תורות עם שוויון

תהי Гתורה מעל שפה שמכילה יחס בינרי =. אנו נכתוב s  t במקום ~s = t. Г נקראת תורה עם שוויון אם הנוסחאות הבאות הן משפטים של Г: A6. הרפלקסיביות של השוויון: x = x A7. הצבת השוויון : x = y  (A(x,x)  A(x,y)), כאשר A היא נוסחה אטומית. ב- A7, A(x,y) מתקבלת מ- A(x,x) ע"י הצבת y במקום כמה הופעות חופשיות של x ב- A(x,x) (לאו דוקא עבור כל ההופעות החופשיות) ו- y חייב להיות חופשי עבור ה--xים שהוא מחליף. תורות עם שוויון

טענה: לכל שם עצם t, (a) ├ t = t (b) ├ x = y  y = x (c) ├ x = y  (y = z  x = z) טענה: תהי Γ תורה עם שוויון. אזי עבור כל נוסחא A(x,y), Γ├ x = y → (A(x,x) → A(x,y)). הוכחה: באמצעות אינדוקציה על הסיבוכיות של A.

הגדרה: תהי Γתורה עם שוויון ויהי M מודל של Γ. אם = M הוא יחס זהות ב- D M, אזי M נקרא מודל נורמלי. טענה:תהי Γתורה עם שוויון עקבית. אזי ל-Γ יש מודל נורמלי.

הוכחה: יהי Mמודל של Γ. אזי = M הוא יחס שקילות על D M. נגדיר אינטרפרטציה M'באופן הבא: D M' הוא קבוצת מחלקות השקילות של = M. (נסמן את מחלקת השקילות של b ע"י [b]) - עבור קבוע a,a M' = [a M ] -עבור סימן הפונקציהf, f M' ([b 1 ],...,[b n ]) = [f M (b 1,...,b n )] -ועבור היחסP, P M' ={([b 1 ],...,[b n ]) | (b 1,...,b n )  P M } n

מן התכונות של שוויון נובע בקלות כי M' מוגדר היטב. ברור כי M' הוא נורמלי. עבור השמה v מעל M נגדיר השמה v' מעל M' ע"י v'(x)=[v(x)]. מצד שני, כל השמה מעל M' היא מהצורה [v], כאשר v היא השמה מעל M. נשאר להוכיח באינדוקציה, בבית, כי עבור כל נוסחה A, M,v╞ A אם ורק אם.M',v'╞ A

משפט: תהי Γ תורה עם שוויון, כך שלכל מספר טבעי n קיים מודל נורמלי M של Γ המקיים |D M |>n. אזי ל- Γ יש מודל נורמלי אינסופי.

הוכחה: תהי {c 1,c 2,…} קבוצה אינסופית של קבועים שאינם מופיעים בשפה של Γ. אנו נראה שהתורה Γ  {c i  c j } i  j עקבית. לשם כך מספיק להוכיח כי עבור כל מספר טבעי n, התורה Γ  {c i  c j } 1  i<j  n עקבית. יהי M מודל נורמלי של Γ, כך ש- |D M |>n. אזי קיימים d 1,...,d n  D M כך שלכל d i  M d j, 1  i<j  n. אנו נהפוך את M למודל של Γ  {c i  c j } 1  i<j  n, ע"י ההשמה c i M = d i, לכל 1  i<j  n. כיוון של- Γ  {c i  c j } 1  i<j  n יש מודל, היא עקבית. לכן ל- Γ  {c i  c j } i  j יש מודל שחייב להיות אינסופי.

מסקנה: תהי Γ תורה עם שוויון כך שלכל מספר טבעי n קיים מודל סופי ונורמלי M של Γ המקיים |D M |>n. אזי לא קיימת נוסחא φ כך שעבור כל מודל M של Γ, M╞ φ אם ורק אם M הוא סופי. הוכחה: נניח בשלילה שקיימת נוסחה φ כנ"ל. אזי Γ  {φ} מקיימת את תנאי המשפט. לכן ל- Γ  {φ} יש מודל נורמלי אינסופי בסתירה עם ההנחה.

הוכחה: נניח בשלילה שקיימת נוסחה φ כנ"ל. אזי לכל מודל M של Γ, M╞ ~φ אם ורק אם M הוא סופי, שסותר את המסקנה הקודמת. מסקנה: תהי Γ תורה עם שוויון כך שלכל מספר טבעי n קיים מודל סופי ונורמלי M של Γ המקיים |D M |>n. אזי לא קיימת נוסחא φ כך שעבור כל מודל M של Γ, M╞ φ אם ורק אם M הוא אינסופי.

דוגמה: תורת השדות (FT) השפה: שני קבועים: 0 ו- 1 שתי פונקציות דו-מקומיות: + ו- · יחס דו-מקומי אחד: = אקסיומות : אקסיומות השיוויון x(y+z) = xy+xz x+y = y+xxy = yx (x+y)+z = x+(y+z)(xy)z = x(yz) x+0 = xx·1 = x  y(x+y) = 0x  0  y(xy = 1) מסקנה: לא קיימת נוסחא φ כך שעבור כל שדה F, F╞ φ אם ורק אם F הוא אינסופי.