Παναγιώτης Σπύρου Επανεργοποίηση της φαινομενολογικής ιδέας της εξαντικειμενίκευσης σε μια διδασκαλία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη Β΄ Γυμνασίου.

Το Θεώρημα της Ανθρωπότητας Γνωστό σε αριθμητική μορφή στους αρχαίους Βαβυλώνιους, π.χ. Πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.Χ.), Πινακίδα Plimpton 3222 (1800 π.Χ.) ένας κατάλογος τριάδων με πάρα πολύ μεγάλους αριθμούς όπως (4601, 4800, 6649) Γνωστό στους Αιγυπτίους (‘αρπεδόνη’). Γνωστό στους Ινδούς και στους Κινέζους (ίδια χρονική περίοδο με Πυθαγορείους).

Το Θεώρημα και οι Πυθαγόρειοι Οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονται πρώτοι το Θεώρημα ως δήλωση για εμβαδά. ‘Σχηματικοί αριθμοί’. Κάθε ‘τετράγωνος’ αριθμός σχηματίζεται από τον προηγούμενο με πρόσθεση ενός ‘γνώμονα’.

Εξαντικειμενίκευση, Ενσώματη Γνώση και Αφαίρεση Κατά την ‘εξαντικειμενίκευση’ (Husserl), ένα μαθηματικό αντικείμενο καταγράφεται ως προϊόν σημειωτικής κατάδειξης, καθιστώντας το με αυτόν το τρόπο άχρονο και αντικειμενικό, απαλλαγμένο από την υποκειμενικότητα εκείνων που το (πρωτο)συγκρότησαν. Η ‘ενσώματη γνώση’ αναφέρεται στην εμπειρία που έχει ένα σώμα με τις διάφορες αισθησιοκινητικές ικανότητες, που είναι ενσώματες σε ένα βιολογικό, φυσικό και πολιτισμικό πλαίσιο. Η πηγή πολλών ιδεών βρίσκεται στην κοινή, διαχρονική εμπειρία, για τα ανθρώπινα όντα, του φυσικού περιβάλλοντος κόσμου.

Noback, C. R. , Strominger, N. L. , Demarest, R. J. & Ruggiero, D. A Noback, C. R., Strominger, N. L., Demarest, R. J. & Ruggiero, D. A. (2005). The Human Nervous System. Totowa, NJ: Humana Press.

Η Διδασκαλία εξαντικειμενίκευσης Πρόθεση της έρευνας να επανενεργοποιηθεί η αρχέγονη πράξη της εξαντικειμενίκευσης στην περίπτωση της γεωμετρίας και ιδιαίτερα στο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Δεν πρέπει να ξεχνάμε βεβαίως ότι “ένα αρχαίο πρόβλημα ή μια αρχαία μαθηματική κατάσταση ποτέ δε θα είναι το ίδιο πράγμα σήμερα” (Radford) Ετυμολογικά, η εξαντικειμενίκευση στα λατινικά (objectification) σχετίζεται με εκείνες τις ενέργειες που στοχεύουν στο να φέρουν ή να βγάλουν κάτι μπροστά σε κάποιον, να κάνουν δηλαδή κάτι ορατό.

Σκοπός της έρευνας Να μελετήσει πώς η ενεργοποίηση πρωτογενών δράσεων, που βασίζονται στην ιδέα της βαρύτητας και της ισορροπίας, βοηθά στην επίγνωση της προέλευσης της έννοιας της καθέτου, ως αποτέλεσμα της αίσθησης του κατακόρυφου και κατά πόσο θα μπορούσαν να συμβάλλουν σε μία ενεργητική διδασκαλία και προκατανόηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος βασισμένη στη σωματική εμπειρία των μαθητών.

Η διδασκαλία Περιλαμβάνει οχτώ υποδραστηριότητες, στις οποίες οι μαθητές χειρίζονται μια σειρά καταστάσεων και εργαλείων Ισορροπία σωμάτων Πτώση σωμάτων Επίδειξη βαριδιού δεμένου σε νήμα Δοχείο με χρωματιστό υγρό Βασική Πυθαγόρεια τριάδα στον τοίχο και στο επίπεδο Πέρασμα της Βασικής Τριάδας στο μιλιμετρέ χαρτί Διαπίστωση ότι η Τριάδα δουλεύει μόνο στα ‘ορθογώνια’ τρίγωνα Σχηματικοί Αριθμοί – Πυθαγόρειες Τριάδες.

1. Ισορροπία σωμάτων

2. Πτώση σωμάτων Ζητήθηκε από τα παιδιά να αφήσουν από τα χέρια τους ένα μπαλάκι, έτσι ώστε να πέσει προς τα κάτω.

3. Επίδειξη βαριδιού δεμένο σε νήμα.

4. Δοχείο με χρωματιστό υγρό.

5. Βασική Πυθαγόρεια τριάδα στον κάθετο τοίχο και στο επίπεδο.

6. Πέρασμα της βασικής Πυθαγόρειας τριάδας στο μιλιμετρέ χαρτί

7. Διαπίστωση ότι η τριάδα δουλεύει μόνο στα «ορθογώνια» τρίγωνα

8. Σχηματικοί αριθμοί (figurative numbers) – Πυθαγόρειες τριάδες

Ευρήματα (Ι) Συνέδεσαν την έννοια της καθέτου με την έννοια της κατακόρυφου (και την αίσθηση της βαρύτητας). Προσέγγισαν ποιοτικά την αναγκαιότητα της Πυθαγόρειας τριάδας για τον προσδιορισμό της καθέτου, μέσω σύγκρισης σε οξεία και σε αμβλεία γωνία. Δηλαδή, Επανενεργοποίησαν τη διαδικασία της εξαντικειμενίκευσης της ορθής γωνίας μέσω της τριάδας. Πέρασαν σε μία ποσοτική αντίληψη όταν έκαναν την επαλήθευση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, όπου όλοι οι μαθητές ήταν σε θέση να επιβεβαιώσουν το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Ευρήματα (ΙΙ) Αποδέχτηκαν την αριθμητική σχέση ως εργαλείο προσδιορισμού και ελέγχου ορθογωνιότητας. Κατάφεραν να γενικεύσουν την αριθμητική σχέση των τριάδων μέσω της ομοιότητας. Μέσα από την ανάδειξη των Πυθαγόρειων τριάδων, τα παιδιά παρατήρησαν ότι η ομοιότητα διατηρεί κάποιες ιδιότητες. Το 25% των μαθητών ήταν σε θέση να ανακαλύψει τέτοιες τριάδες χωρίς καμία παρέμβαση των διδασκόντων. Κατανόησαν τα όρια της πυθαγόρειας αριθμητικής σχέσης ακεραίων αριθμών.

Αριθμητική σχέση τριάδων και γενίκευση αυτής μέσω της ομοιότητας Ανακεφαλαιώνοντας, θα λέγαμε ότι οδηγούνται σε μία αριθμητική αντίληψη του Πυθαγορείου μέσω της τριάδας (3,4,5) την οποία και εντέλει προεκτείνουν -γενικεύουν μέσω της ομοιότητας, (η ικανότητα να αναγνωρίζουμε όμοια πράγματα αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο κατανόησης χωρικών ιδιοτήτων). Το συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο δεν ήταν πλέον μοναδικό για τα παιδιά, αλλά μπορούσαν να πάρουν κι άλλα ορθογώνια τρίγωνα, χωρίς να χάνεται η ιδιότητα της ορθής γωνίας. Σιγά–σιγά πέρασαν από το ειδικό στο γενικό και μετά στο γενικότερο. (generic to general, Harel & Tall)

Απόδειξη γενικής περίπτωσης με χρήση εμβαδών Συνδέοντας το αριθμητικό σύστημα αναπαράστασης με το γεωμετρικό, (μέσω των σχηματικών αριθμών) παρατηρήθηκε ότι η πλειοψηφία των παιδιών αντιμετώπιζε το τετράγωνο ενός αριθμού ως αριθμό και ως εμβαδόν, εναλλακτικά, κατανοώντας την αναπαραστατική εναλλαγή του ίδιου μαθηματικού αντικειμένου. Η συγκρότηση του μαθηματικού αντικειμένου, ως σχέση, βρίσκεται πίσω από τις αναπαραστάσεις του: δεν ταυτίζεται με τους αναπαραστάτες του.(Husserl, Duval)

Η πορεία προς την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, οι μαθητές περνούν από διάφορα στάδια έως ότου καταλήξουν στο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τα στάδια αυτά φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα:

Περιγραφή της εξέλιξης των νοητικών κατασκευών των μαθητών: Στηριζόμενοι στο ‘βίωμα της βαρύτητας’ και στα στοιχεία του μοντέλου της κατακόρυφου, οι μαθητές κατάφεραν να εξάγουν την εννοιολογική δομή της καθέτου. Στη ‘γεωμετρική αναπαράσταση της καθέτου’ προκύπτει το νόημα της ορθής σε συσχετισμό με το τρίγωνο. Στην ‘εξαντικειμενίκευση της καθέτου μέσω της τριάδας’ μία αφαιρετική διαδικασία, που οι μαθητές βοηθούνται στο να την πετύχουν (μέσω της παρέμβασης των ξύλων και της τριάδας (3,4,5) που τους δίνεται). Η διαδικασία εξασφαλίζει την μετάφραση της γεωμετρικής αναπαράστασης σε αριθμητική, δηλαδή ένα αντικείμενο δυο αναπαραστάτες.

Στη ‘μερική γενίκευση με εύρεση κι άλλων τριάδων’, τα παιδιά βρίσκουν περισσότερα συγκεκριμένα παραδείγματα κατανοώντας έτσι την αναγκαιότητα της εν γένει τριάδας. Αυτή η μορφή αφαίρεσης ονομάζεται γενεσιουργή αφαίρεση και ανεβάζει την επίγνωση του μαθητή σε ένα υψηλότερο επίπεδο, όπου συνειδητοποιείται και αφαιρείται η πιο γενική έννοια. Στη ‘γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήματος μέσω των εμβαδών’ υπάρχει μια εξαντικειμενίκευση στο πλαίσιο της αποδεικτικής δομής της γεωμετρίας. Το θεωρητικό πλαίσιο τροποποιείται, εμπλουτίζεται και συμπεριλαμβάνεται πλέον σε ένα πιο γενικό πλαίσιο, αυτό της γεωμετρίας.

Η πράξη της εξαντικειμενίκευσης Παρέμβαση των ερευνητών: δόθηκαν στους μαθητές 3 βέργες μεγέθους 90εκ., 120εκ. και 150εκ. τα παιδιά κατάφεραν να οδηγηθούν στην ικανή και αναγκαία συνθήκη ότι: Κάθετη γωνία Ορθογώνιο τρίγωνο Τριάδα (3,4,5) Εξαντικειμενικεύτηκε δηλαδή η κάθετος μέσω της τριάδας. (3,4,5). (Εμπλέκοντας δυο αναπαραστάσεις αριθμούς και σχήμα: μαθηματικό αντικείμενο Duval)

Σχηματικοί αριθμοί Η Δανάη εξέφρασε αριθμητικές σχέσεις μεταξύ των αριθμών: 8 μαθητές επεσήμαναν τις σχέσεις των τετραγώνων των αριθμών 3, 4 και 5 δείχνοντας με τα χέρια τους τα εμβαδά Αγγελική: ‘Το άθροισμα των δύο μικρών κάνει το μεγάλο.’ Χρήστος: ‘Τα τετράγωνα των δύο πλευρών κάνουν το τετράγωνο της άλλης.’

Μερική Γενίκευση: και άλλες Πυθαγόρειες τριάδες Υπήρξαν τρεις μαθητές που έδωσαν νέες σωστές τριάδες. παίρνοντας τα πολλαπλάσια των αριθμών (3,4,5). Ερευνητής: ‘Έχουμε ότι . Σε αυτούς τους αριθμούς παρατηρούμε ότι έχουν μια ορισμένη σχέση τα τετράγωνά τους. Υπάρχουν άραγε κι άλλοι τέτοιοι αριθμοί?’ Κώστας: ‘Ας δοκιμάσουμε τους αριθμούς (6,8,10).’ Ερ: ‘Γιατί αυτούς?’ Κ: ‘Γιατί είναι διπλάσιοι από το (3,4,5)’ Ερ: ‘Και εσύ τι καταλαβαίνεις? Αν τους διπλασιάσουμε αυτούς τους αριθμούς, τι θα γίνει δηλαδή?’ Κ: ‘Ότι υπάρχει μια αναλογία, θα προκύψει πάλι το ίδιο.’

Παρατηρήσεις μας κατά την διδασκαλία στην τάξη από τον καθηγητή τους Επιδιώχθηκε μια ενεργητική προκατανόηση με μια εμπράγματη αναφορά και επιτεύχθηκε καθώς: Διαπιστώθηκε ευχέρεια στον υπολογισμό τυχαίων αριθμών αν συγκροτούν τριάδες και ριζών αριθμών που είναι τέλεια τετράγωνα από τα παιδιά που συμμετείχαν στην έρευνα σε σύγκριση με τους υπόλοιπους συμμαθητές τους. Κατανόησαν δηλαδή σαφώς την αναπαράσταση των τέλειων τετραγώνων. Η Δανάη πρότεινε μία γεωμετρική απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Ο Κώστας τόνισε στον καθηγητή του ότι οι αριθμοί που μας βγάζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα δεν είναι τυχαίοι. Η Νάντια επισήμανε πως στο Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιούμε για την απόδειξη του εμβαδά.