ΤΕΙ Αθήνας: Σχολή ΤΕΦ: Τμήμα Ναυπηγικής Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ NA0703C39 Εξάμηνο Ζ’ Διδάσκων Κωνσταντίνος Β. Κώστας Παρουσίαση 9

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ2 Θεωρία Γράφων  Θεωρείται μία από τις νεότερες υπό-περιοχές των μαθηματικών Ωστόσο ή πρώτη εργασία στην θεωρία γράφων εμφανίζεται το 1736 από τον Leonard Euler με την οποία έδωσε απάντηση στο πρόβλημα της γέφυρας του Könisgberg (σήμερα Kaliningrand Ρωσία)

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ3 Γράφος και Εφαρμογές  Ο Γράφος είναι ένα σύνολο από σημεία (κορυφές) και ένα σύνολο γραμμών (πλευρές), η κάθε μία από τις οποίες ενώνει είτε 2 σημεία είτε ένα σημείο με τον εαυτό του.  Οι ιδέες για την θεωρία γράφων είναι πολύ απλές και ενδεχομένως αυτός είναι και ένας βασικός λόγος για τον οποίο η θεωρία γράφων βρίσκει εφαρμογές σε όλες σχεδόν τους σύγχρονους επιστημονικούς κλάδους: από την Χημεία και την Επιστήμη της Πληροφορικής στα Οικονομικά, στην Ηλεκτρονική αλλά και στην γλωσσολογία

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ4 Ορισμοί (1)  Ένας Μη Κατευθυνόμενος (Non directed) Γράφος Γ αποτελείται από: Ένα πεπερασμένο μη κενό σύνολο σημείων V (κορυφές) Ένα πεπερασμένο σύνολο πλευρών Ε, και Μία συνάρτηση δ:E P (V) τέτοια ώστε για κάθε πλευρά ε, ή δ(ε) είναι ένα υποσύνολο ενός ή δύο σημείων του V  Η πλευρά ε λέγεται πως ενώνει τα στοιχεία της δ(ε)

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ5 Ορισμοί (2) Ένας γράφος Γ, ο οποίος:  Έχει το πολύ μία πλευρά ε να ενώνει ένα ζεύγος σημείων {v1,v2}V  Δεν έχει καμία πλευρά να ενώνει ένα σημείο με τον εαυτό του Ονομάζεται απλός γράφος (Simple)

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ6 Ορισμοί (3)  Δυο κορυφές v και w είναι γειτονικές (adjacent) αν υπάρχει πλευρά ε που τις ενώνει. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε πως οι v και w πρόσκειται στην ε και ότι ή ε πρόσκειται στις v και w  Οι πλευρές ε1,ε3,...,εN είναι γειτονικές (adjacent) αν έχουν τουλάχιστον μια κοινή κορυφή  Ο βαθμός μια κορυφής σ(v) είναι ο αριθμός των πλευρών που πρόσκειται στην v

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ7 Ορισμοί (4)  Κενός γράφος (Null) είναι ο γράφος του οποίου το σύνολο πλευρών είναι κενό  Πλήρης γράφος (Complete) είναι ο απλός γράφος για τον όποιο κάθε ζευγάρι κορυφών ενώνεται από μία πλευρά  Διμερής (Bipartite) είναι ο γράφος για τον οποίο υπάρχουν δύο υποσύνολα {V1,V2} του V με V1UV2=V και κάθε πλευρά του ενώνει μία κορυφή του V1 με μία κορυφή του V2  Πλήρης Διμερής είναι ένας διμερής γράφος για τον οποίο κάθε κορυφή του V1 ενώνεται με κάθε κορυφή του V2 με μοναδικές πλευρές

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ8 Ορισμοί (5)  Ένας γράφος Σ είναι υπο-γράφος του γράφου Γ έαν V Σ V Γ, Ε Σ Ε Γ και δ Σ (ε)=δ Γ (ε). Τότε η σχέση των Σ,Γ συμβολίζεται ως Σ≤Γ  Αν υποθέσουμε πως έχουμε έναν γράφο Γ με σύνολο κορυψών V:{v1,v2,…,vN} τότε ονομάζουμε πίνακα γειτνίασης (adjacency matrix) του Γ τον πίνακα ΝxN A (A=A(Γ)) για τον οποίο ή τιμή του στοιχείου a ij ισούται με τον αριθμό των ξεχωριστών πλευρών που ενώνουν τα vi και vj

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ9 Παράδειγμα 1

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ10 Ορισμοί (6)  Μια σειρά πλευρών (edge sequence) μήκους n ενός γράφου Γ είναι μια ακολουθία πλευρών του ε 1,ε 2,...,ε n (η κάθε πλευρά μπορεί να εμφανίζεται παραπάνω από μία φορές) τέτοια ώστε οι ε i και η ε i+1 είναι γειτονικές για i=1,2,…,n-1. Μια σειρά πλευρών καθορίζει και μια σειρά κορυφών-vertex sequence (επίσης κάθε κορυφή μπορεί να εμφανίζεται παραπάνω από μία φορές) v 0,v 1,v 2,…,v n όπου δ(ε i )={v i-1,v i }  Διαδρομή (path) σε έναν γράφο Γ είναι μια σειρά πλευρών για την οποία κάθε πλευρά εμφανίζεται μία φορά.  Αν σε μια διαδρομή γράφου η κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά (εκτός ενδεχομένως από την πρώτη και τελευταία που μπορούν να συμπίπτουν v 0 =v n ) τότε η διαδρομή ονομάζεται απλή διαδρομή  Μια σειρά πλευρών ονομάζεται κλειστή αν v 0 =v n. Μια κλειστή απλή διαδρομή που περιέχει τουλάχιστον μία πλευρά ονομάζεται κυκλική διαδρομή (circuit).

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ11 Ορισμοί (7)  Ένας γράφος Γ είναι συνδεδεμένος αν για κάθε ζευγάρι ξεχωριστών κορυφών του, υπάρχει μια διαδρομή που τις ενώνει  Μια διαδρομή Eulerian σε έναν γράφο Γ είναι μια κυκλική διαδρομή που περιλαμβάνει κάθε πλευρά του Γ.  Ένας γράφος είναι Eulerian εάν υπάρχει τουλάχιστον μία Eulerian διαδρομή σε αυτόν.  Ένας συνδεδεμένος γράφος είναι Eulerian αν και μόνο αν η κάθε κορυφή του έχει βαθμό άρτιο.

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ12 Ορισμοί (8)  Μια κυκλική διαδρομή σε έναν γράφο Γ είναι Hamiltonian αν η διαδρομή περνά μια φορά από κάθε κορυφή του γράφου.  Ένας γράφος είναι Hamiltonian εάν διαθέτει μια Hamiltonian κυκλική διαδρομή  Εάν Γ ένας συνδεδεμένος απλός γράφος με n (3) κορυφές και ο βαθμός της κάθες κορυφής v είναι σ(v) 1/2 n τότε ο Γ είναι Hamiltonian (ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη)  Δένδρο είναι ένας συνδεδεμένος γράφος που δεν περιέχει καμία κυκλική διαδρομή

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ13 Εύρεση της συντομότερης διαδρομής (shortest path problem)  Θεωρούμε έναν συνδεδεμένο γράφο Γ, ο οποίος επιπλέον διαθέτει «βάρη-weights» στις πλευρές του. Έστω ακόμη δύο κορυφές του, v i και v j. Το πρόβλημα της εύρεσης της συντομότερης διαδρομής μεταφράζεται στην εύρεση της διαδρομής με το μικρότερο συνολικό βάρος. Η διαδρομή είναι ένας υπογράφος του γράφου και κατά συνέπεια το βάρος της είναι το άθροισμα των βαρών των πλευρών της.  Η ύπαρξη της συντομότερης διαδρομής ανάμεσα σε 2 κορυφές σε πεπερασμένους και συνδεδεμένους γράφους είναι προφανής, ωστόσο η μοναδικότητα μιας τέτοιας διαδρομής δεν είναι εξασφαλισμένη. Μέ άλλα λόγια ένας αλγόριθμος εύρεσης συντομότερης (ή γενικότερα βέλτιστης διαδρομής) έχει ως αποτέλεσμα μία ή περισσότερες από τις βέλτιστες διαδρομές

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ14 Εύρεση Βέλτιστης Διαδρομής (Αλγόριθμος του Dijkstra)  H ιδέα του αλγόριθμου για εύρεση της βέλτιστης διαδρομής μεταξύ των v και u έχει ως ακολούθως: Ξεκινούμε από την κορυφή v και κινούμαστε στον γράφο θέτοντας μια τιμή L(u i ) σε κάθε κορυφή u i που συναντούμε. Η τιμή L(u i ) αντιστοιχεί στο μήκος της διαδρομής που έχουμε διανύσει από την v προς τη u. H τιμές αυτές είναι προσωρινές και δύναται να αλλάξουν αν βρούμε μία συντομότερη διαδρομή από την v προς την u.

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ15 O αλγόριθμος του Dijkstra (1) Εύρεση διαδρομής στον Γράφο Γ από την κορυφή v στην κορυφή u 1.Για κάθε κορυφή vi του γράφου θέτω 1.L(vi)= και 2.P(vi)=NULL 2.Θέτω L(v) = 0 3.Έστω V το σύνολο των κορυφών του Γ 4.Αν V 1.Θέτω ως ui την κορυφή με την μικρότερη L(vi) [Την πρώτη φορά θα είναι ui=vi] 2.Αφαιρώ την ui από το σύνολο V 3.Αν uiu 1. Για κάθε γειτονική κορυφή vi της ui: 1.Θέτω a = L(ui) + w(ε ui-vi ) 2.Αν a<L(vi) 1.L(vi)=a 2.P(vi)=ui 5.Επέστρεψε την συνάρτηση P()

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ16 Εφαρμογή του αλγορίθμου του Dijkstra [Βήμα 0-1]

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ17 Εφαρμογή του αλγορίθμου του Dijkstra [Bήμα 2-3]

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ18 Εφαρμογή του αλγορίθμου του Dijkstra [Bήμα 3-4]

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ19 Εφαρμογή του αλγορίθμου του Dijkstra [Εύρεση της βέλτιστης διαδρομής από την συνάρτηση P()]  Έστω κενή λίστα S  ui = u  Όσο P(ui)NULL Εισήγαγε την ui στην αρχή της S ui = P(ui)  H διαδρομή έχει αποθηκευτεί στην S

Εφαρμογές Η/Υ στην Ναυπηγική ΙΙ 20 Παράδειγμα καταστρώματος και τοπολογική μοντελοποίησή του ως γράφο