1 1 Slide Προσομοίωση

2 2 Προσομοίωση n Τι είναι η Προσομοίωση πως/που χρησιμοποιείται; n Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της Προσομοίωσης n Μοντέλα n Τυχαίες Μεταβλητές και ψευδο-τυχαίοι Αριθμοί n Αξιολόγηση και στατιστικοί έλεγχοι n Παραδείγματα

3 3 Slide Προσομοίωση n Η Προσομοίωση είναι μια από τις πιο εφαρμοσμένες μεθόδους της διοικητικής επιστήμης. n Χρησιμοποιείται για την μοντελοποίηση τυχαίων διαδικασιών οι οποίες είναι πολύπλοκες και δεν μπορούν να επιλυθούν με αναλυτικές μεθόδους. n Η προσομοίωση δεν είναι ένα είδος μοντέλου; τα μοντέλα γενικά αναπαριστούν την πραγματικότητα, ενώ η προσομοίωση την μιμείται. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν λιγότερες απλοποιήσεις της πραγματικότητας στην προσομοίωση απ' ότι στα υπόλοιπα μοντέλα. n Προσομοίωση – η μίμηση της λειτουργίας μιας εγκατάστασης ή μιας διαδικασίας, συνήθως με τη χρήση Η/Υ Η εγκατάσταση που προσομοιώνεται καλείται και “σύστημα” Η εγκατάσταση που προσομοιώνεται καλείται και “σύστημα” Παραδοχές/προσεγγίσεις, λογικές και μαθηματικές, για τον τρόπο που λειτουργεί το σύστημα Παραδοχές/προσεγγίσεις, λογικές και μαθηματικές, για τον τρόπο που λειτουργεί το σύστημα Αυτές οι παραδοχές αποτελούν το μοντέλο του συστήματος Αυτές οι παραδοχές αποτελούν το μοντέλο του συστήματος

4 4 Slide Πότε Χρησιμοποιούμε Προσομοίωση; n Η προσομοίωση συνιστάται για: Τη μελέτη πολύπλοκων συστημάτων, δηλ. συστήματα για τα οποία η αναλυτικές λύσεις είναι ανέφικτες Τη μελέτη πολύπλοκων συστημάτων, δηλ. συστήματα για τα οποία η αναλυτικές λύσεις είναι ανέφικτες Για τη σύγκριση εναλλακτικών σχεδίων για ένα σύστημα που δεν υπάρχει ακόμα Για τη σύγκριση εναλλακτικών σχεδίων για ένα σύστημα που δεν υπάρχει ακόμα Για τη μελέτη των επιπτώσεων πιθανών μεταβολών σε ένα υπάρχον σύστημα. Γιατί δεν αλλάζουμε το σύστημα;;; Για τη μελέτη των επιπτώσεων πιθανών μεταβολών σε ένα υπάρχον σύστημα. Γιατί δεν αλλάζουμε το σύστημα;;; Για την επαλήθευση αναλυτικών λύσεων Για την επαλήθευση αναλυτικών λύσεων n Η προσομοίωση δεν πρέπει να χρησιμοποιείται όταν: Οι παραδοχές του μοντέλου είναι τόσο απλές που μπορούμε να εφαρμόσουμε μαθηματικές μεθόδους για να βρούμε ακριβείς απαντήσεις ( αναλυτικές λύσεις) Οι παραδοχές του μοντέλου είναι τόσο απλές που μπορούμε να εφαρμόσουμε μαθηματικές μεθόδους για να βρούμε ακριβείς απαντήσεις ( αναλυτικές λύσεις)

5 5 Slide Πλεονεκτήματα της Προσομοίωσης n Είναι περιγραφική και δεν υπόκειται σε κανόνες n Συμμετέχει άμεσα ο λήπτης αποφάσεων n Δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις n Επιτρέπει την μελέτη πολύπλοκων καταστάσεων το οποία θα ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί με άλλες τεχνικές n Παρέχει άμεσα αποτελέσματα n Όταν δημιουργηθεί το μοντέλο προσομοίωσης μπορούμε εύκολα σε αυτό, να εξετάσουμε εναλλακτικές πολιτικές, ερωτήσει της μορφής τι θα γινόταν αν… και να κάνουμε ανάλυση ευαισθησίας

6 6 Slide Μειονεκτήματα της Προσομοίωσης n Η κατασκευή ενός μοντέλου προσομοίωσης είναι συχνά μία αργή και ακριβή διαδικασία. n Λύσεις και αναφορές από μία μελέτη προσομοίωσης δεν μπορούν να μεταφερθούν σ΄άλλα προβλήματα. Αυτό είναι συνέπεια της εισαγωγής στο μοντέλο της προσομοίωσης μεταβλητών και χαρακτηριστικών που ανήκουν μόνο στο συγκεκριμένο πρόβλημα. n Δεν μπορεί να εγγυηθεί μία βέλτιστη λύση. Η προσομοίωση είναι μέθοδος δοκιμής και λάθους (trial and error) η οποία συγκρίνει διαφορετικές πολιτικές. Αν δεν μελετηθούν τα κατάλληλα σενάρια δεν θα βρεθούν ικανοποιητικές λύσεις n Η προσομοίωση είναι πολύ εύκολη να χρησιμοποιηθεί από τον υπεύθυνο για τη λήψη των αποφάσεων με αποτέλεσμα οι βέλτιστες λύσεις από άλλες ακριβείς μεθόδους πολλές φορές να παραλείπονται.

7 7 Slide Μοντέλα Προσομοίωσης n Η προσομοίωση ξεκινά με την μαθηματική ανάλυση του προβλήματος. Η εγκατάσταση που προσομοιώνεται καλείται και “σύστημα” Η εγκατάσταση που προσομοιώνεται καλείται και “σύστημα” Παραδοχές/προσεγγίσεις, λογικές και μαθηματικές, για τον τρόπο που λειτουργεί το σύστημα Παραδοχές/προσεγγίσεις, λογικές και μαθηματικές, για τον τρόπο που λειτουργεί το σύστημα Αυτές οι παραδοχές αποτελούν το μοντέλο του συστήματος Αυτές οι παραδοχές αποτελούν το μοντέλο του συστήματος n Το μοντέλο πρέπει να είναι ρεαλιστικό και να μπορεί να επιλυθεί σύμφωνα με τις δυνατότητες του Η/Υ και του λογισμικού που θα χρησιμοποιηθεί. n Οι επιμέρους τιμές του μοντέλου όπως και οι εκτιμήσεις που αφορούν τις κατανομές πιθανότητες των τυχαίων μεταβλητών πρέπει επίσης να υπολογιστούν.

8 8 Slide Τυχαίες Μεταβλητές n Οι τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούνται/ εισέρχονται στο μοντέλο με την τεχνική της Monte Carlo προσομοίωσης. n Κάθε τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σε μία ομάδα αριθμών έτσι ώστε κάθε φορά που επιλέγεται ένας αριθμός από αυτή την ομάδα τότε μια συγκεκριμένη τιμή που αντιστοιχεί μόνο σε αυτήν ομάδα εισέρχεται στο μοντέλο. n Η κατανομή των αριθμών γίνεται έτσι ώστε η πιθανότητα να επιλεγεί η κάθε ομάδα αριθμών να είναι ίδια με την πιθανότητα να εμφανιστεί η συγκεκριμένη τιμή της τυχαίας μεταβλητής.

9 9 Slide Ψευδο-τυχαίοι Αριθμοί n Επειδή ένα πρόγραμμα Η/Υ δημιουργεί τυχαίους αριθμούς χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους οι αριθμοί δεν δημιουργούνται με μία πραγματικά τυχαία διαδικασία. n Ωστόσο, με την χρησιμοποίηση στατιστικών τεστ, οι αριθμοί συμπεριφέρονται όπως αυτοί που θα προέκυπταν από μια τυχαία διαδικασία επιλογής. n Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται ψευδο-τυχαίοι αριθμοί

10 Slide Βήματα μιας Μελέτης προσομοίωσης Μορφοποίηση προβλήματος & σχεδιασμός μελέτης Συλλογή δεδομένων & ορισμός μοντέλου Έγκυρο Μοντέλο; Σχεδιασμός προγράμματος & επαλήθευση Πιλοτικό τρέξιμο Σχεδιασμός πειραμάτων Έγκυρο Μοντέλο; Τρέξιμο παραγωγής Ανάλυση αποτελεσμάτων Παρουσίαση & χρήση αποτελεσμάτων ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ

11 Slide Επιβεβαίωση/Επικύρωση του Μοντέλου n Επιβεβαίωση (Verification) αφορά την λειτουργία του προγράμματος Η/Υ και ειδικότερα τον έλεγχο για πιθανά λάθη ή παραλείψεις στο μοντέλο. n Επικύρωση (Validation) αφορά την αντιστοιχία του μοντέλου το πραγματικό σύστημα. Οι προβλέψεις του μοντέλου θα πρέπει να συγκριθούν με τα πραγματικά αποτελέσματα. n Θεωρητικά, η προσομοίωση θα πρέπει να τρέξει με τα πραγματικά δειγματοληπτικά δεόμενα του παρελθόντος.

12 Slide Σχεδιασμός των Πειραμάτων n Ο σχεδιασμός των πειραμάτων είναι μια σημαντική παράμετρος της διαδικασίας προσομοίωσης. n Θέματα όπως η χρονική διάρκεια της προσομοίωσης και η αντιμετώπιση των αρχικών αποτελεσμάτων (ποια είναι η επίδραση των αρχικών συνθηκών στο μοντέλο;) πρέπει να εξετασθούν πριν την συλλογή και ανάλυση των αποτελεσμάτων. n Συνήθως το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στα αποτελέσματα μια σταθεροποιημένης κατάστασης (σε βάθος χρόνου) λειτουργίας του συστήματος που μοντελοποιείται. n Τα αρχικά δεδομένα του μοντέλου γενικά αντιπροσωπεύουν μια αρχική περίοδο της διαδικασίας και είναι σημαντικό να αγνοηθούν (ουσιαστικά να μην επηρεάσουν) την πρόβλεψη της σε βάθος χρόνου λειτουργίας του συστήματος.

13 Slide Παράδειγμα: Τιμή Μετοχής Οι αλλαγές στην τιμή μιας μετοχής έχει καταγράφει στις τελευταίες 50 συναλλαγές. Η συχνότητα τους περιγράφεται ακολούθως: Αλλαγή τιμής Αριθμός συναλλαγών Αλλαγή τιμής Αριθμός συναλλαγών -3/8 4 -3/8 4 -1/4 2 -1/4 2 -1/8 8 -1/ / / /4 3 +1/4 3 +3/8 2 +3/8 2 +1/2 1 +1/2 1 Σύνολο= 50 Σύνολο= 50

14 Slide Παράδειγμα: Τιμή Μετοχής n Σχετική Συχνότητα και Κατανομή Τυχαίων Αριθμών Αλλαγή Τιμής Σχετική Συχνότητα Τυχαίοι Αριθμοί Αλλαγή Τιμής Σχετική Συχνότητα Τυχαίοι Αριθμοί -3/ / / / / / / / / / / / / / Σύνολο 1.00 Σύνολο 1.00

15 Slide Αν η τιμή της μετοχής είναι τώρα €23, χρησιμοποιήστε τυχαίους αριθμούς για να προσομοιώσετε τις επόμενες 10 συναλλαγές. Χρησιμοποιήστε τους ακόλουθους τυχαίους αριθμούς: Χρησιμοποιήστε τους ακόλουθους τυχαίους αριθμούς: 21, 84, 07, 30, 94, 57, 57, 19, 84, 84 21, 84, 07, 30, 94, 57, 57, 19, 84, 84 Παράδειγμα: Τιμή Μετοχής

16 Slide n Πίνακας προσομοίωσης Αριθμός Τυχαίος Αλλαγή Τιμή Αριθμός Τυχαίος Αλλαγή Τιμή Συναλλαγής Αριθμός Τιμής Μετοχής Συναλλαγής Αριθμός Τιμής Μετοχής /8 22 7/ /8 22 7/ / / /8 22 5/ /8 22 5/ / / / / /8 22 7/ /8 22 7/ / / /8 23 1/ /8 23 1/8 Παράδειγμα: Τιμή Μετοχής

17 Slide Παράδειγμα: Τιμή Μετοχής n Θεωρητικά αποτελέσματα και σύγκριση με προσομοίωση Με βάση την κατανομή πιθανότητας η αναμενόμενη αλλαγή τιμή ανά συναλλαγή υπολογίζεται ως εξής (.08)(-3/8) + (.04)(-1/4) + (.16)(-1/8) + (.40)(0) (.08)(-3/8) + (.04)(-1/4) + (.16)(-1/8) + (.40)(0) + (.20)(1/8) + (.06)(1/4) + (.04)(3/8) + (.02)(1/2) = (.20)(1/8) + (.06)(1/4) + (.04)(3/8) + (.02)(1/2) = Η αναμενόμενη τιμή για 10 συναλλαγές είναι (10)(.005) =.05. Άρα η αναμενόμενη τιμή της μετοχής μετά από 10 συναλλαγές είναι = Προφανώς, υπάρχει διαφοροποίηση ανάμεσα στα δύο αποτελέσματα και οφείλεται στο ότι η προσομοίωση έχει γίνει μόνο μία φορά. Αν επαναληφθεί η διαδικασία πολλές φορές με διαφορετικούς τυχαίους αριθμούς ο μέσος όρος τους θα προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό την θεωρητική κατανομή

18 Slide Στο αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος ο έλεγχος διαβατηρίων των επιβατών από έναν υπάλληλο ακλουθεί την επόμενη κατανομή πιθανότητας: Χρόνος ελέγχου διαβατηρίων Πιθανότητα Χρόνος ελέγχου διαβατηρίων Πιθανότητα 20 sec sec sec sec sec sec sec sec.10 Έπειτα από τον έλεγχο διαβατηρίων οι επιβάτες περνάνε τον έλεγχο αποσκευών με την επόμενη κατανομή: Χρόνος ελέγχου αποσκευών Πιθανότητα Χρόνος ελέγχου αποσκευών Πιθανότητα min.60 1 min.60 2 min.10 2 min.10 3 min.05 3 min.05 Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος

19 Slide n Αντιστοίχηση Τυχαίων Αριθμών Χρόνος ελέγχου Τυχαίοι Χρόνος ελέγχου Τυχαίοι διαβατηρίων Πιθανότητα Αριθμοί διαβατηρίων Πιθανότητα Αριθμοί 20 sec sec sec sec sec sec sec – sec – 99 Χρόνος ελέγχου Τυχαίοι Χρόνος ελέγχου Τυχαίοι Αποσκευών Πιθανότητα Αριθμοί Αποσκευών Πιθανότητα Αριθμοί min min min min min min Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος

20 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Καταχωρήσεις στη Προσομοίωση Επόμενων-Γεγονότων Για κάθε επιβάτη οι ακόλουθες πληροφορίες θα πρέπει να καταχωρηθούν: Πότε αρχίζει η εξυπηρέτηση στον έλεγχο διαβατηρίων Πότε αρχίζει η εξυπηρέτηση στον έλεγχο διαβατηρίων Ο χρόνος εξυπηρέτησης έλεγχου διαβατηρίων Ο χρόνος εξυπηρέτησης έλεγχου διαβατηρίων Πότε αρχίζει η εξυπηρέτηση στον έλεγχο αποσκευών Πότε αρχίζει η εξυπηρέτηση στον έλεγχο αποσκευών Ο χρόνος εξυπηρέτησης έλεγχου αποσκευών Ο χρόνος εξυπηρέτησης έλεγχου αποσκευών

21 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Χρονικοί Συσχετισμοί (1) Χρόνος έναρξης ελέγχου διαβατηρίων για τον επόμενο επιβάτη από υπάλληλο του αεροδρομίου = επιβάτη από υπάλληλο του αεροδρομίου = (χρόνος έναρξης της εξυπηρέτησης του προηγούμενου επιβάτη) + (χρόνος εξυπηρέτησης του προηγούμενου επιβάτη) + (χρόνος εξυπηρέτησης του προηγούμενου επιβάτη)

22 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Χρονικοί Συσχετισμοί (2) n Χρόνος έναρξης ελέγχου αποσκευών για τον επόμενο επιβάτη από υπάλληλο του αεροδρομίουεπιβάτη από υπάλληλο του αεροδρομίου  (Αν ο επιβάτης δεν περιμένει στην ουρά ελέγχου αποσκευών) = (Χρόνος ολοκλήρωσης της εξυπηρέτησης στον έλεγχο διαβατηρίων)  (Αν ο επιβάτης περιμένει στην ουρά ελέγχου αποσκευών) = (Χρόνος ολοκλήρωσης της εξυπηρέτησης στον έλεγχο αποσκευών) = (Χρόνος ολοκλήρωσης της εξυπηρέτησης στον έλεγχο αποσκευών) n Χρόνος λήξης ελέγχου αποσκευών για τον επόμενο επιβάτη από υπάλληλο του αεροδρομίου επιβάτη από υπάλληλο του αεροδρομίου = (Χρόνος έναρξης του ελέγχου αποσκευών) + (Χρόνος εξυπηρέτησης στον έλεγχο αποσκευών) (Χρόνος εξυπηρέτησης στον έλεγχο αποσκευών)

23 Slide Προσομοιώστε τους χρόνους εξυπηρέτησης από τους υπαλλήλους του αεροδρομίου για τους ελέγχους διαβατηρίων και αποσκευών στους 10 πρώτους επιβάτες μιας πτήσης εξωτερικού Χρησιμοποιήστε τους ακόλουθους τυχαίους αριθμούς: Για τον έλεγχο διαβατηρίων: Για τον έλεγχο διαβατηρίων: 93, 63, 26, 16, 21, 26, 70, 55, 72, 89 Για τον έλεγχο αποσκευών: Για τον έλεγχο αποσκευών: 13, 08, 60, 13, 68, 40, 40, 27, 23, 64 Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος

24 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Προσομοίωση εξυπηρέτησης επιβατών Έλεγχος διαβατηρίων Έλεγχος αποσκευών Έλεγχος διαβατηρίων Έλεγχος αποσκευών Αριθμός Χρόνος Τυχαίος Χρόνος Χρόνος Χρόνος Τυχαίος Χρόνος Χρόνος επιβάτη Έναρξης Αριθμός Εξυπηρέτ. Λήξης Έναρξης Αριθμός Εξυπηρέτ. Λήξης 1 0: :20 1:20 1: :00 1:20 1 0: :20 1:20 1: :00 1:20 2 1: :00 2:20 2: :00 2:20 2 1: :00 2:20 2: :00 2:20 3 2:20 26 :40 3:00 3: :00 4:00 3 2:20 26 :40 3:00 3: :00 4:00 4 3:00 16 :20 3:20 4: :00 4:00 4 3:00 16 :20 3:20 4: :00 4:00 5 3:20 21 :40 4:00 4: :00 5:00 5 3:20 21 :40 4:00 4: :00 5:00 (….συνεχίζεται)

25 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Προσομοίωση εξυπηρέτησης επιβατών (συνέχεια) Έλεγχος διαβατηρίων Έλεγχος αποσκευών Έλεγχος διαβατηρίων Έλεγχος αποσκευών Αριθμός Χρόνος Τυχαίος Χρόνος Χρόνος Χρόνος Τυχαίος Χρόνος Χρόνος επιβάτη Έναρξης Αριθμός Εξυπηρέτ. Λήξης Έναρξης Αριθμός Εξυπηρέτ. Λήξης 6 4:00 26 :40 4:40 5: :00 6:00 6 4:00 26 :40 4:40 5: :00 6:00 7 4: :00 5:40 6: :00 7:00 7 4: :00 5:40 6: :00 7:00 8 5:40 55 :40 6:20 7: :00 8:00 8 5:40 55 :40 6:20 7: :00 8:00 9 6: :00 7:20 8: :00 8:00 9 6: :00 7:20 8: :00 8: : :00 8:20 8: :00 9: : :00 8:20 8: :00 9:20

26 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Ερώτηση Πόσο χρόνο διαρκεί η εξυπηρέτηση των 10 πρώτων επιβατών? n Απάντηση Ο 10 ος επιβάτης θα τελειώσει μετά από 9 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα.

27 Slide Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος n Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος χρόνος στον οποίο ένας επιβάτης περιμένει από την στιγμή που τελειώνει τον έλεγχο διαβατηρίων μέχρι την ολοκλήρωση του έλεγχου αποσκευών; Πως επηρεάζεται αυτή η εκτίμηση, μήπως είναι μεροληπτική;;;;

28 Slide n Απάντηση Για κάθε επιβάτη υπολογίστε το χρόνο αναμονής: (Έναρξη ελέγχου αποσκευών) - (Λήξη ελέγχου αποσκευών) = = 120 sec. = = 120 sec. 120/10 = 12 sec. ανά επιβάτη 120/10 = 12 sec. ανά επιβάτη Αυτή όμως είναι μία μεροληπτική εκτίμηση γιατί θεωρούμε ότι η προσομοίωση αρχίζει, όταν το σύστημα είναι άδειο. Άρα τα αποτελέσματα αυτά υποεκτιμούν το μέσο χρόνο παραμονής. Πρακτικά, αυτή η μεροληψία εξαλείφεται μερικώς ως εξής:  Αυξάνοντας το χρόνο προσομοίωσης (βάθος χρόνου)  Παραλείποντας αποτελέσματα από το αρχικό στάδιο Παράδειγμα : Αεροδρόμιο Ελ. Βενιζέλος

29 Slide Τέλος της Προσομοίωσης