Τίτλος: Επίλυση Αλγεβρικών Υπερβατικών Εξισώσεων ΑΓΓΕΛΩΝΙΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, ΑΕΜ : 2107 ΓΕΡΑΚΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, ΑΕΜ : 1981 επιβλeπων: ΧΡΗΣΤΟΣ Θ. ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

Εισαγωγή Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι Η υλοποίηση μεθόδων για τον υπολογισμό των ριζών υπερβατικών εξισώσεων Η διατύπωση των πλεονεκτημάτων και των μειονεκτημάτων της κάθε μίας Η υλοποίηση όλων των μεθόδων σε γλώσσα προγραμματισμού PASCAL Η εκτέλεση των προγραμμάτων σε πραγματικό χρόνο για άμεση εξαγωγή αποτελεσμάτων Η εξαγωγή συμπερασμάτων για την ταχύτητα και την ακρίβεια των μεθόδων βάση των αποτελεσμάτων

Εισαγωγή Η μέθοδος εσφαλμένης θέσης Η επαναληπτική μέθοδος Fixed Point Η επαναληπτική μέθοδος Newton – Raphson Η μέθοδος της τέμνουσας Η μέθοδος της διχοτόμησης Η μέθοδος του Δ2 Η μέθοδος εσφαλμένης θέσης Η επαναληπτική μέθοδος Fixed Point

Η επαναληπτική μέθοδος Newton - Raphson Πρόκειται για μια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες επαναληπτικές μεθόδους Χρησιμοποιείται και για την επίλυση δύσκολων, μη γραμμικών προβλημάτων Ξεχωρίζει επειδή έχει ταχύτερη σύγκλιση (ακριβείς προσεγγίσεις της λύσης σε κάθε επανάληψη)

Η επαναληπτική μέθοδος Newton - Raphson Θεώρημα (α) η f(x) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,b], με f ′(x), f ′′(x) ≠ 0 για κάθε x∈[α,b] (β) f(α)f(b) < 0, τότε υπάρχει μοναδική ρίζα x της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστημα (α,b), η οποία είναι το όριο της ακολουθίας :

Η επαναληπτική μέθοδος Newton - Raphson Αρχικές τιμές - αριθμός επαναλήψεων - ακρίβεια δεκαδικών - αρχική τιμή σαν προσέγγιση του σημείου όπου ψάχνω τη ρίζα i := 1; xa := x0+E+1; xb := x0; WHILE (dFdx(x0)<>0) and (i<=N) and (ABS(xb-xa)>E) DO BEGIN xa := xb; xb := xa - (F(xa)/dFdx(xa)); Write(xb); Readln; i := i+1; END;

Η επαναληπτική μέθοδος Newton - Raphson Παρατηρήσεις Η βασική δυσκολία της μεθόδου Newton-Raphson είναι η εύρεση της αρχικής προσέγγισης x0 ώστε να βρίσκεται σε μια περιοχή [x-δ,x+δ]. Αν το x0 είναι εκτός της περιοχής αυτής τότε οι διαδοχικές προσεγγίσεις της μεθόδου απομακρύνονται συνεχώς από το x και κατά συνέπεια η ρίζα δεν μπορεί να προσεγγισθεί. Το συμπέρασμα είναι ότι η μέθοδος Newton-Raphson συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη σαν μια τελική διαδικασία τερματισμού ενός άλλου, πιο αργού αλλά πιο ασφαλούς αλγορίθμου.

Η μέθοδος της τέμνουσας Θεώρημα Έστω µία πραγματική συνάρτηση f(x) : (α) η f(x) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστηµα [α,b], µε f′(x),f′′(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α,b] (β) f(α) f(b) < 0, τότε υπάρχει μοναδική ρίζα x της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b), η οποία είναι το όριο της ακολουθίας:

Η μέθοδος της τέμνουσας Αρχικές τιμές - αριθμός επαναλήψεων - ακρίβεια δεκαδικών - αρχικές τιμές ως προσεγγίσεις του διαστήματος όπου ψάχνω τη ρίζα i := 1; xb := x0; xc := x1; WHILE (i<=N) and (ABS(xc-xb)>E) DO BEGIN xa := xb; xb := xc; xc := xb - F(xb)*((xb-xa)/(F(xb)-F(xa))); Write(xc); Readln; i := i+1; END;

Η μέθοδος της τέμνουσας Σύγκριση με τη μέθοδο Newton Δυο βασικές διαφορές: Η μέθοδος Newton απαιτεί τη γνώση των f(xn) και f′(xn) σε κάθε επανάληψη ενώ η μέθοδος της τέμνουσας απαιτεί τη γνώση μόνο της f (xn). Η μέθοδος Newton συγκλίνει πιο γρήγορα και κατά συνέπεια απαιτούνται λιγότερες επαναλήψεις για να επιτύχουμε τη ζητούμενη ακρίβεια.

Η μέθοδος της διχοτόμησης Αποτελεί απευθείας εφαρμογή του θεωρήματος του Bolzano. Θεώρημα Έστω α,b∈R , α<b και f(x):[a,b]→R είναι µία συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α,b], µε f(α) f(b)<0. Τότε, υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστημα (α,b).

Η μέθοδος της διχοτόμησης Αρχικές τιμές - αριθμός επαναλήψεων - ακρίβεια δεκαδικών - αρχικές τιμές ως προσεγγίσεις του διαστήματος όπου ψάχνω τη ρίζα i := 1; xa := x0; xb := x1; IF (F(xa)*F(xb)) >= 0 THEN WRITELN('F(xa)*F(xb) >= 0') ELSE REPEAT x := xa + (xb-xa)/2; WRITELN(x); READLN; IF (F(xa)*F(x)<0) THEN xb := x xa := x; i := i+1 UNTIL (i>N) or (F(x)=0) or ((xb-xa)<E);

Η μέθοδος της διχοτόμησης Πλεονεκτήματα Συγκλίνει πάντα, γιατί σε κάθε βήμα πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bolzano. Μειονεκτήματα Υλοποιείται με διχοτόμηση διαστημάτων και έτσι είναι η πιο αργή από όλες τις μεθόδους.

Η μέθοδος του Δ2 Θεωρούμε μία επαναληπτική μέθοδο : ξν+1 = F(ξν) αργή μαθηματική σύγκλιση – ανάλυση που οφείλεται στον Aitken αποσκοπεί στην επιτάχυνση της σύγκλισης Χρειάζεται να μετασχηματίσουμε την εξίσωση και να βρούμε τρεις τιμές : ξν, ξν+1 και ξν+2 έτσι ώστε να βρούμε την ποσότητα yν. Γνωρίζουμε ότι : ξν=G(x0), ξν+1=G(ξν) και ξν+2=G(ξν+1) και για να βρούμε τη ρίζα :

Η μέθοδος του Δ2 i := 1; xa := x0; xc := x0; Aitkenx := x0+1; Αρχικές τιμές - αριθμός επαναλήψεων - ακρίβεια δεκαδικών - αρχικές τιμές ως προσεγγίσεις του διαστήματος όπου ψάχνω τη ρίζα i := 1; xa := x0; xc := x0; Aitkenx := x0+1; WHILE (i<=N) and (ABS(Aitkenx-xc)>E) DO BEGIN xb := G(xa); xc := G(xb); Aitkenx := xc - sqr(xc-xb)/(xc - 2*xb + xa); WRITE(Aitkenx); READLN; i := i+1; xa := Aitkenx; END;

Η μέθοδος του Δ2 Συνεχίζουμε τις επαναλήψεις μέχρι να ενεργοποιηθεί ένα ή περισσότερα από τα παρακάτω κριτήρια τερματισμού : Όταν η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ xi (τρέχουσας προσεγγιστικής ρίζας) και xi-1 (προηγούμενης προσεγγιστικής ρίζας) είναι μικρότερη από την ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων Η τιμή xi να είναι ρίζα της συνάρτησης f(x), δηλαδή ισχύει f(xi)=0 Οι επαναλήψεις για την εύρεση της ρίζας εξαντλήθηκαν.

Η μέθοδος εσφαλμένης θέσης Θεώρημα Αν f∈C[a, b], με f(a)f(b)<0, τότε η ακολουθία με x0=b, συγκλίνει στην ρίζα της f και έχει τουλάχιστον γραμμική σύγκλιση. Βασίζεται στον προσδιορισμό διαδοχικών διαστημάτων ολοένα και μικρότερου εύρους, στα οποία ικανοποιείται το κριτήριο του θεωρήματος Bolzano.

Η μέθοδος εσφαλμένης θέσης Αρχικές τιμές - αριθμός επαναλήψεων - ακρίβεια δεκαδικών - αρχικές τιμές ως προσεγγίσεις του διαστήματος όπου ψάχνω τη ρίζα i := 1; xa := x0; xb := x1; IF (F(xa)*F(xb)) >= 0 THEN WRITELN('F(xa)*F(xb) >= 0') ELSE REPEAT xc := xb - F(xb)*((xb-xa)/(F(xb)-F(xa))); WRITE(xc); READLN; IF (F(xa)*F(xc)<0) THEN xb := xc xa := xc; i := i+1 UNTIL (i>N) or (ABS(F(xc))<E);

Η μέθοδος εσφαλμένης θέσης Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Regula-Falsi συγκλίνει πάντα, γιατί σε κάθε βήμα πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bolzano. Είναι σαφώς ταχύτερη της μεθόδου διχοτόμησης. Μειονεκτήματα Όταν έχουμε άρτιο αριθμό ριζών τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν ισχύει f(a)f(b)<0.Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα σε μικρότερα τμήματα.

Η μέθοδος εσφαλμένης θέσης Oι μέθοδοι Regula Falsi και Τέμνουσας έχουν τον ίδιο αλγοριθμικό τύπο Η διαφορά των δύο μεθόδων έγκειται στο ότι, στη μεν Regula Falsi επιλέγεται σαν νέο διάστημα εκείνο στο οποίο βρίσκεται η ρίζα, ενώ στη μέθοδο της τέμνουσας όχι. Στην πρώτη μέθοδο αυτό επιτυγχάνεται μέσω ελέγχου βάσει του θεωρήματος Bolzano, ενώ στην δεύτερη δεν γίνεται έλεγχος, οπότε η ρίζα μπορεί να βρίσκεται εκτός του υπό μελέτη διαστήματος.

Η επαναληπτική μέθοδος Fixed Point Θεώρημα Επανάληψη Fixed Point : Η υπερβατική εξίσωση f (x) = 0 μπορεί να μετατραπεί αλγεβρικά στη μορφή x = g (x) και, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το επαναληπτικό σχήμα με την αναδρομική σχέση με μια αρχική εικασία ονομάζεται fixed point επανάληψη - θεωρούμε f(x)=G(x) - χρησιμοποιούμε τον αναγωγικό τύπο xi+1=G(xi) για να υπολογίσουμε την τομή της ευθείας και της καμπύλης και έχουμε : x1=G(x0) και x2=G(x1) - συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι η ακολουθία των τιμών να συγκλίνει και για κάποια τιμή του n, η είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 - σε περίπτωση που η ακολουθία δεν συγκλίνει, τότε ενεργοποιούνται τα υπόλοιπα κριτήρια τερματισμού της μεθόδου

Η επαναληπτική μέθοδος Fixed Point i := 1; xa := x0+E+1; xb := x0; WHILE (i<=N) and (ABS(xb-xa)>E) DO BEGIN xa := xb; xb := G(xa); WRITE(xb); READLN; i := i+1; END; Αρχικές τιμές - αριθμός επαναλήψεων - ακρίβεια δεκαδικών - αρχικές τιμές ως προσεγγίσεις του διαστήματος όπου ψάχνω τη ρίζα

Συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε μια σειρά μεθόδων αλγορίθμων και αναπτύχθηκε κώδικας ώστε να επιτευχθεί μεγαλύτερη ταχύτητα των αποτελεσμάτων κατά την επίλυση διαφόρων υπερβατικών εξισώσεων αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια αυτών. Έπειτα, προχωρήσαμε στη θεωρητική ανάλυση των μεθόδων αυτών, των πλεονεκτημάτων και των μειονεκτημάτων τους αλλά και την παράθεση κάποιων σημαντικών παρατηρήσεων. Παράλληλα με την ανάλυση της κάθε μεθόδου δόθηκαν και τα αντίστοιχα παραδείγματα ενώ στο τέλος της ανάπτυξης του θεωρητικού μέρους, παρατέθηκε αναλυτικά η υπολογιστική κατασκευή της κάθε μεθόδου, ώστε να γίνει αντιληπτό πως τίθεται ο κάθε κώδικας σε εφαρμογή.

Συμπεράσματα Κατά συνέπεια Η πρώτη μέθοδος που μελετήθηκε είναι η «Newton-Raphson» η οποία δεν είναι πάντα η καλύτερη μέθοδος για τη λύση ενός προβλήματος αλλά ξεχωρίζει επειδή έχει ταχύτερη σύγκλιση σε σχέση με άλλες μεθόδους και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να προκύπτουν περισσότερο ακριβείς προσεγγίσεις της λύσης σε κάθε επανάληψη. Η δεύτερη μέθοδος που μελετήθηκε είναι η «μέθοδος της τέμνουσας» η οποία συγκλίνει πιο γρήγορα με συνέπεια να απαιτούνται λιγότερες επαναλήψεις για να επιτύχουμε τη ζητούμενη ακρίβεια. Η τρίτη μέθοδος που μελετήθηκε είναι η «μέθοδος της διχοτόμησης» η οποία είναι η πιο αργή από όλες τις μεθόδους, καθώς υλοποιείται με διχοτόμηση διαστημάτων. Παρ’ όλα αυτά συγκλίνει πάντα γιατί σε κάθε βήμα πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bolzano. Στη συνέχεια, μελετήθηκε η «μέθοδος Δ2» που οφείλεται στον Aitken και αποσκοπεί στην επιτάχυνση της σύγκλισης μιας τέτοιας ακολουθίας. Έπειτα, μελετήθηκε η «μέθοδος της εσφαλμένης θέσης» η οποία είναι σαφώς ταχύτερη της «μεθόδου διχοτόμησης» και συγκλίνει πάντα, γιατί επίσης σε κάθε βήμα πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bolzano. Τέλος, μελετήθηκε η μέθοδος Fixed Point η οποία με την κατάλληλη μορφοποίηση της ζητούμενης εξίσωσης, θα συγκλίνει πάντα.