ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Έστω ότι η παραγωγή μιας βιομηχανίας γαλακτομικών είναι 100 Έστω ότι η παραγωγή μιας βιομηχανίας γαλακτομικών είναι 100.000 κύπελλα κρέμας (ημερήσια). Για να εκτιμηθεί το μέσο βάρος κάθε κυπέλλου, λαμβάνεται ένα τυχαίο δείγμα 400 κυπέλλων. Από προηγούμενες δειγματοληψίες είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση είναι σ=9 γραμμάρια. Το δείγμα έδωσε μέσο βάρος . Υποθέτοντας ότι το βάρος κάθε κυπέλλου κρέμας ακολουθεί την κανονική κατανομή, να υπολογιστεί ένα 95% δ.ε. για τον πραγματικό μέσο μ των 100.000 κυπέλλων κρέμας.

Λύση: χρησιμοποιώντας τον τύπο υπολογισμού του 95% δ. ε Λύση: χρησιμοποιώντας τον τύπο υπολογισμού του 95% δ.ε. για τη μέση τιμή μ έχουμε ότι ισχύει το εξής:

Άρα με 95% περίπου βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι το πραγματικό μέσο βάρος μ του πληθυσμού βρίσκεται στο διάστημα τιμών (εκπεφρασμένα σε γραμμάρια) (193.118 , 194.882)

Μια εταιρεία εξετάζει τα μήκη των ελατηρίων που παράγονται από μια μηχανή. Έτσι επιλέγονται τυχαία δέκα ελατήρια (n=10) . Το μήκος του κάθε ελατηρίου είναι (σε μέτρα): 1.125, 1.127, 1.125, 1.131, 1.132, 1.125, 1.123 και 1.129. Υποθέτοντας ότι τα μήκη των ελατηρίων κατανέμονται κανονικά, να κατασκευαστεί ένα 95% δ.ε. για το μέσο μήκος (μ) των ελατήριων που κατασκευάζει η εν λόγω μηχανή.

Λύση: από τις τιμές του δείγματος υπολογίζουμε το δειγματικό μέσο και την αμερόληπτη δειγματική διακύμανση. Έτσι ισχύει:

Χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο υπολογισμού σε αυτήν την περίπτωση για το 95% δ.ε. για το μέσο μ, ισχύει ότι: Άρα με περίπου 95% βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι το πραγματικό μέσο μήκος μ των ελατηρίων βρίσκεται στο διάστημα τιμών (σε μέτρα) (1.12478, 1.12921)

Ένα τυχαίο δείγμα 400 μαθητών ενός Λυκείου έδειξε ότι 275 από αυτούς είχαν ωφεληθεί από τα συμπληρωματικά μαθήματα που καθιέρωσε το Υπουργείο Παιδείας. Να εκτιμηθεί με ένα 95% δ.ε. το πραγματικό ποσοστό του συνόλου των μαθητών αυτού του Λυκείου που βοηθήθηκαν από τα μαθήματα.

Λύση: η εκτίμηση του πραγματικού ποσοστού των μαθητών βάσει των τιμών του δείγματος είναι: Για την εκτίμηση του πραγματικού ποσοστού μέσω ενός 95% δ.ε., χρησιμοποιούμε τον παρακάτω τύπο υπολογισμού

Ισχύει: Άρα με περίπου 95% βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι το πραγματικό ποσοστό των μαθητών του Λυκείου που ωφελήθηκαν από τα μαθήματα βρίσκεται ανάμεσα στο 64.21% και στο 73.29%.

Ερευνητές μελετούν την επίδραση δυο φαρμάκων Α και Β σε ασθενείς με καρκίνο. Σε τυχαίο δείγμα 100 ασθενείς χορηγούν το φάρμακο Α και τελικά 72 ανταποκρίνονται, ενώ αντίστοιχα σε άλλους 100 ασθενείς χορηγούν το φάρμακο Β και τελικά 58 ανταποκρίνονται σε αυτήν την περίπτωση. Να εκτιμηθεί με ένα 99% δ.ε. η διαφορά των ποσοστών των ασθενών που ανταποκρίθηκαν στα δυο φάρμακα.

Λύση: για κάθε πληθυσμό ασθενών ανάλογα με το φάρμακο που χορηγήθηκαν, ισχύει Για την εκτίμηση τη διαφοράς των δυο πραγματικών ποσοστών μεταξύ των πληθυσμών, χρησιμοποιείται ο παρακάτω τύπος υπολογισμού:

Ισχύει Άρα με περίπου 99% πιθανότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι η πραγματική διαφορά ποσοστών των ασθενών που ανταποκρίθηκαν στο φάρμακο Α και στο φάρμακο Β βρίσκεται ανάμεσα στο -3.2% και στο 31.21%. (το αρνητικό ποσοστό εκφράζει το γεγονός ότι οι ασθενείς με το φάρμακο Β έχουν μεγαλύτερα ποσοστά ανταπόκρισης)

Ένα τυχαίο δείγμα n=12 σωλήνων λαμβάνονται από μια γραμμή παραγωγής

Λύση: υπολογίζουμε την αμερόληπτη διασπορά του δείγματος: Ο υπολογισμός του 95% διαστήματος εμπιστοσύνης θα γίνει μέσω του τύπου

Ισχύει: Άρα με 95% περίπου πιθανότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι η πραγματική διασπορά σ του πληθυσμού των σωλήνων που παράγονται στη συγκεκριμένη γραμμή παραγωγής βρίσκεται στο παρακάτω διάστημα τιμών (3.129 , 17.97)

Δυο δείγματα παρατηρήσεων Α και Β δίνονται παρακάτω: Α: 2.41, 2.38, 2.37, 2.42, 2.35, 2.38 Β: 2.32, 2.36, 2.38, 2.33, 2.38 Να κατασκευαστεί ένα 95% δ.ε. για το λόγο των πραγματικών διασπορών των δύο πληθυσμών Α και Β. Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις των δύο δειγμάτων ακολουθούν την κανονική κατανομή.

Λύση: το κάθε δείγμα έχει μέγεθος. και. αντίστοιχα Λύση: το κάθε δείγμα έχει μέγεθος και αντίστοιχα. Υπολογίζουμε για κάθε δείγμα παρατηρήσεων την αμερόληπτη δειγματική διασπορά σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους υπολογισμού

Ο τύπος υπολογισμού για το 95% δ.ε. είναι Ισχύει

Άρα με περίπου 95% βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο λόγος των πραγματικών διασπορών μεταξύ των πληθυσμών Α και Β βρίσκεται στο παρακάτω διάστημα τιμών (0.092 , 6.14)

Έστω ότι γνωρίζουμε ότι δυο πληθυσμοί ακολουθούν την κανονική κατανομή με ίσες διασπορές. Έστω ότι λαμβάνονται δυο τυχαία δείγματα αντίστοιχα και έχουμε τα παρακάτω στοιχεία Δείγμα Α: Δείγμα Β: Να κατασκευαστεί ένα 95% δ.ε. για την διαφορά των πραγματικών μέσων των δυο πληθυσμών

Λύση: με την υπόθεση ότι οι δυο κατανομές έχουν ίσες διασπορές, θα πρέπει να υπολογιστεί η σταθμισμένη διασπορά με τον παρακάτω τύπο υπολογισμού: Όμως ισχύει

Άρα Ο τύπος υπολογισμού του 95% δ.ε. σε αυτήν την περίπτωση είναι

Ισχύει Άρα με 95% περίπου βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι η διαφορά των πραγματικών μέσων των δυο πληθυσμών βρίσκεται στο παρακάτω διάστημα τιμών (0.4851 , 1.184)

Δυο μηχανές έχουν σχεδιασθεί να κόβουν σωλήνες ορισμένου μήκους Δυο μηχανές έχουν σχεδιασθεί να κόβουν σωλήνες ορισμένου μήκους. Η πρώτη μηχανή (Α) έχει τυπική απόκλιση 0.01 εκατοστά ενώ η δεύτερη (Β) 0.013 εκατοστά. Δείγμα 10 σωλήνων από την μηχανή Α δίνει μέσο μήκος 8.250 εκατοστά, ενώ ένα δείγμα 12 σωλήνων από τη μηχανή Β δίνει μέσο μήκος 8.244 εκατοστά. Να εκτιμηθεί η διαφορά των πραγματικών μέσων μήκους σωλήνων των δυο μηχανών με ένα 95% δ.ε..

Λύση: το κάθε δείγμα έχει μέγεθος και αντίστοιχα. Δίνονται επίσης Γνωρίζοντας τις τυπικές αποκλίσεις, ο τύπος υπολογισμού του 95% δ.ε. για τη διαφορά των μέσων των δυο πληθυσμών είναι

Ισχύει Άρα με 95% περίπου βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι η διαφορά των πραγματικών μέσων μήκους σωλήνων μεταξύ των δυο μηχανών βρίσκεται στο παρακάτω διάστημα τιμών (-0.004 , 0.016)

Μια ομάδα φοιτητών εξετάσθηκε σε ένα μάθημα αποτελούμενο από δυο μέρη, θεωρία και ασκήσεις. Οι βαθμοί έντεκα φοιτητών που επελέγησαν τυχαία (με άριστα το 100) δίνονται παρακάτω Να εκτιμηθεί με ένα 95% δ.ε. η διαφορά των πραγματικών μέσων βαθμολογιών μεταξύ θεωρίας και ασκήσεων.

Λύση: από τη μορφή του πειράματος, προκύπτει ότι τελικά πρόκειται για παρατηρήσεις κατά ζεύγη, αφού ο βαθμός σε κάθε μέρος του διαγωνίσματος εξαρτάται από τον ίδιο τον φοιτητή. Άρα υπολογίζουμε τις διαφορές , όπου είναι οι βαθμολογίες του κάθε φοιτητή στη θεωρία και στις ασκήσεις αντίστοιχα.

Ισχύει Επίσης

Για τον υπολογισμό του 95% δ. ε Για τον υπολογισμό του 95% δ.ε. για τη διαφορά των πραγματικών μέσων βαθμών μεταξύ θεωρίας και ασκήσεων, χρησιμοποιείται ο παρακάτω τύπος υπολογισμού

Άρα με περίπου 95% βεβαιότητα μπορούμε να αποφανθούμε ότι η διαφορά των πραγματικών μέσων βαθμών μεταξύ θεωρίας και ασκήσεων βρίσκεται στο παρακάτω διάστημα τιμών (-19.01 , 3.73) Το αρνητικό πρόσημο εκφράζει το γεγονός ότι οι βαθμοί των φοιτητών στη θεωρία είναι χαμηλότεροι από τους αντίστοιχους στις ασκήσεις.