Ταχύτητες θερμοπυρηνικών αντιδράσεων στο εσωτερικό των αστέρων Ταχύτητες θερμοπυρηνικών αντιδράσεων στο εσωτερικό των αστέρων

Βασικά σημεία Βασικοί ορισμοί – κινηματική Ενεργός διατομή και ταχύτητα αντίδρασης Μη συντονισμένες ταχύτητες αντίδρασης Ταχύτητες θερμοπυρηνικών αντιδράσεων σε περίπτωση πυρηνικού συντονισμού

Βασικοί ορισμοί ε απελευθερούμενη ενέργεια από Θ-Π αντιδράσεις /gr.sec Συμβολισμοί παράδειγμα ή Συχνά ένα από τα σωμάτια μπορεί να είναι φωτόνιο π.χ. Ελαφρύτερα σωμάτια

Διατήρηση ορμής-ενέργειας-στροφορμής Περιγραφή νόμων διατήρησης στο σύστημα κέντρου μάζας Η ορμή των σωματίων 1, 2 ως προς το ΚΜ: Ανηγμένη μάζα όπου Σχετική ταχύτητα

Κινητική ενέργεια πρίν την αντίδραση Η σχέση διατήρησης κινητικής ενέργειας ισχύει εφόσον η συνολική μάζα διατηρείται, το οποίο βέβαια δεν ισχύει όταν έχουμε μια «πηγή» ΚΕ: Για τις περισσότερες αντιδράσεις στην αστροφυσική ισχύει Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε με ακρίβεια καλύτερη από 1% ότι η ΚΕ του ΚΜ Δηλ. ότι Οπότε, η διατήρηση ενέργειας στο σύστημα Κ.Μ. μας δίνει για την αντίδραση ΚΕ. στο σύστημα ΚΜ Μη σχετικιστική προσέγγιση =σταθ ΚΕ στο σύστημα Κ.Μ.

οι μάζες που εμφανίζονται στις σχέσεις αυτές είναι πυρηνικές μάζες στις συνήθεις Θ-Π αντιδράσεις το φορτίο διατηρείται, επομένως μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις πυρηνικές μάζες με ατομικές μάζες (προσθέτοντας δηλ. και στα δυο μέλη τις μάζες ίσου αριθμού ηλεκτρονίων) (σφάλμα λίγων eV λόγω διαφορετικής ενέργειας σύνδεσης των e στους πυρήνες) Αριθμός νουκλεονίων (p+n) διατηρείται, οπότε μπορώ να αφαιρέσω και από τα δυο μέλη το ΑMu 1Μu=1/12 M(12C) (atomic mass unit)

Η χρησιμότητα των ατομικών μαζών αντί των πυρηνικών είναι ότι μετρούνται απευθείας σε πειράματα μέτρησης ατομικής μάζας π.χ.

Ενεργός διατομή – Ρυθμός αντίδρασης (reaction rate) Από τη σχέση Κ.Ε. βρίσκουμε την ενέργεια που απελευθερώνεται ανά αντίδραση Πολ/ζοντας αυτη την ενέργεια με τον αριθμό των αντιδράσεων /sec/μονάδα όγκου βρίσκουμε την απελευθερούμενη ισχύ ανά μονάδα όγκου Ο αριθμός των αντιδράσεων /sec/μονάδα όγκου σχετίζεται με την «ενεργό διατομή της αντίδρασης» Η ενεργός διατομή είναι ένα μέτρο της πιθανότητας να γίνει μία αντίδραση ανά ζεύγος σωματιδίων

Ας θεωρήσουμε την αντίδραση Ακίνητα (στόχος) Ας θεωρήσουμε την αντίδραση Οι πυρήνες Χ είναι στη μορφή αερίου Με σταθερή πυκνότητα ΝΧ Ο ρυθμός της αντίδρασης θα είναι ο αριθμός των αντιδράσεων στη μονάδα του όγκου δηλ. σ ΝΧ Η ροή των σωματίων α είναι υΝα, όπου Να η αριθμητική πυκνότητα των σωματίων α Τελικά ο «ρυθμός» της αντίδρασης θα είναι: Για μια κατανομή ταχυτήτων φ(υ) θα έχουμε υ η σχετική ταχύτητα

Αν α=Χ, τότε ο συνολικός αριθμός ζευγών δεν είναι αλλά Αν α=Χ, τότε ο συνολικός αριθμός ζευγών δεν είναι αλλά Μπορούμε να ενσωματώσουμε την περίπτωση αυτή στον γενικό τύπο ως εξής: Το ονομάζεται ρυθμός αντίδρασης ανά ζεύγος αντιδρώντων σωματιδίων οπότε Όταν υπολογίζουμε χαρακτηριστικές χρονικές κλίμακες, χρειαζόμαστε την έννοια του μέσου χρόνου ζωής πυρήνων σε συγκεκριμένο περιβάλλον = Αν το Χ μπορεί να καταστραφεί με διάφορες αντιδράσεις: τ

Η κατανομή φ(υ) στο εσωτερικό αστέρων Οι πυρήνες στο εσωτερικό αστέρων είναι μη εκφυλισμένοι, εκτός από την περίπτωση αστέρων νετρονίων Σε θερμοδυναμική ισορροπία, τα διάφορα είδη πυρήνων ακολουθούν την κατανομή Maxwell-Boltzman. Μπορείτε να δείξετε ότι και η κατανομή των σχετικών ταχυτήτων είναι Maxwellian Είδος πυρήνα 1: κατανομή ταχυτήτων Οπότε ο ρυθμός αντίδρασης θα πρέπει να περιλαμβάνει ένα διπλό ολοκλήρωμα πάνω στο: Ν Ν υ υ

then the probability F(v) to find a particle with a velocity between v and v+dv is example: in terms of energy axis E=1/2 m v2 Max velocity corresponds To E=kT

Ν Αλλαγή μεταβλητής = =1 λ

Φράγμα Coulomb Κινητική ενέργεια για κατανομή M-B ~ δηλ. τάξεις μεγέθους μικρότερες, ακόμα και για εκατομμύρια Κ Πιθανότητα διείσδυσης Gamow Κβαντομηχανική πιθανότητα αλληλεπίδρασης δύο σωματιδίων πάντα ανάλογη προς τον γεωμετρικό παράγοντα όπου λ το μήκος κύματος de Broglie

Όπου ορίσαμε Ο παράγοντας S(E) είναι περίπου σταθερός μακριά από συντονισμούς και εξαρτάται μόνο από την ίδια την πυρηνική αλληλεπίδραση. Οι «μη πυρηνικοί» παράγοντες έχουν συμπεριληφθεί στους άλλους όρους Μονάδα μέτρησης ενεργού διατομής

resonance in 13N σ(Ε) barn Nuclear cross sections for interactions between charged particles vary extremely rapidly with energy at low energies

S(E) keV.barn

Υπολογισμός του <συ> με αλλαγή μεταβλητής υ Ε Υπολογισμός του <συ> με αλλαγή μεταβλητής υ Ε ψ(Ε) = = = S(E)~So

Οπότε κοντά στο μέγιστο έχω: ~ ~ Max of integrand Eo= Οπότε κοντά στο μέγιστο έχω: Οπoυ: Δηλ. τα πιο αποτελεσματικά σωματίδια είναι λίγα keV εκατέρωθεν του Εο

Υπόθεση S(E)=So=σταθ αντικαθίσταται από γραμμική προσέγγιση Διορθώσεις: Υπόθεση S(E)=So=σταθ αντικαθίσταται από γραμμική προσέγγιση Electron shielding (x f αύξηση) Διόρθωση προσεγγιστικής λύσης ολοκληρώματος όπου

Resonant Reactions The energy range that could be populated in the compound nucleus by capture of the incoming projectile by the target nucleus is for “direct” reactions: for neutron induced reactions: roughly given by the M.B. energy distribution of the incoming projectile for charged particle reactions: the Gamow window If in this energy range there is an excited state (or part of it, as states have a width) in the Compound nucleus then the reaction rate will have a resonant contribution. If the center of the state is located in (or near) this energy range, then: The resonant contribution to the reaction rate tends to dominate by far The reaction rate becomes extremely sensitive to the properties of the resonant state

g With: Reaction: 1 + T C F+2 For capture 2 is a g ray and F=C Step 1 Projectile 1 Target nucleus T Compound nucleus C Final nucleus F Outgoing particle 2 For capture 2 is a g ray and F=C Step 1 Step 2 Er G S1 g T+1 C C = F S1: Particle 1 separation energy in C. Excited states above S1 are unbound and can decay by emission of particle 1 (in addition to other decay modes). Such states can serve as resonances For capture, S1 = Q-value Er: Resonance energy. Energy needed to populate the center of a resonance state Reminder: Center of mass system Laboratory system

The cross section contribution due to a single resonance is given by the Breit-Wigner formula: Usual geometric factor Partial width for decay of resonance by emission of particle 1 = Rate for formation of Compound nucleus state Partial width for decay of resonance by emission of particle 2 = Rate for decay of Compund nucleus into the right exit channel spin factor: G Total width is in the denominator as a large total width reduces the relative probabilities for formation and decay into specific channels.

Example: Resonance contributions are on top of direct capture cross sections

… and the corresponding S-factor Note varying widths ! Not constant S-factor for resonances (log scale !!!!) ~ constant S-factor for direct capture

25Al energy levels: Each resonance corresponds to a level. For example: Er=3.06 MeV - 2.27 MeV =790 keV in CM System ! In Lab system: Er LAB=25/24 * 0.790 MeV = 0.823 MeV So with 823 keV protons on a 24Mg target at rest one would hit the resonance (See Pg. 58) Angular momentum and Parity Conservation: 24Mg: 0+ So s-wave protons can populate 1/2+ resonances p: 1/2+ p-wave protons can populate 1/2-, 3/2- resonances So the 823 keV resonance with 3/2- is a p-wave resonance

Energy dependence of width’s Partial and total widths depend sensitively on the decay energy. Therefore: widths depend sensitively on the excitation energy of the state widths for a given state are a function of energy ! (they are NOT constants in the Breit Wigner Formula) Particle widths: * - see note below Main energy dependence (can be calculated) “reduced width” Contains the nuclear physics Photon widths: Reduced matrix element

For particle capture: For other cases: Typically Er << Q and mostly also Er << S2 and therefore in many cases: Gincoming particle has strong dependence on Er (especially if it is a charged particle !) Goutgoing particle has only weak dependence on Er So, for capture of particle 1, the main energy dependence of the cross section comes from l2 and G1 Particle partial widths have the same (approximate) energy dependence as the “Penetrability” factor that we discussed in terms of the direct reaction mechanism.

Abundance changes, lifetimes, networks Lets assume the only reaction that involves nuclei A and B is destruction (production) of A (B) by A capturing the projectile a: A + a -> B And lets assume the reaction rate is constant over time. This is a very simple reaction network: A B Each isotope is a node that is linked to other isotopes through production and destruction channels Starting from an initial abundance, we can then ask, how the abundance of each network node evolves over time Typically the same light projectiles drive most of the reactions (neutron or proton capture) so we don’t enter p, n and all its destruction channels into the graphics but understand that they get produced and destroyed as well)

We can write down a set of differential equations for each abundance change Assuming, the reaction rate is constant in time, this case can be solved easily (same as decay law):

and of course after some time, nucleus A is entirely converted to nucleus B Example: A B Y0A same abundance level Y0A abundance Y0A/e t time Lifetime of A (against destruction via the reaction A+a) : (of course half-life of A T1/2=ln2/l)

Energy generation through a specific reaction: Reaction Q-value: Energy generated (if >0) by a single reaction in general, for any reaction (sequence) with nuclear masses m: Energy generation: Energy generated per g and second by a reaction A+a: Unit in CGS: erg (1 erg = 1E-7 Joule) (remember, positron emission almost always leads to an additional energy release by the subsequent annihilation process (2 x .511 MeV))

Reaction flow abundance of nuclei of species A converted in time in time interval [t1,t2] into species B via a specific reaction AB is called reaction flow For Net reaction flow subtract the flow via the inverse of that specific reaction (this is what is often plotted in the network connecting the nodes) (Sometimes the reaction flow is also called reaction flux) In our example, at infinite time A has been converted entirely into B. Therefore

Multiple reactions destroying a nuclide example: in the CNO cycle, 13N can either capture a proton or b decay. (p,g) 13N each destructive reaction i has a rate li (b+) Total lifetime 13C the total destruction rate for the nucleus is then its total lifetime Branching the reaction flow branching into reaction i, bi is the fraction of destructive flow through reaction i. (or the fraction of nuclei destroyed via reaction i)

General reaction network A set of n isotopes with abundances Yi, Consider 1- and 2-body rates only production destruction Note that this depends on mass density r and temperature (through <sv> and l) so this requires input from a stellar model. Needs to be solved numerically. This is not trivial as system is very stiff (reaction rate timescales vary by many many orders of magnitude)

Example for a more complex network (rp-process in X-ray bursts) Mass known < 10 keV Mass known > 10 keV Only half-life known seen Figure: Schatz&Rehm, Nucl. Phys. A,