Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων SUPPLEMENTARY COURSE NOTES Θέμα 1 Μετασχηματισμός ομοιότητας για σφαιρικούς αρμονικούς συντελεστές 3Δ αρμονικών πεδίων

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας 3Δ Μετασχηματισμός ομοιότητας  Καρτεσιανές συντεταγμένες  7 παράμετροι μετασχηματισμού  Μη-γραμμικό μοντέλο GRF2 x'x' y'y' z'z' GRF1 x y z

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας 3Δ Μετασχηματισμός ομοιότητας GRF2 x'x' y'y' z'z' GRF1 x y z  Γραμμικοποιημένο μοντέλο  Ασήμαντη απώλεια ακρίβειας για γεωδαιτικές εφαρμογές  Θετικές γωνίες στροφής (anti-clockwise)

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών Ανάπτυγμα 3Δ αρμονικής συνάρτησης σε σειρά σφαιρικών αρμονικών  r, φ, λ σφαιρικές συντεταγμένες  P nm (▫) γενικευμένες συναρτήσεις Legendre  {a nm }, {b nm } σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών Ανάπτυγμα 3Δ αρμονικής συνάρτησης σε σειρά σφαιρικών αρμονικών  Πρόβλημα συνοριακών τιμών του Dirichlet (για το εξωτερικό και το εσωτερικό σφαιρικής επιφάνειας με ακτίνα R)

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών Ανάπτυγμα 3Δ αρμονικής συνάρτησης σε σειρά “κανονικοποιημένων” σφαιρικών αρμονικών  P nm (▫) πλήρως κανονικοποιημένες γενικευμένες συναρτήσεις Legendre  {a nm }, {b nm } πλήρως κανονικοποιημένοι σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Γεωδυναμικά Μοντέλα Βαρύτητας γήινου βαρυτικού δυναμικού έλξης Ανάπτυγμα του γήινου βαρυτικού δυναμικού έλξης σε σειρά σφαιρικών αρμονικών P  a: “συντελεστής κλίμακας” του γεωδυναμικού μοντέλου  GM: “γήινη βαρυτική σταθερά” του γεωδυναμικού μοντέλου  {C nm } {S nm } αδιάστατοι σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές x y z λ r φ

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές Αριθμός μη-μηδενικών στοιχείων κάτω-τριγωνικού πίνακα διαστάσεων q  q Υπό μορφή κάτω-τριγωνικού πίνακα Για q = n+1, θα έχουμε σφαιρικούς αρμονικούς συντελεστές τύπου “ C”

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές Αριθμός μη-μηδενικών στοιχείων κάτω-τριγωνικού πίνακα διαστάσεων q  q Υπό μορφή κάτω-τριγωνικού πίνακα Για q = n+1, θα έχουμε σφαιρικούς αρμονικούς συντελεστές τύπου “ S”

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές Γενικά, σε ένα γεωδυναμικό μοντέλο βαρύτητας με πλήρη βαθμό και τάξη ανάπτυξης n max, θα έχω συνολικά: σφαιρικούς αρμονικούς συντελεστές {C nm }, {S nm }. n max = 360 → συντελεστές n max = 2160 → συντελεστές

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές Συντελεστές τύπου “C” με ειδική φυσική σημασία r, φ, λ Κέντρο μάζας x y z cm

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές Συντελεστές τύπου “S” με ειδική φυσική σημασία x y z cm r, φ, λ Κέντρο μάζας x y z cm

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές r, φ, λ Κέντρο μάζας x y z cm...συνήθως... ποιά είναι η φυσική σημασία στην περίπτωση αυτή?

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές r, φ, λ Κέντρο μάζας x y z cm...πάντα...

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές x y z cm r, φ, λ Κέντρο μάζας x y z cm...πάντα...γιατί?

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές x y z cm r, φ, λ Κέντρο μάζας x y z cm...πάντα...

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παρατήρηση... Κάθε γεωδυναμικό μοντέλο βαρύτητας υπό την μορφή σφαιρικών αρμονικών συντελεστών «κουβαλάει» το δικό του επίγειο σύστημα αναφοράς. {C nm }, {S nm }, n max r, φ, λ x y z

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα (EGM96) The Development of the Joint NASA GSFC and the National Imagery and Mapping Agency (NIMA) Geopotential ModelEGM96; NASA Technical Paper NASA/TP , Goddard Space Flight Center, Greenbelt, USA, 1998 product_type gravity_field modelname EGM96 earth_gravity_constant E+15 radius E+07 max_degree 360 errors formal key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc E E E E+00 gfc E E E E+00 gfc E E E E-29 gfc E E E E-10 gfc E E E E+00 gfc E E E E-09 gfc E E E E-09 gfc E E E E-10 gfc E E E E+00 gfc E E E E-10 gfc E E E E-09 gfc E E E E-10 gfc E E E E-10

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα (TUM-2S) A gravity field model from two years of CHAMP kinematic orbits using the energy balance approach. product_type gravity_field modelname TUM-2S earth_gravity_constant D+15 radius max_degree 60 errors formal key L M C S sigma C sigma S end_of_head =================================================================================== gfc e e e e+000 gfc e e e e+000 gfc e e e e-011 gfc e e e e+000 gfc e e e e-011 gfc e e e e-011 gfc e e e e+000 gfc e e e e-011 gfc e e e e-011 gfc e e e e-011 gfc e e e e+000 gfc e e e e-011 gfc e e e e-011 gfc e e e e-011 gfc e e e e-011

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Μετασχηματισμός σφαιρικών αρμονικών y cm r, φ, λ x y z r', φ', λ' x'x' y'y' z'z' {C nm }, {S nm } {C' nm }, {S' nm } δs, t x, t y, t z, ε x, ε y, ε z

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Μετασχηματισμός σφαιρικών αρμονικών r, φ, λ x y z r', φ', λ' x'x' y'y' z'z'

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Μετασχηματισμός σφαιρικών αρμονικών r, φ, λ x y z r', φ', λ' x'x' y'y' z'z'

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Μετασχηματισμός σφαιρικών αρμονικών r, φ, λ x y z r', φ', λ' x'x' y'y' z'z'

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Μετασχηματισμός σφαιρικών αρμονικών r, φ, λ x y z r', φ', λ' x'x' y'y' z'z'

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Η επίδραση της μετάθεσης του Σ.Α Εξ’ ορισμού cm x y z x'x' y'y' z'z'

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Άσκηση Χρησιμοποιώντας σαν βασικό μοντέλο αναφοράς το EGM96, προσδιορίστε τις παραμέτρους μετασχηματισμού σε σχέση με τα παρακάτω γεωδυναμικά μοντέλα:  SE1 (Lundquist and Veis, 1966) n max =8  OSU91a (Rapp et al., 1991) n max =360  GEMT3 (Lerch et al., 1992) n max =50  EIGEN-GRACE02S (Reigber et al. 2004) n max =150  TUM-2S (Wermuth et al., 2004) n max =60

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Προσοχή !! Σε περίπτωση που τα συγκρινόμενα γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας χρησιμοποιούν διαφορετικές τιμές για τον συντελεστή κλίμακας (“α”) και την γήινη βαρυτική σταθερά (“GM”), θα πρέπει να εφαρμοστούν κατάλληλες διορθώσεις (re-scaling) στους συντελεστές {C nm } {S nm } του ενός από τα δύο μοντέλα, ώστε να αναφέρονται στις ίδιες σταθερές τιμές των “GM” και “α”.

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Προσοχή !! Σε περίπτωση που τα συγκρινόμενα γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας αναφέρονται σε διαφορετικό βαθμό ανάπτυξης (n max ), οι παράμετροι μετασχηματισμού θα πρέπει να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας το κοινό φασματικό μέρος {C nm } {S nm } των δύο μοντέλων.

Προχωρημένα Θέματα Ανάλυσης Δεδομένων (ΜΠΣ Γεωπληροφορικής) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Χρήσιμα sites International Center for Global Earth Models (ICGEM)