Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 1 (από πρώτο μάθημα) figure(1) subplot(1,2,1) w=-10:0.1:10; m=1; plot(w,m) grid xlabel('w-complex') ylabel('metro') title('exercise 1') subplot(1,2,2) arg=atan(2*w./(w.^2-1)); plot(w,arg,'r') xlabel('w-complex') ylabel('orisma') grid Τοποθέτηση του παραπάνω στον M-editor a) File -> New -> M-file, b) συγγραφή κώδικα, c) αποθήκευση (save as exersize1), d) έξοδος, e) κάλεσμα με το όνομα που αποθηκεύτηκε από γραμμή εντολών (>> exersize1)

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 2 (από πρώτο μάθημα) figure(2) subplot(1,3,1) t=linspace(-2,2,100); x1=-exp(-3*t); plot(t,x1,'b') grid xlabel('t') ylabel('x1') title('exercise 2') subplot(1,3,2) x2=exp(-3*t); plot(t,x2,'g') xlabel('t') ylabel('x2') grid subplot(1,3,3) plot(x1,x2,'m') grid xlabel('x1')

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πράξεις με πίνακες Πράξεις με πολυώνυμα Μετασχηματισμοί στο MATLAB (Laplace, Fourier) MATrix LABoratory

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Δημιουργία πίνακα >> a=[8 1 6 ; ; 4 9 2] a = >> a=[ ] a =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Σύνθεση πινάκων >> b=[8 1 6 ; 3 5 7]; >> c=[4 9 2]; >> d=[b;c] d = >> b=[8;3;4]; >> c=[1;5;9]; >> d=[6;7;2]; >> e=[b c d] e =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πράξεις πινάκων >> a=fix(10*rand(3,3)) a = >> b=fix(10*rand(3,3)) b = >> c=a+b c = >> d=a*b d = >> e=a/b e = >> f=a\b f = Λύση του af=bΛύση του eb=a

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Υπολογίστε την πρώτη στήλη του Α -1 χωρίς την χρήση της εντολής inv. Να βρεθούν 5 τυχαίοι πίνακες A,B,C,D,E και στη συνέχεια χωρίς τη χρήση της εντολής inv να υπολογιστεί ο πίνακας

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Δύναμη πίνακα - Ανάστροφος >> a^3 ans = >> transpose(a) ans = >> a' ans =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Αντίστροφος – Ορίζουσα - Ψευδοαντίστροφος >> inv(a) ans = >> det(a) ans = 376 >> pinv(a) ans =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Ιδιοτιμές - ιδιοανύσματα >> c=eig(a) c = >> [X,D]=eig(a) X = D = AX=XD

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Ειδικοί πίνακες Μοναδιαίος >> eye(3,2) ans = >> eye(3) ans = Μηδενικός >> zeros(2,3) ans = 0 0 0

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Χρήσιμοι πίνακες για την Θεωρία Ελέγχου >> expm(a) ans = 1.0e+006 * >> sqrtm(a) ans = Παράδειγμα. x0=[1;1;1]; >> x=[]; >> for t=0:.01:1 x=[x expm(a*t)*x0]; end >> plot3(x(1,:),x(2,:),x(3,:),'-o')

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Χρήσιμοι πίνακες για την Θεωρία Ελέγχου >> [X,J]=jordan(a) X = J = i i i >> [U,S,V]=svd(a) U = S = V =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πράξεις πινάκων (στοιχείο ανά στοιχείο) >> a=magic(3) a = >> a.^2 ans = >> a./2 ans = >> a.*a ans =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Υποπίνακες >> a=magic(3) a = >> a(1,:) ans = >> a(1:2,1:2) ans = >> a(:,1) ans = >> a(1:2:3,1:2:3) ans =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ.

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ.

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Δίνεται το παρακάτω σύστημα Με την βοήθεια του πίνακα e^(A*t) να βρεθεί η λύση του παραπάνω συστήματος και να σχεδιασθεί το ζεύγος (x1(t),x2(t)) για x=0,0.1,..,10.

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (αναπαράσταση – ρίζες – χαρακτηριστικό πολυώνυμο) >> p=[ ] p = Χαρακτηριστικό πολυώνυμο >> a=magic(3); >> poly(a) ans = Ρίζες Πολυωνύμου >> roots(p) ans = i i

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (τιμή σε αριθμό ή πίνακα, γινόμενο, διαίρεση) >> p=[1 -1]; >> q=[1 -5 6]; Γινόμενο πολυωνύμων p,q >> c=conv(p,q) c = Διαίρεση πολυωνύμων c,p >> [q,r]=deconv(c,p) q = r = Τιμή πολυωνύμου p για έναν αριθμό s >> polyval(p,1) ans = 0 Τιμή πολυωνύμου p για έναν πίνακα a >> polyvalm(p,a) ans =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (partial fraction expansion) >> a=[1 -1]; >> b=[1 -5 6]; >> [r,p,k]=residue(a,b) r = p = k = [] Αντίστροφη διαδικασία >> [a,b]=residue(r,p,k) a = 1 -1 b =

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (΄περίληψη συναρτήσεων)

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Δίνονται τα πολυώνυμα Εφόσον υπολογιστεί ο αριθμητής και παρονομαστής της συνάρτησης Να αναλυθεί σε μερικούς παράγοντες (partial fraction expression).

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Μετασχηματισμοί Laplace >> syms f t s g >> f=exp(2*t) f = exp(2*t) >> g=laplace(f,t,s) g = 1/(s-2) >> ilaplace(g,t) ans = exp(2*t) Συμβολικές μεταβλητές

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Να υπολογιστούν οι μετασχηματισμοί Laplace των παρακάτω συναρτήσεων Να υπολογιστούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των παρακάτω συναρτήσεων

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Μετασχηματισμοί Ζ >> syms k f g z >> f=k^4 f = k^4 >> g=ztrans(f,k,z) g = z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5 >> iztrans(g,k) ans = k^4 Συμβολικές μεταβλητές

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Να υπολογιστούν οι μετασχηματισμοί Ζ των παρακάτω συναρτήσεων Να υπολογιστούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Ζ των παρακάτω συναρτήσεων

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 1(για σπίτι) Άσκηση 1. Δίνεται το παρακάτω σύστημα Με την βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace, να βρεθεί η λύση του παραπάνω συστήματος με είσοδο u(t)=cos(t) και να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση του ζεύγους (x1(t),x2(t)) για x=0,0.1,…,5.

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 2 (για σπίτι) Άσκηση 2. Δίνεται το παρακάτω σύστημα Με την βοήθεια του μετασχηματισμού Z, να βρεθεί η λύση του παραπάνω συστήματος με είσοδο u(k)=k.

Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 3 (για σπίτι) Άσκηση 3. Δίνονται οι πίνακες Να δημιουργήσετε τον πίνακα και να υπολογίσετε α) το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, β) τις ιδιοτιμές και ιδιοανύσματα του, γ) την Jordan μορφή του. Να δείξετε επίσης ότι sin(A) 2 +cos(A) 2 =I