Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 4: Συνδεσμικότητα

Εισαγωγή (1) Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας» .....

Εισαγωγή (2) Σύνολο κόμβων τομής V’ είναι το σύνολο των κόμβων, τέτοιο ώστε το γράφημα G-V  να μην είναι συνδεδεμένο ή να είναι τετριμμένο, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του V  με την ίδια ιδιότητα (vertex cut set, vertex separating set). Συνδεσμικότητα κόμβων VC(G) ενός γραφήματος G είναι το ελάχιστο k=|V’|, ώστε το γράφημα G να έχει ένα σύνολο από k κόμβους τομής (vertex connectivity). Ένα γράφημα G λέγεται k-συνδεδεμένο αν VC(G) ≥ k. k-συνδεδεμένο  η διαγραφή k < k κόμβων δημιουργεί μη-τετριμμένο συνεκτικό γράφημα k(G) ≥ k VC(G) k ≤ VC(G)

Εισαγωγή (2) Θεώρημα: Ένας κόμβος ενός δένδρου v είναι κόμβος τομής αν και μόνον αν d(v) > 1. ----------------------> Τετριμμένο γράφημα Μη συνεκτικό γράφημα Πλήρες Γράφημα VC(G)=0, αλλιώς VC(G)≥1 VC(G)=n-1

Θεώρημα

Εισαγωγή (3) Πόρισμα: Κάθε απλό συνδεδεμένο γράφημα έχει τουλάχιστον 2 κόμβους που δεν είναι κόμβοι τομής.

Εισαγωγή (3) Θεώρημα: Ένας κόμβος v είναι κόμβος τομής αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κόμβοι u και w (u,w<>v), ώστε ο κόμβος v να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από τον u προς τον w.

Εισαγωγή (4) Σύνολο ακμών τομής Ε  είναι το σύνολο των ακμών ώστε το γράφημα G-E  να μην είναι συνδεδεμένο, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Ε  με την ίδια ιδιότητα (edge cut set, edge separating set) Συνδεσμικότητα ακμών EC(G) ενός γραφήματος G είναι το ελάχιστο k=|E |, ώστε το γράφημα G να έχει ένα σύνολο από k ακμές τομής (edge connectivity) Ένα γράφημα G λέγεται k-συνδεδεμένο ως προς τις ακμές αν EC(G)>=k Θεώρημα: Μια ακμή e είναι ακμή τομής αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κόμβοι u και w, τέτοιοι ώστε η ακμή e να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από τον κόμβο u προς στον w.

Εισαγωγή (5) Θεώρημα: Μια ακμή είναι ακμή τομής αν και μόνον αν δεν περιέχεται σε κύκλο. Θεώρημα Whitney: VC(G) <= EC(G) <= d(G). Πόρισμα: EC(G) <= floor(2m/n). Θεώρημα: Έστω 1<= l <= n-1. Αν d(G) >= (n+ l -2)/2, τότε ο G είναι l-συνδεδεμένος.

Θεώρημα: e ακμή τομής εάν –ν δεν περιέχεται σε κύκλο - Απόδειξη

Θεώρημα: e ακμή τομής εάν –ν δεν περιέχεται σε κύκλο u v P

Θεώρημα: e ακμή τομής εάν –ν δεν περιέχεται σε κύκλο

Θεώρημα Chartrand – Harary, 1968

Τεμάχια Γράφου (1) Ένας δισυνδεδεμένο (biconnected) γράφημα δεν έχει κόμβους τομής. Ένα τέτοιο γράφημα αποτελεί ένα τεμάχιο (block) ή μια δισυνιστώσα (bicomponent). Εσωτερικά ξένα μονοπάτια (internally disjoint paths) είναι δύο μονοπάτια με κοινούς τερματικούς κόμβους, χωρίς άλλες κοινούς κόμβους. Θεώρημα Whitney: Ένα γράφημα είναι δισυνδεδεμένο αν και μόνον αν 2 οποιοιδήποτε κόμβοι του είναι συνδεδεμένοι με τουλάχιστον 2 εξωτερικά ξένα μονοπάτια. Πόρισμα: Αν ένας γράφος είναι δισυνδεδεμένος, τότε δύο οποιεσδήποτε κορυφές του ανήκουν σε έναν κύκλο y u P1 u y Κάθε ακμή σε κύκλο P2

Τεμάχια Γράφου (2) Πόρισμα: Αν ένα γράφημα αποτελείται από ένα τεμάχιο με n>=3, τότε δύο οποιεσδήποτε ακμές του ανήκουν σε έναν κύκλο. Θεώρημα Menger: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από ένα κόμβο u σε ένα κόμβο v ισούται με τον ελάχιστο αριθμό κόμβων που χωρίζουν τους κόμβους u και v. Θεώρημα: Ένα γράφημα είναι k-συνδεδεμένο αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κόμβων ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια.

Τεμάχια Γράφου (3) Θεώρημα: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από ένα κόμβο u σε ένα κόμβο v ισούται με τον ελάχιστο αριθμό ακμών που χωρίζουν τους κόμβους u και v. Θεώρημα: Ένα γράφημα είναι k-συνδεδεμένο ως προς τις ακμές, αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κόμβων ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια.

Ισομορφισμός (1) Δεν υπάρχει αποτελεσματικός αλγόριθμος για τη διαπίστωση της ισομορφικότητας δύο γραφημάτων. Πρώτη λύση (η χειρότερη): Κρατούμε το ένα γράφημα σταθερό και επαναδιατάσσουμε τους κόμβους του άλλου. Εκτελούμε n2 συγκρίσεις. Άρα η πολυπλοκότητα είναι τάξης Ο(n!n2)=O(nn). Δεύτερη λύση: Αν το γράφημα είναι αποθηκευμένο με πίνακα πρόσπτωσης, τότε αρκεί ο πίνακας του ενός γραφήματος να μετατραπεί στον πίνακα του άλλου με τη βοήθεια αντιμεταθέσεων γραμμών ή/και στηλών. Υπάρχουν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι για ειδικές περιπτώσεις γραφημάτων.

Ισομορφισμός (2) Τεχνάσματα για την εύκολη διαπίστωση αν δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά: Ίδια τάξη Ίδιο μέγεθος Ίδια ακολουθία βαθμών Ίδιος αριθμός συνιστωσών Για κάθε συνιστώσα του (4) απαντώνται θετικά οι πρώτες τρεις ερωτήσεις; Έχουν οι δύο γράφοι το ίδιο χρωματικό πολυώνυμο; Για n<8, αν όλες οι ερωτήσεις απαντηθούν θετικά, τότε τα γραφήματα είναι ισομορφικά.

Ισομορφισμός (3) y u z y y y z

Ισομορφισμός (4) Δύο γραφήματα είναι 1-ισομορφικά αν καθίστανται ισομορφικά μετά την επανειλλημένη διάσπαση των κόμβων τομής. Αν το γράφημα αποτελείται από ένα τεμάχιο, τότε η έννοια της 1-ισομορφικότητας ταυτίζεται με την έννοια της ισομορφικότητας. Θεώρημα: Αν δύο γραφήματα είναι ισομορφικά, τότε ισούνται η σειρά και η μηδενικότητά τους. Δύο γραφήματα έχουν αντιστοιχία κύκλων, αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ακμών και κύκλων. Θεώρημα: Δύο 1-ισομορφικά γραφήματα έχουν αντιστοιχία κύκλων.

Ισομορφισμός (5) Δύο γραφήματα είναι 2-ισομορφικά αν καθίστανται ισομορφικά μετά την επανειλημμένη εφαρμογή των πράξεων Διασπώντας τις ακμές τομής, ή/και Επανασυνδέοντας τα υπογραφήματα αλλάζοντας τα σημεία σύνδεσης. Δύο ισομορφικά γραφήματα είναι 1-ισομορφικά, δύο 1-ισομορφικοί γράφοι είναι 2-ισομορφικοί. Το αντίθετο δεν ισχύει.

Ισομορφισμός (5) Θεώρημα: Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν και μόνον αν έχουν αντιστοιχία κύκλων.

Αλγόριθμοι (1) Bfs-Moore-1959-χρήση ουράς. Dfs-Hopcroft-Tarjan-1973-χρήση στοίβας. Χρησιμοποιούνται για επίσκεψη κόμβων, εύρεση συνιστωσών, εύρεση αποστάσεων.

Αλγόριθμοι (2) Παράδειγμα εύρεσης αποκοπτουσών κόμβων (σημείων άρθρωσης) με dfs. Απαιτείται ο υπολογισμός των dfi(v) και l(v) για κάθε v. Για τον κόμβο v, το l(v) είναι το ελάχιστο των τριών ποσοτήτων: dfi(v) l(s), όπου το s γιός του v dfi(w), όπου w είναι κορυφή με οπίσθια ακμή (v,w)

Αλγόριθμοι (3) Ένας κόμβος v είναι κόμβος τομής αν: Είναι ρίζα δένδρου και έχει περισσότερο από 1 παιδιά. Δεν είναι ρίζα δένδρου, αλλά έχει dfi(v) <= l(s), όπου s γιός του v. 1 2 3 4 5 6 dfi l

Αλγόριθμος για κόμβους τομής

Αλγόριθμος για κόμβους τομής

Θεώρημα (για κόμβους τομής)

Κόμβοι τομής

Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (1) Το πρόβλημα του συνδέσμου είναι το γνωστό πρόβλημα της εύρεσης των ελάχιστων ζευγνυόντων δένδρων. Ένα ελάχιστο ζευγνύον δένδρο έχει συνδεσμικότητα κορυφών/ακμών ίση με 1. Το γενικευμένο πρόβλημα του συνδέσμου είναι «να βρεθεί το υπογράφημα δοθέντος γραφήματος ελάχιστου βάρος, ώστε η συνδεσμικότητα να ισούται με l. Αν l=1, τότε τα προβλήματα ταυτίζονται. n≥3 Πιο αξιόπιστο VC(G)=1 EC(G)=3 VC(H)=EC(H)=4

Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (2) Θα θεωρηθεί η περίπτωση μη ζυγισμένου γράφου. Σκοπός είναι η εύρεση του πλήρους υπογραφήματος H1n με τον ελάχιστο αριθμό ακμών και κόμβων αριθμημένων από 0 ως n-1. Ο αλγοριθμος έχει τρεις περιπτώσεις: l άρτιο (l=2r). l περιττό (l=2r+1), n άρτιο. l περιττό (l=2r+1), n περιττό.

Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (3) Ο αλγόριθμος έχει τρεις περιπτώσεις: l άρτιο (l=2r). Δύο κόμβοι i και j είναι γειτονικοί, αν i-r <= j <= i+r l περιττό (l=2r+1), n άρτιο. Κατασκευάζεται το γράφημα H2r,n (εφαρμόζεται η προηγούμενη σχέση), ενώ επίσης δύο κόμβοι i και i+n/2 ενώνονται για 1 <= i <= n/2. l περιττό (l=2r+1), n περιττό. Κατασκευάζεται το γράφημα H2r,n, ενώ επίσης ενώνεται ο κόμβος 0 με τους (n-1)/2 και (n+1)/2 και τον κόμβο l με τον κόμβο i+(n+1)/2 για 1<= i <= (n-1)/2.

Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (3) Θεώρημα: Το γράφημα Η1,n είναι l-συνδεδεμένο. Θεώρημα: Ο ελάχιστος αριθμός ακμών του γραφήματος Η1,n είναι ceil(ln/2). H4,8 H5,8 H5,9