτή και το οποίο έχει δυο στάθμες +V και –V (volts), όπου η στάθμη +V αντιστοιχίζεται στη λογική τιμή 1 και η στάθμη –V στη λογική τιμή 0. Κατόπιν, το σήμα NRZ πολλαπλασιάζεται με ημιτονοειδές φέρον του οποίου η συχνότητα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μεταδιδόμενου ρυθμού των δυφίων Tb (sec) και συνεπώς το διαμορφωμένο σήμα στην έξοδο του διαμορφωτή για κάθε διάστημα μετάδοσης διάρκειας ίσο με Tb να είναι είτε το ίδιο το ημιτονοειδές φέρον είτε το φέρον μετατοπισμένο στη φάση κατά 1800.

Ο τηλεπικοινωνιακός δίαυλος είναι το φυσικό μέσο το οποίο χρησιμοποιείται για να σταλούν τα διαμορφωμένα σήματα από τον πομπό στο δέκτη. Στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες είναι συνήθως η ατμόσφαιρα. Το μεταδιδόμενο (διαμορφωμένο) σήμα μεταβάλλεται από μια ποικιλία διαφόρων μηχανισμών, όπως ο θερμικός θόρυβος από τα ηλεκτρονικά εξαρτήματα, ο θόρυβος ανάφλεξης από τα αυτοκίνητα, ο ατμοσφαιρικός θόρυβος, οι τεχνητές παρεμβολές (σε στρατιωτικά συστήματα) και άλλα είδη θορύβου, όπως, για παράδειγμα, ο θόρυβος αντήχησης στα συστήματα σόναρ (SOund Navigation And Ranging-Υποβρύχιο Ακουστικό Σύστημα Πλοήγησης και Εύρεσης Απόστασης (Στόχου)). Εξαιτίας του θορύβου ο τηλεπικοινωνιακός δίαυλος παραμορφώνει το σήμα, πολλές φορές σε τέτοιο βαθμό, ώστε ο δέκτης να μη μπορεί να αναγνωρίσει το μεταδιδόμενο σήμα.

Αρχίζοντας από τον θόρυβο, το μοντέλο που χρησιμοποιείται ευρέως είναι αυτό του προσθετικού λευκού Γκαουσιανού θορύβου (AWGN-Additive White Gaussian Noise) που περιγράφει τον θερμικό θόρυβο, που γεννάται από την διαρκή κίνηση των ηλεκτρονίων, τα οποία αποτελούν βασικό συστατικό της ύλης που χρησιμοποιείται για την κατασκευή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Συγκεκριμένα, o Γκαουσιανός θόρυβος περιγράφεται μέσω μιας Γκαουσιανής διαδικασίας (ή τυχαίας ανέλιξης), {n(t)}, και της οποίας η τιμή που είναι τυχαία μεταβλητή, σε κάθε διάστημα παρατήρησης Δτ χαρακτηρίζεται στατιστικά από μια κανονική ή Γκαουσιανή (Gaussian) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: (1.1)

Σημειώνεται ότι η Γκαουσιανή κατανομή συχνά χρησιμοποιείται ως μοντέλο θορύβου για διάφορα συστήματα λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, το οποίο αναφέρει ότι κάτω από πολύ γενικές συνθήκες η κατανομή πιθανότητας (probability distribution) του αθροίσματος στατιστικώς ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών προσεγγίζει τη Γκαουσιανή όσο ο αριθμός, ή το πλήθος, αυτών τείνει στο άπειρο. Συνεπώς, ακόμη και εάν ανεξάρτητοι μηχανισμοί παραγωγής θορύβου έχουν διαφορετικές κατανομές, το ολικό άθροισμα αυτών περιγράφεται από την κανονική κατανομή.

Πυκνότητα φάσματος ισχύος και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης λευκού κανονικού θορύβου

Στην είσοδο του δέκτη ο ψηφιακός αποδιαμορφωτής (digital demodulator) επεξεργάζεται το λαμβανόμενο σήμα και προσπαθεί να αποφασίσει για τις τιμές των μεταδιδόμενων συμβόλων, όπου μερικές από αυτές έχουν αλλάξει λόγω της επίδρασης του προσθετικού θορύβου. Συνήθως η λειτουργία του αποδιαμορφωτή υλοποιείται μέσω της συσχέτισης του λαμβανομένου σήματος με αποθηκευμένα αντίγραφα των μεταδιδόμενων σημάτων. Για καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας του αποδιαμορφωτή, παίρνουμε σαν παράδειγμα την αποδιαμόρφωση σημάτων BPSK. Η συσχέτιση εδώ γίνεται με φέρον συγκεκριμένης φάσης (συνήθως 00) με αποτέλεσμα να λαμβάνεται είτε θετικό είτε αρνητικό σήμα εξόδου.

Η στάθμη του σήματος εισόδου πρέπει να είναι , όπου Er είναι η ενέργεια του καθενός διαμορφωμένου σήματος, όταν δεν υπάρχει θόρυβος και ο αποδιαμορφωτής αποφαίνεται με βάση το πρόσημο του σήματος. Εάν το πρόσημο είναι θετικό, τότε αποφαίνεται ότι το καταχωρημένο αντίγραφο είναι αυτό που έχει αποσταλεί, και εάν το πρόσημο είναι αρνητικό, τότε αποφαίνεται ότι έχει αποσταλεί το σήμα που έχει διαφορά φάσης με το προηγούμενο σήμα ίση με 1800.

Η επίδραση του διαύλου είναι να προσαρτήσει προσθετικό λευκό Γκαoυσιανό θόρυβο (AWGN) στην είσοδο του αποδιαμορφωτή με συνέπεια την δημιουργία σφαλμάτων σε αυτή τη βαθμίδα του δέκτη. Αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα σφάλματος (Probability of Error ή Bit Error Rate) περιγράφεται από τον παρακάτω γνωστό τύπο: (1.2) όπου η erfc(.) είναι η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος με μέγιστη τιμή ίση με τη μονάδα.

Συνεπώς, η μέγιστη τιμή της πιθανότητας σφάλματος είναι 0.5, γεγονός που είναι διαισθητικά σωστό διότι ο αποδιαμορφωτής μπορεί να μαντεύσει τις τιμές των μεταδιδόμενων συμβόλων με επιτυχία που ανέρχεται στο 50%, δηλαδή κατά το ήμισυ του συνολικού χρόνου παρατήρησης, χωρίς καν να χρειαστεί να πάρει μετρήσεις στην είσοδο του δέκτη για τις (ηλεκτρικές) τιμές στάθμης των λαμβανόμενων συμβόλων.

Στη συνέχεια, ο αποκωδικοποιητής διαύλου (channel decoder) προσπαθεί να ανακατασκευάσει την προσαγόμενη ακολουθία δυαδικών λέξεων στην σωστή ακολουθία κωδικών λέξεων, βάσει της γνώσης που ήδη κατέχει για την χρησιμοποιούμενη τεχνική κωδικοποίησης. Τα σφάλματα που δημιουργούνται ονομάζονται σφάλματα αποκωδικοποίησης, τα οποία θα πρέπει να ελαχιστοποιούνται με βάση κάποιο κριτήριο επίδοσης. Για παράδειγμα, όταν ο δίαυλος δεν διαθέτει μνήμη, όταν δηλαδή η αποκωδικοποίηση μιας ληφθείσας λέξης δεν εξαρτάται από την αποκωδικοποίηση της αμέσως προηγούμενής της, τότε χρησιμοποιείται η μέθοδος αποκωδικοποίησης γνωστή σαν αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood decoding). Τελικά ο αποκωδικοποιητής πηγής απαλείφει τα πλεονάζοντα δυαδικά (ή q-αδικά) ψηφία και παραδίδει τις λέγεις που αποτελούν το αρχικό μήνυμα πληροφορίας στον παραλήπτη ή τελικό χρήστη.

1.2 Είδη κωδίκων διόρθωσης σφαλμάτων Η κωδικοποίηση χρησιμοποιείται πάρα πολύ συχνά στις ψηφιακές τηλεπικοινωνίες για να προστατέψει την ψηφιακή πληροφορία από το θόρυβο και την παρεμβολή και συνεπώς, να μειώσει τον αριθμό των εσφαλμένων δυαδικών ψηφίων. Η κωδικοποίηση πραγματοποιείται στην απλούστερη περίπτωση με την προσθήκη πλεοναζόντων δυαδικών ψηφίων στην μεταδιδόμενη ροή πληροφορίας. Αυτά τα επιπλέον δυαδικά ψηφία επιτρέπουν την ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων δυαδικών ψηφίων στην λαμβανόμενη ακολουθία δυφίων (ή συμβόλων) και παρέχουν πιο αξιόπιστη μετάδοση πληροφορίας. Το αναμενόμενο κόστος, όταν χρησιμοποιούμε κωδικοποίηση για την προστασία της πληροφορίας, είναι αφενός η μείωση του ρυθμού μετάδοσης πληροφοριακών δεδομένων και αφετέρου η αύξηση του εύρους ζώνης.

Οι αλγεβρικοί κώδικες χρησιμοποιούνται είτε για την ανίχνευση είτε για τη διόρθωση σφαλμάτων. Το μήνυμα προς μετάδοση χωρίζεται σε ένα πλήθος ισομηκών λέξεων, μήκους k δυφίων η καθεμία, οι οποίες προσάγονται στην είσοδο του κωδικοποιητή και ο οποίος παράγει στην έξοδό του μια ομάδα (block) από n κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία. Σύμφωνα με διάφορους κανόνες n–k πλεονάζοντα δυαδικά ψηφία προστίθενται σε k δυαδικά ψηφία πληροφορίας για να σχηματίσουν τα n κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία. Συνήθως, αυτοί οι κώδικες αναφέρονται ως (n, k) αλγεβρικοί κώδικες. Το πιο κοινό στοιχείο τους είναι ο ρυθμός τους Rc(=k/n). Χαμηλός ρυθμός κωδικοποίησης σημαίνει μεγάλος πλεονασμός και άρα, μικρότερη τιμή πιθανότητας σφάλματος. Οι πιο γνωστοί αλγεβρικοί κώδικες που χρησιμοποιούνται είναι οι κώδικες Hamming, οι κώδικες Reed-Muller, οι κώδικες Golay, οι κυκλικοί κώδικες BCH και οι κυκλικοί μη-δυαδικοί κώδικες Reed-Solomon.

Η μέθοδος αλγεβρικής κωδικοποίησης

Oι συνελικτικοί κώδικες μετατρέπουν μια ολόκληρη ακολουθία πληροφοριακών δεδομένων σε μία και μοναδική κωδικοποιημένη λέξη χρησιμοποιώντας το μηχανισμό του ολισθαίνοντος παράθυρου. Τα κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία εξαρτώνται όχι μόνο από τα k δυαδικά ψηφία που προσάγονται στην είσοδο του κωδικοποιητή αλλά και από τα προηγούμενα δυαδικά ψηφία εισόδου. Το μέγεθος του παράθυρου, που συμβολίζεται με το n, αποτελείται από το πλαίσιο εισόδου των k συμβόλων συν τον αριθμό των συμβόλων που έχουν αποθηκευτεί στη μνήμη του κωδικοποιητή. Η καθιερωμένη μέθοδος αποκωδικοποίησης των συνελικτικών κωδίκων βασίζεται στον αλγόριθμο Viterbi. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται παραστατικά ο τρόπος της συνελικτικής κωδικοποίησης όπου είναι εμφανής η διαφορά τους με τους αλγεβρικούς κώδικες.

Ο μηχανισμός του ολισθαίνοντος παράθυρου για τη συνελικτική κωδικοποίηση

Εκτός των παραπάνω δυο ειδών κωδίκων, υπάρχουν δυο άλλες πιο πρόσφατες τεχνικές κωδικοποίησης. Η μια από αυτές ονομάζεται TCM (Trellis Coded Modulation). Η τεχνική TCM σε αντίθεση με τα προαναφερθέντα είδη, προσθέτει πλεονάζοντα σύμβολα με την συνένωση των διεργασιών της κωδικοποίησης και διαμόρφωσης σε μια κοινή διεργασία που θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε Δικτυωτά Κωδικοποιημένη Διαμόρφωση. Η τεχνική TCM χρησιμοποιεί συνελικτικούς κώδικες και τα προτερήματα της TCM είναι ότι δεν μειώνεται ο ρυθμός μετάδοσης, ενώ ταυτόχρονα δεν αυξάνεται το εύρος ζώνης του συστήματος. Η άλλη μέθοδος ονομάζεται Turbo και είναι μια τεχνική που χρησιμοποιεί κωδικοποίηση πολλών βαθμίδων (concatenated coding), όπου δυο αναδρομικοί και συστηματικοί συνελικτικοί κώδικες συνδυάζονται παράλληλα ή σειραϊκά διαμέσου ενός αναδιατάκτη (interleaver). Σε αυτή την περίπτωση, αντίθετα με τις υπόλοιπες τεχνικές, οι κώδικες Turbo μπορούν να μεταφέρουν μηνύματα πληροφορίας κωδικοποιημένα σε μεγάλου μήκους κωδικές λέξεις μέσα από τον κλασικό δίαυλο AWGN με αυθαίρετα μικρή τιμή της πιθανότητας σφάλματος.

Συνεπώς, όταν ο ρυθμός μετάδοσης της πληροφορίας είναι ο μέγιστος δυνατός και το εύρος ζώνης άπειρο, η σηματοθορυβική σχέση που χρειάζεται για να επιτευχθεί αξιόπιστη επικοινωνία με το μέγιστο ρυθμό μετάδοσης γίνεται αρκετά μικρός και συγκεκριμένα, ίσος με -1.6dBs. Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι σημαντικό διότι μας δίνει, για επιθυμητές τιμές πιθανότητας σφάλματος μεταξύ 10-7 έως και 10-3, την κατώτερη δυνατή τιμή που θα μπορούσε να έχει η σηματοθορυβική σχέση για οποιοδήποτε ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα που χρησιμοποιεί κωδικοποιημένα μηνύματα και συνεπώς ένα τρόπο σύγκρισης μεταξύ διαφόρων κωδικοποιημένων και μη κωδικοποιημένων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων.

1.3 Μία γεωμετρική άποψη για τους κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων

Έστω ότι έχουμε μια κωδική λέξη προς μετάδοση. Εάν αποδεχθούμε ότι είναι δυνατό να γίνει σφάλμα μόνο σε ένα δυφίο κατά τη διάρκεια της μετάδοσης, τότε το σύνολο των λέξεων που διαφέρουν κατά ένα δυφίο από τη μεταδιδόμενη κωδική λέξη έχουν απόσταση Hamming ίση με την μονάδα. Το γεωμετρικό σχήμα του συνόλου που έχει στοιχεία την κωδική λέξη και τις αλλοιωμένες μορφές της (δηλαδή, τις λέξεις που απέχουν από αυτή με απόσταση Hamming ίση με τη μονάδα) είναι ένας κύκλος σε δυο διαστάσεις, ενώ είναι σφαίρα σε τρεις διαστάσεις, και για διαστάσεις περισσότερες των τριών υποθέτουμε ότι είναι πάλι μια σφαίρα.

Μπορούμε τώρα να κάνουμε την εξής υπόθεση: εάν ο δίαυλος μετατοπίζει τις κωδικές λέξεις έτσι ώστε οι αλλοιωμένες μορφές τους, που εμφανίζονται στην είσοδο του δέκτη, να βρίσκονται μέσα σε μια σφαίρα μικρής διαμέτρου και όπου στο κέντρο της σφαίρας βρίσκεται η ίδια η κωδική λέξη, τότε η εύρεση της κωδικής λέξης έγκειται στον εντοπισμό του κέντρου της σφαίρας. Η σφαίρα αυτή ονομάζεται σφαίρα Hamming. Δυστυχώς, είναι πολύ δύσκολο να βρεθεί το κέντρο καθεμιάς σφαίρας διότι υπάρχουν πολλές κωδικές λέξεις και ακόμα περισσότερες αλλοιωμένες μορφές τους. Μια λύση είναι να περιορίσουμε τον αριθμό των λέξεων που αποστέλλονται μέσα από τον δίαυλο. Για παράδειγμα, εάν οι κωδικές λέξεις απέχουν κατά τουλάχιστον τρεις μονάδες μεταξύ τους τότε οι ‘σφαίρες’ Hamming δεν τέμνονται όπως άλλωστε φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Δυο κωδικές λέξεις με ελάχιστη απόσταση Hamming ίση με 3

Εάν ο δίαυλος αλλάζει τυχαία μια από τις κωδικές λέξεις κατά ένα και μόνο ένα δυφίο, τότε η αλλοιωμένη της μορφή παραμένει μέσα στη σωστή σφαίρα. Συνεπώς, είναι θεωρητικά δυνατό να βρεθεί το κέντρο της σφαίρας, δηλαδή η μεταδοθείσα κωδική λέξη. Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τέσσερις κωδικές λέξεις με ελάχιστη απόσταση Hamming μεταξύ τους ίση με τρία, όπου μια από αυτές έχει αλλοιωθεί κατά ένα δυφίο. Παρομοίως, πολλαπλά σφάλματα, δηλαδή δύο, τρία, τέσσερα, κ.ο.κ., μπορούν να ευρεθούν και να διορθωθούν εάν οι κωδικές λέξεις απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με πέντε, επτά, εννέα, κ.ο.κ., αντίστοιχα. Από μαθηματικής άποψης η παραπάνω διαδικασία ισοδυναμεί με την τοποθέτηση σφαιρών μέσα σε ένα κουτί, αλλά με συγκεκριμένο τρόπο.

Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται “sphere packing”, ένα δύσκολο πρόβλημα το οποίο συνεχίζει ακόμη και σήμερα να κεντρίζει το ενδιαφέρον των ερευνητών. Είναι φανερό ότι δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε όλες τις πιθανές κωδικές λέξεις για να μεταδώσουμε ένα μήνυμα ώστε να μπορέσουμε να επιτύχουμε αξιόπιστη μετάδοση με δυνατότητα διόρθωσης απλού σφάλματος. Για παράδειγμα, είναι δυνατό να βρεθούν 16 λέξεις μέσα στο 7-διάστατο χώρο, οι οποίες έχουν απόσταση ίση με τρία μεταξύ τους. Χρειάζεται λοιπόν να χωρίσουμε το μήνυμα σε δεκαέξι λέξεις των τεσσάρων δυφίων η καθεμία και κατόπιν να προσθέσουμε τρία δυφία ελέγχου επιπλέον στην καθεμία.

Κωδικές λέξεις με ελάχιστη απόσταση Hamming 3 στην έξοδο διαύλου. (Ο κύκλος που δείχνει το βέλος παριστά την αλλοιωμένη κωδική λέξη.)

Έχουμε προσθέσει 3 δυφία ελέγχου στην καθεμιά λέξη και άρα την έχουμε μετατρέψει σε κωδική λέξη. Τώρα έχουμε 16 κωδικές λέξεις, που ανήκουν στον 7-διάστατο διανυσματικό χώρο και πληρούν τη συνθήκη που θέσαμε. Με την κατασκευή 16 κωδικών λέξεων με απόσταση ίση με 3, υπάρχει δυνατότητα διόρθωσης απλού σφάλματος σε οποιοδήποτε από τα 4 δυφία πληροφορίας της καθεμιάς κωδικής λέξης. Επειδή ο αριθμός των διανυσμάτων (με απόσταση Hamming=3) είναι 128 (=8x16), είναι προφανές ότι, το πρόβλημα “sphere packing” έχει λύση, η οποία είναι ιδανική με την έννοια ότι και οι δεκάξι σφαίρες χωρούν στον 7-διάστατο διανυσματικό χώρο έτσι ώστε να μην τέμνονται. Η επίλυση του προβλήματος sphere packing και ταυτόχρονα η εύρεση αποτελεσματικών τρόπων κωδικοποίησης-αποκωδικοποίησης αποτελεί το κεντρικό πρόβλημα της θεωρίας του C. Shannon.

1.4 Ανίχνευση και Διόρθωση Σφαλμάτων-Αποκωδικοποίηση

Χρειάζεται μια εμπεριστατωμένη μέθοδος αποκωδικοποίησης των μεταδιδόμενων μηνυμάτων. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται κανόνας αποκωδικοποίησης. Υπάρχουν δυο γενικοί κανόνες αποκωδικοποίησης, ο κανόνας μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood-ML) και ο κανόνας ελάχιστης απόστασης (Minimum Distance-MD). Επειδή ο κανόνας ελάχιστης απόστασης (Hamming) μας παραπέμπει στις σημαντικές έννοιες της δυνατότητας εύρεσης και της δυνατότητας διόρθωσης σφαλμάτων, θα ασχοληθούμε με αυτόν στο παρόν κεφάλαιο, ενώ στο επόμενο θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας στον κανόνα μέγιστης πιθανοφάνειας που σχετίζεται άμεσα με την αποκωδικοποίηση των δυαδικών γραμμικών κωδίκων. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την μέθοδο Ελάχιστης Απόστασης (MD) υποθέτουμε ότι στέλνουμε λέξεις του κώδικα  μέσα από τον ΔΣΔ δίαυλο και λαμβάνουμε τη λέξη x.

Επίσης, εάν μεταδοθεί εσφαλμένα η 111, τότε σύμφωνα με την παραπάνω υπόθεση οι τρεις πιθανές ληφθείσες λέξεις 110, 101 και 011 θα αντιστοιχισθούν στην 111. Παρατηρούμε όμως ότι εάν μια κωδική λέξη μεταδοθεί εσφαλμένα σε δυο (ή τρία) δυφία, ο συγκεκριμένος κώδικας δεν έχει την δυνατότητα να τα διορθώσει. Για παράδειγμα, εάν η μεταδοθείσα κωδική λέξη είναι η 000 και η ληφθείσα η 011 τότε, σύμφωνα με την παραπάνω πάντα υπόθεση, η 011 αποκωδικοποιείται σε 111, η οποία δεν είναι η μεταδοθείσα κωδική λέξη.

Συμπεράσματα: (α) Εάν ο αριθμός D είναι άρτιος, τότε ο κώδικας διορθώνει Ε=D/2 σφάλματα. (β) Εάν όμως D είναι περιττός, τότε o κώδικας διορθώνει Ε=(D-1)/2 σφάλματα. Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι το πλήθος των κωδικών λέξεων δεν πρέπει να είναι πολύ μεγάλο, εφόσον επιθυμούμε ο κώδικας να έχει τη δυνατότητα διόρθωσης πολλαπλών σφαλμάτων. To πλήθος των κωδικών λέξεων φράζεται από το περίφημο άνω φράγμα Hamming.

EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια