Napisala Borka Jadrijević Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević

Ponovimo: Svaka strogo monotona funkcija je injekcija. Za svaku funkciju f : A  , suženje f : A  f(A) je surjekcija. Ako je f : A   strogo monotona na nekom intervalu I  A, onda je suženje f : I  f(I) bijekcija.

Ako je f : A  B bijekcija onda vrijedi: Postoji funkcija g : B  A tako da vrijedi g  f = iA i f  g = iB . Funkcija g : B  A je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije f. Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.

Osnovne elementarne funkcije: Konstantna funkcija Opća potencija Eksponencijalna funkcija iv) Logaritamska funkcija v) Trigonometrijske funkcije vi) Ciklometrijske funkcije

Konstantna funkcija f(x) = c, c   y c y = c x f:    f() = {c}

Opća potencija f(x) = xr, r   \ {0} Razlikujemo slučajeve: r = n   3. r = m/n   \  4. r   \  Napomena: ako je r = 0, onda je x0 = 1, za x  0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.

Potencije s prirodnim eksponentom f(x) = xn, n   y y = x y = x2 x y = x3 f :   , f() =  za n neparan, f() = [0, ) za n paran

Potencije s cijelobrojnim eksponentom oblika f(x) = x-n, n   y y= 1/x2 y= 1/x x y= 1/x3 Budući je x-n = , onda je f:  \ {0}   i vrijedi: f(  \ {0}) =  \ {0}, za n neparan, f(  \ {0}) = (0,), za n paran.

Potencije s racionalnim eksponentom oblika f(x) = x1/n, n   \ {1}. Budući je x1/n = onda je: f :    i f() =  za n neparan, f: [0, )   i f([0, )) = [0, ) za n paran. Nadalje, vrijedi: za svaki x  D(f) je (x 1/n )n = ( )n = x, te za svaki y  f(D(f) ) je (yn )1/n = = y.

Primjeri: Neka je funkcija g1 : [0, )  [0, ) suženje funkcije g(x) = x2. Funkcja g1 je bijekcija. 1. n = 2 y=x2 y y=x Definirajmo funkciju f1: [0, )  [0, ) tako da je f1(x) = x1/2. Za svaki x  [0, ) vrijedi f1(g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x, te za svaki y  [0, ) vrijedi g1(f1 (y)) = (y1/2)2 = y. y=x1/2 x f(x) = x1/2 f: [0, )   f( [0, ) ) = [0, ) Dakle, f1 = g1-1

Uočimo: Suženje g2 : (-,0]  [0, ) funkcije g(x) = x2 je bijekcija. Definirajmo funkciju f2: [0, )  (-,0] tako da je f2(x) =-x1/2 . Za svaki x  (-,0] vrijedi f2 (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x, te za svaki y  [0, ) vrijedi g2(f2 (y)) = (-y1/2)2 = y. y=x2 y y=x x y=-x1/2 f(x) = -x1/2 f: [0, )   f( [0, ) ) = (-,0] Dakle, f2 = g2-1

2. n=3 Promatrajmo funkciju g(x) = x3 . Funkcija g:    je bijekcija. y y=x3 y=x y=x1/3 x Ako je f:    tako da je f(x) = x1/3 onda za svaki x   vrijedi f (g(x)) = (x3 )1/3 = x, te za svaki y   vrijedi g(f (y)) = (y1/3)3 = y. f(x) = x1/3 f:    f() =  Dakle, f = g-1

Potencije s racionalnim eksponentom oblika f(x) = xm/n, m/n   \ . Uz pretpostavku m  , n  , te M(m,n) = 1 razlikujemo slučajeve: n neparan i m > 0, onda je D(f) = , n neparan i m < 0, onda je D(f) = \ {0}, n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ), n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ). Napomena: xm/n :=

Primjeri: Graf od f1(x) = x2/3 se naziva “galeb”. y y y= x-3/2 y = x3/2 y = x 2/3 y = x-2/3 x x f1(x) = x2/3, D(f1) = , f1() = [0,). f2(x) = x-2/3, D(f2) =  \ {0}, f2( \ {0} ) = (0,). f3(x) = x3/2, D(f3) = [0,), f3([0,)) = [0,). f4(x) = x-3/2, D(f4)= (0,), f4((0,)) = (0,).

Potencije s realnim eksponentom oblika f(x) = xr, r   \  . Vrijedi: za r > 0 je D(f) = [0,), za r < 0 je D(f) = (0,). r = r = - y r = x

Vrijedi općenito: Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f–1 (y) = y1/r , “kad god ti izrazi imaju smisla”. y y = x1/r y = x y = xr x

Eksponencijalna funkcija y y y = ax y = ax x x f(x) = ax, a > 0 i a  1, f:   , f() = (0, ).

Definirajmo funkciju: g  loga : (0, )  , tako da vrijedi: Funkcija f(x) = ax , f:    je strogo monotona i f() = (0, ). Dakle, suženje f1 :   (0, ) je bijekcija. y y a > 1 y = ax 0 < a < 1 y = ax y = x y = x y = logax x x y = logax Definirajmo funkciju: g  loga : (0, )  , tako da vrijedi: g(f1(x)) = loga (ax) = x, za svaki x  , f1(g(y)) = a loga (y) = y, za svaki y  (0, ). Dakle, f1-1 = g.

Logaritamska funkcija y y y = logax x x y = logax f(x) = logax, a > 0 i a  1, f: (0, )  . f ((0, )) = .

U primjeni su važne eksponencialne funkcije s bazom 10 - dekadska i s bazom e – prirodna, gdje je e  2.71828... transcendentan broj, te logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ili Briggsov logaritam i po bazi e, tzv. prirodni logaritam. Definiramo: log10x := log x i logex := ln x . Uočimo: 10, e > 1 (graf!!)

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su: sinus kosinus tangens kotangens

Namatanje pravca na kružnicu 1 T’ x T 1 x O’ O O’ T T’

Namatanje pravca na kružnicu Uočimo: sve točke oblika x+2k , k  , se namatanjem preslikaju u istu točku. O O’ T T’ S S’ 1 T’ = S’ O’ 1 x x+2π T S

Trigonometrijska kružnica 1 T (cosx,sinx) sinx x cosx 1 pT

Trigonometrijske funkcije sinus kosinus y y 1 1 -  x -/2 /2 2 2 x -1 -1 f(x) = sinx, f:    f() = [-1,1] f(x) = cosx, f:    f() = [-1,1]

f(x) = tg x, f: A  , f(A) = , gdje je tangens y Definiramo: tg x := - -/2 /2 3π/2 x  -3π/2 2 y = tgx f(x) = tg x, f: A  , f(A) = , gdje je A = D(f) =  \ { x   | cos (x) = 0}, tj. A =  \ { x   | x = + kπ, k   }.

f(x) = ctg x, f: A  , f(A) = , gdje je kotangens y Definiramo: ctg x := - -/2 /2 3π/2 x  -3π/2 2 y = ctgx f(x) = ctg x, f: A  , f(A) = , gdje je A = D(f) =  \ { x   | sin (x) = 0}, tj. A =  \ { x   | x = kπ, k   }.

Trigonometrijska kružnica tgx 1 Os kotangensa x ctgx 1 Os tangensa Uočimo: Za x = /2 os tangensa i pravac pT nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran! Slično za kotanges u x = 0. pT

Svojstva trigonometrijskih funkcija sin cos tg ctg Područje definicije Df   \ {π /2 + kπ, k  }  \ { kπ, k  } Slika f(Df) [-1,1] Nul-točke x = kπ, k   x = π /2 + kπ, Parnost neparna parna Osnovni period 2π π Predznak po kvadrantima I, II, III, IV +,+,-,- +,-,-,+ +,-,+,-

Neke važnije veze između trigonometrijskih funkcija sin2x + cos2 x = 1, sin2x = 2 sinx cosx, cos2x = sin2x - cos2 x , sin2x = 1/2·(1 - cos2x), cos2x = 1/2·(1 + cos2x), ctgx = 1/tgx tg2x = 2tgx/(1-tg2x), ctg2x = (ctg2x-1)/2ctgx sin2x = tg2x/(tg2x+1), cos2x = ctg2x/(ctg2x+1).

Ciklometrijske ili arkus funkcije Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija. Ciklometrijske funkcije su : arkus-sinus arkus-kosinus arkus-tangens arkus-kotangens

Definirajmo: Arcsin: [-1,1]  [- π /2, π /2] , Neka je Sin: [-π/2, π /2]  [-1,1] suženje funkcije sin. Dakle, za svaki x є [-π /2, π /2], vrijedi sin x = Sin x. Funkcija Sin je bijekcija. y y = x -/2 /2 x y = sinx Definirajmo: Arcsin: [-1,1]  [- π /2, π /2] , tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], Arcsin(Sin x) = x,  y є [-1,1], Sin(Arcsin y) = y. Dakle, Sin-1 = Arcsin.

Definirajmo: Arccos: [-1,1]  [0, π] , Neka je Cos: [0, π ]  [-1,1] suženje funkcije cos. Dakle, za svaki x є [0, π], vrijedi cos x = Cos x. Funkcija Cos je bijekcija. y = x y  x y = cosx Definirajmo: Arccos: [-1,1]  [0, π] , tako da vrijedi: x є [0, π], Arccos(Cos x) = x,  y є [-1,1], Cos(Arccos y) = y. Dakle, Cos-1 = Arccos.

arcsin arccos arcsin: [-1,1]  , arcsin x = Arcsin x, y y π /2 π x π /2 x -π /2 arcsin: [-1,1]  , arcsin x = Arcsin x, arcsin([-1,1]) = [-π /2, π /2]. arccos: [-1,1]  , arccos x = Arccos x, arcos([-1,1]) = [0, π].

Vrijedi: f1(x) = sin(arcsin x), f1:[-1,1]  , f1([-1,1]) = [-1,1], y f1(x) = sin(arcsin x), f1:[-1,1]  , f1([-1,1]) = [-1,1], sin(arcsin x) = x. y = sin(arcsin x) x f2(x) = arcsin(sin x), f2:   , f2() = [-π /2, π /2]. Za x є [-π /2, π /2] je arcsin(sin x) = x. y π /2 -π /2 π /2 x -π /2 y = arcsin(sin x)

Vrijedi: f1(x) = cos(arccos x), f1:[-1,1]  , f1([-1,1]) = [-1,1], y f1(x) = cos(arccos x), f1:[-1,1]  , f1([-1,1]) = [-1,1], cos(arccos x) = x. y = cos(arccos x) x f2(x) = arccos(cos x), f2:   , f2() = [0, π]. Za x є [0, π] je arccos(cos x) = x. y π π x y = arccos(cos x)

Definirajmo: Arctg:   (-π/2, π /2) , Neka je Tg : (-π/2, π /2)   suženje funkcije tg. Dakle, za svaki x є (-π /2, π /2), vrijedi tg x = Tg x. Funkcija Tg je bijekcija. y y = x π /2 -π /2 π /2 x -π /2 y = tg x Definirajmo: Arctg:   (-π/2, π /2) , tako da vrijedi: x є (-π /2, π /2), Arctg(Tg x) = x,  y є , Tg(Arctg y) = y Dakle, Tg-1 = Arctg.

Definirajmo: Arcctg:   (0, π) , Neka je Ctg : (0, π)   suženje funkcije ctg. Dakle, za svaki x є (0, π), vrijedi ctg x = Ctg x. Funkcija Ctg je bijekcija. y y = x π y = ctg x π x Definirajmo: Arcctg:   (0, π) , tako da vrijedi: x є (0, π ), Arcctg(Ctg x) = x,  y є , Ctg(Arcctg y) = y. Dakle, Ctg-1 = Arcctg.

arctg arcctg arctg:   , arctg x = Arctg x, y y π /2 π x -π /2 x arctg:   , arctg x = Arctg x, arctg () = (-π /2, π /2). arcctg:   , arcctg x = Arcctg x, arcctg () = (0, π).

Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija! Uočimo: Svako suženje Sink: [-/2 + k, /2 + k] [-1,1] , k є , funkcije sin je bijekcija, pa ima inveznu funkciju. y y = x 1 -1 1 x -1 y = sinx Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!

Slično, budući su funkcije cos, tg, ctg po djelovima strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih suženja. y y = x Primjer: x y = ctgx

Definicija: Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

Osnovna podjela elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Algebarske funkcije Transcendentne funkcije

1. Polinomi Polinom n-tog stupnja, n    {0}, je funkcija Pn :   , Pn (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0, pri čemu su an, an-1, . . . , a1, a0   i an  0 za n  . Napomena: Ako je n = 0, onda je P0 (x) = a0 konstantna funkcija.

X = D(R) =  \ { x   | Qm(x) = 0}. 2. Racionalne funkcije Racionalna funkcija je funkcija oblika R(x) = gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja, redom. Dakle, R : X  , gdje je X = D(R) =  \ { x   | Qm(x) = 0}. Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.

Ako oba polinoma Pn(x) i Qm(x) imaju koeficijente iz skupa racionalnih brojeva  onda kažemo da je R = Pn/Qm racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima. Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom m-tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je R = Pn/Qm prava racionalna funkcija, a ako je m  n onda kažemo da je neprava racionalna funkcija. U ovom slučaju se R(x) može prikazati kao R(x) = St(x) + Tk(x)/Qm(x), gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog stupnja, redom, tako da je k < m.

je prava racionalna funkcija. Primjeri: f(x) = 1. je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima, dok racionalna funkcija g(x) = to nije. f1(x) = je prava racionalna funkcija. 2. f2(x) = je neprava racionalna funkcija. Dijeljenjem dobivamo: f2(x) =

3. Algebarske funkcije Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem općih potencija s racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s racionalnim koeficijentima. Primjeri: f(x) = je algebarska funkcija. g(x) = nije algebarska funkcija.

4. Transcendentne funkcije Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentne. Dakle, među ove funkcije ubrajamo eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one koje imaju neki koeficijent iracionalan). Važne transcendentne funkcije su i tzv. hiperbolne funkcije i area-funkcije.

Hiperbolne funkcije sinus hiperbolni kosinus hiperbolni Definiramo: sh x := Definiramo: ch x := y y y = shx y = chx x x Napomena: Graf f(x) = chx nazivamo “lančanica”. f(x) = sh x, f:   , f() = . f(x) = ch x, f:   , f() = [1,].

tangens hiperbolni kotangens hiperbolni Definiramo: th x := Definiramo: cth x := th x = cth x = y y y = thx y = cthx x x f(x) = cth x, f:  \ {0}  , f() = (-,-1)  (1,). f(x) = th x, f:   , f() = (-1,1).

Neke važnije veze između hiperbolnih funkcija ch2 x - sh2x = 1, sh2x = 2 shx chx, ch2x = sh2x + ch2 x , sh2x =1/2·(ch2x-1), ch2x =1/2·(1 + ch2x), cthx =1/thx th2x = 2thx/(1+th2x), ch2x =(cth2x+1)/2cthx sh2x = th2x/(1-th2x), ch2x = cth2x/(cth2x-1), Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!

area-sinus hiperbolni Area-funkcije area-sinus hiperbolni Funkcija sh:    je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije sh nazivamo area-sinus hiperbolni i označavamo arsh. y y = x y = arshx x y = shx f(x) = arsh x, f:   , f() =  Može se pokazati da vrijedi arsh x =

area-kosinus hiperbolni Neka je Ch: [0,)[1,) suženje funkcije ch. Funkcija Ch je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Ch označimo s Arch.Dakle, Arch : [1,)  [0,). y y = x y = chx y = archx x arch: [1,)  , arch x = Arch x, arch ([1,)) = [0,). Može se pokazati da je arch x =

area-tangens hiperbolni Neka je Th:   (-1,1) suženje funkcije th. Funkcija Th je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Th nazivamo area-tangens hiperbolni i označavamo arth. y y = x y = thx x y = arthx f(x) = arth x, f: (-1,1)  , f ((-1,1)) = . Može se pokazati da vrijedi arth x =

area-kotangens hiperbolni Neka je Cth:  \ {0}  (-,-1)  (1,), suženje funkcije cth. Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Cth označimo s Arcth. Dakle, Arcth: (-,-1)  (1,)   \ {0}. y y = x y = cthx y = arcthx x arcth: (-,-1)  (1,)  , arcth x = Arcth x, arcth ( (-,-1)  (1,) ) =  \ {0}. Može se pokazati da vrijedi arcth x =

Još neke važnije elementarne funkcije Apsolutna vrijednost Predznak |x| = sgn(x) = Vrijedi: sgn(x) = y y y = |x| x x y = sgn(x) f(x) = |x|, f :   , f() = [0,). f(x) = sgn(x), f :  \ {0}  , f() = {1,-1}.

URL: http://www.fesb.hr/~borka Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla. Borka Jadrijević e-mail: borka@fesb.hr URL: http://www.fesb.hr/~borka