Άρτεμις Κωσταρίγκα Επίβλεψη: Ν. Καραμπετάκης ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 Διπλωματική Εργασία: Το πρόβλημα της Εύρωστης Σταθεροποίησης Διακριτών Συστημάτων Μιας Εισόδου-Μιας Εξόδου σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης Άρτεμις Κωσταρίγκα Επίβλεψη: Ν. Καραμπετάκης ΙΟΥΝΙΟΣ 2005

Περιεχόμενα: Θεωρητική εισαγωγή & Μαθηματικά Εργαλεία Διατύπωση και Ανάλυση του προβλήματος «Πεπερασμένου Χρόνου Αποκατάστασης» (Finite Settling Time Problem – FST) Karkanias & Milonidis (1988) Αριθμητικά Αποτελέσματα

A’ μέρος Θεωρητική Εισαγωγή & Μαθηματικά Εργαλεία

Χρήση των ακολουθιών ή των τυπικών δυναμοσειρών σαν εργαλείο για τη μελέτη των Διακριτών συστημάτων Kalman (1969) Kucera (1973) Αν οποιοδήποτε σώμα, το σύνολο των απείρων ακολουθιών: ή

Πράξεις: δακτύλιος με: Πρόσθεση Συνέλιξη Πολ/σμος Μηδενικό στοιχείο: Μοναδιαίο στοιχείο: Συμφωνούμε να ταυτίζουμε με την

: και . Ορίζουμε: x απροσδιόριστη ακολουθία (indeterminate) x = Αποδεικνύεται ότι: : και .

Τυπικές Δυναμοσειρές: Το σύνολο των ακολουθιών με μη αρνητική τάξη ( ) Συνεπώς, κάθε ακολουθία μπορεί να γραφεί με τη μορφή τυπικών σειρών Laurent ( ): Τυπικές Δυναμοσειρές: Το σύνολο των ακολουθιών με μη αρνητική τάξη ( ) Τυπικά Πολυώνυμα: Το σύνολο των πεπερασμένων τυπικών δυναμοσειρών ( ) Ρητές ακολουθίες: O δακτύλιος των κλασμάτων των τυπικών πολυωνύμων ( )

Αναγωγή στα Διακριτά συστήματα Πεδίο Απροσδιόριστη x = Τυπικές σειρές Laurent

Συστήματα Διακριτού Χρόνου Σήματα Διακριτού Χρόνου  ορίζονται σε διακριτά χρονικά διαστήματα  μπορούν να αναπαρασταθούν σαν ακολουθίες Συστήματα Διακριτού Χρόνου  διεγείρονται από ακολουθίες & παράγουν ακολουθίες ο διακριτός χρόνος ο χώρος των εισόδων ο χώρος των εξόδων

Γραμμικότητα & Χρονική ανεξαρτησία Γραμμικό διακριτό σύστημα: Χρονικά Ανεξάρτητο διακριτό σύστημα: ο διακριτός χρόνος ο χώρος των εισόδων ο χώρος των εξόδων ο πίνακας κρουστικής απόκρισης :

Συστήματα κλειστού βρόγχου (βρόγχος μοναδιαίας ανάδρασης) Σήματα  διανυσματικές ακολουθίες ως προς d (απροσδιόριστη)

Πίνακες συναρτήσεων μεταφοράς συστήματος όπου Για να είναι το σύστημα well-formed θα πρέπει το να είναι μη μηδενικό στοιχείο του , όπου: ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη των

Διάφορες εκφράσεις για τους πίνακες

Έστω: , Οι πίνακες γίνονται: όπου:

Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: Το σύστημα (P,C) είναι σταθεροποιήσιμο Ο είναι σταθερός πολυωνυμικός πίνακας Γενική Σταθεροποίηση: Σχεδιασμός ελεγκτή τ.ω. ο Δ να είναι σταθερός πολυωνυμικός πίνακας. (Στην SISO περίπτωση θα πρέπει το Δ να είναι σταθερό πολυώνυμο) Οποιοσδήποτε ελεγκτής ικανοποιεί το πρόβλημα γενικής σταθεροποίησης ονομάζεται Σταθεροποιητικός Ελεγκτής (stabilizing controller)

Youla-Bongiorno-Kucera παραμετροποίηση Ο σταθεροποιητικός ελεγκτής ικανοποιεί τις Διοφαντικές εξισώσεις: όπου γνωστοί σταθεροί πολυωνυμικοί πίνακες Η οικογένεια των σταθεροποιητικών ελεγκτών παραμετροποιείται ως εξής: , Όπου R, S είναι αυθαίρετοι πολυωνυμικοί πίνακες

Total Finite Settling Time Stabilization Β’ μέρος Το πρόβλημα της Ολικής Σταθεροποίησης σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης Total Finite Settling Time Stabilization Problem (FSTS problem) Karkanias & Milonidis (1988)

FST (finite settling time) πρόβλημα: Όλες οι εσωτερικές και εξωτερικές μεταβλητές απαιτείται να καταλήγουν σε μια νέα σταθερή κατάσταση μετά από πεπερασμένο χρονικό διάστημα από την εφαρμογή μιας βηματικής συνάρτησης σε οποιαδήποτε από τις εισόδους, ανεξαρτήτως της αρχικής κατάστασης του συστήματος. Λήμμα: Ένα αιτιατό διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση g(d) παρουσιάζει FST απόδοση αν-ν η g(d) είναι πολυώνυμο ως προς d.

SISO περίπτωση: και οι συναρτήσεις μεταφοράς:

Θεώρημα: Το FST πρόβλημα έχει λύση αν-ν Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να πούμε ότι . Παραμετροποίηση FST σταθεροποιητικών ελεγκτών όπου x, y συγκεκριμένο ζεύγος λύσεων της γραμμικής Διοφαντικής εξίσωσης

Αλγεβρικός υπολογισμός της οικογένειας όπου

«Πρώτος» (prime) FST ελεγκτής: και FST ανίχνευση (tracking): Η έξοδος y2 ανιχνεύει την είσοδο u1=nr/dr σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα αν-ν dr|dpdc .

Βέλτιστη και Εύρωστη FST σταθεροποίηση , βελτιστοποίηση Σχεδιασμός εύρωστων FST σταθεροποιητικών ελεγκτών βέλτιστη FST σταθεροποίηση Vidyasagar (1986) , Dahleh & Pearson (1986) Ελαχιστοποίηση της ή της νόρμας του σφάλματος ενός συστήματος για συγκεκριμένο χρόνο αποκατάστασης  Ζητούμε ελάχιστο σφάλμα σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα.

Νόρμες συστημάτων Διακριτού Χρόνου Έστω το σύνολο η p-νόρμα του f: O χώρος όλων των ακολουθιών για τις οποίες ορίζεται η νόρμα ( δηλαδή ) συμβολίζεται με .

Αν ο χώρος των φραγμένων διανυσματικών ακολουθιών με θεωρούμε Α τον χώρο των φραγμένων LTI τελεστών στο Επαγόμενη νόρμα στο Α: Ένας τελεστής ονομάζεται lP - ευσταθής , 1<p<∞ , αν-ν το είναι μια απεικόνιση από το lP στο lP και το κέρδος (gain) του τελεστή ορίζεται σαν:

Γραμμικός Προγραμματισμός Αν Α  γραμμική απεικόνιση από γρ. δ.χ Χ στο γρ. δ.χ. Z b  στοιχείο του Z c* γραμμικό συναρτησιακό στο Χ Στην περίπτωση πραγματικών γραμμικών διανυσματικών χώρων:

Βέλτιστο Πρόβλημα FST σταθεροποίησης Την l1-νόρμα του σφάλματος σταθερής κατάστασης Την l∞-νόρμα του διανύσματος του σφάλματος Συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος:

Αν και Για βηματική είσοδο της μορφής: το σφάλμα είναι: Διάνυσμα σφάλματος: Σφάλμα σταθ. κατ.:

Πρόβλημα Βελτιστοποίησης (Ι), l1-βελτιστοποίηση: Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, που να ελαχιστοποιεί την l1 νόρμα του σφάλματος σταθερής κατάστασης για δεδομένο χρόνο αποκατάστασης. Πρόβλημα Βελτιστοποίησης (ΙΙ), l∞-βελτιστοποίηση: Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, που να ελαχιστοποιεί την l∞ νόρμα του διανύσματος του σφάλματος για δεδομένο χρόνο αποκατάστασης.

1ος Περιορισμός: 0 σταθεροποιητικός Ελεγκτής πρέπει να ικανοποιεί τη Διοφαντική εξίσωση Η λύση δίνεται από : όπου είναι οι i-οστές στήλες των πινάκων είναι η i-οστή στήλη του μοναδιαίου πίνακα Il 2ος Περιορισμός: To διάνυσμα σφάλματος και το σφάλμα σταθερής κατάστασης δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις και

l1-βέλτιστη FST σταθεροποίηση

Εύρωστη FST σταθεροποίηση μεταβολές των παραμέτρων της ελεγχόμενης διεργασίας. Εύρωστη FST σταθεροποίηση: Επιλογή ελεύθερης παραμέτρου R της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών για εύρωστη απόδοση του συστήματος Zhao & Kimura (1986) : εύρωστος deadbeat έλεγχος Κarcanias & Milonidis (1996) : εύρωστος FST έλεγχος

P0 : ονομαστική ελεγχόμενη διεργασία, P : δυναμική ελεγχόμενη διεργασία Εφαρμόζουμε πολλαπλασιαστικές διαταραχές: Η ονομαστική συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος: Η διαταραγμένη συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος: όπου Έτσι Δείκτης ευρωστίας: ή

Εύρωστη FST σταθεροποίηση όπου αριστερή MFD της εισόδου και η οικογένεια των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών. Παρατήρηση: Ο ελεγκτής του παραπάνω προβλήματος δεν εγγυάται ευστάθεια της διαταραγμένης συνάρτησης μεταφοράς. Για ευστάθεια θα πρέπει:

Γ’ μέρος Αλγόριθμοι υλοποίησης & Αριθμητικά Παραδείγματα

SISO περίπτωση Η οικογένεια των σταθεροποιητικών ελεγκτών: Η συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος: Ο δείκτης ευρωστίας:

FST αλγόριθμος Βήμα 1: Υπολογισμός της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών (ncp,dcp) και παραμετροποίηση τους: Βήμα 2: Υπολογισμός της ελεύθερης παραμέτρου t ελαχιστοποιώντας την 1-νόρμα ως προς τη συνθήκη ανίχνευσης Βήμα 3: Αντικατάσταση του t που υπολογίσαμε στην οικογένεια των FST ελεγκτών για υπολογισμό του βέλτιστα εύρωστου.

Βήμα 1: Υπολογισμός των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών με επίλυση της Διοφαντικής εξίσωσης: Εύκολα υπολογίζεται ο «πρώτος» (prime) ελεγκτής: με Παραμετροποίηση της οικογένειας των FST ελεγκτών:

Αντικειμενική συνάρτηση Βήμα 2: (1) (2) Επιπλέον συνθήκη: (3) Αντικειμενική συνάρτηση (1) (3) (Α)

1ος περιορισμός (συνθήκη ανίχνευσης) (2) (Β) ή

2ος περιορισμός (συνθήκη ανισότητας) (Γ)

Αντικειμενική συνάρτηση Για άγνωστο διάνυσμα: Αντικειμενική συνάρτηση (Α) 1ος περιορισμός (συνθήκη ανίχνευσης) (Β) 2ος περιορισμός (συνθήκη ανισότητας) (Γ)

Βήμα 3: Αντικαθιστώντας το t που υπολογίσαμε στο Βήμα 2, υπολογίζουμε τον εύρωστο ελεγκτή από τις σχέσεις: Ο εύρωστος FST σταθεροποιητικός ελεγκτής έχει συνάρτηση μεταφοράς:

Υλοποίηση & αποτελέσματα στο MATLAB [nc,dc]=prime_FSTS(np,dp) Η συνάρτηση επιστρέφει το «πρώτο» ζεύγος λύσεων της Διοφαντικής εξίσωσης np.nc+dp.dc=1, ενός συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης. [opt_norm,nc,dc]=optimal_FSTS(m,np,dp,dr) H συνάρτηση επιστρέφει τον αριθμητή και τον παρονομαστή του FST σταθεροποιητικού ελεγκτή (nc,dc) ενός διακριτού SISO συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης, ο οποίος ελαχιστοποιεί την L_1 νόρμα του «σφάλματος σταθερής κατάστασης». m := ο βαθμός της ελεύθερης παραμέτρου t της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών.

Παράδειγμα Παραβολική είσοδος: Για m=3:

Απόκριση του συστήματος σε παραβολική είσοδο (m=3) Απόκριση του Σφάλματος Σταθερής Κατάστασης (m=3)

Βελτίωση της απόκρισης του συστήματος στην αύξηση του m (στην αύξηση του χρόνου αποκατάστασης) Απόκριση του συστήματος σε βηματική είσοδο για m=3,10,20 Απόκριση του Σφάλματος Σταθερής Κατάστασης για m=3,10,20

Μεταβολή της βέλτιστης τιμής της νόρμας ως προς το βαθμό της ελεύθερης παραμέτρου t.

Επαλήθευση της ευρωστίας του συστήματος Εφαρμόζουμε πολλαπλασιαστικές διαταραχές: όπου Περιπτώσεις: Η διαταραγμένη ελεγχόμενη διεργασία: Συνθήκη για ευστάθεια:

α’ περίπτωση :

β’ περίπτωση :

γ’ περίπτωση :

δ’ περίπτωση :

Συμπεράσματα Για κάθε διακριτό σύστημα μπορεί να βρεθεί μια οικογένεια FST σταθεροποιητικών ελεγκτών Ο βαθμός ελευθερίας (παράμετρος t) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επιτευχθεί εύρωστη απόδοση του συστήματος κλειστού βρόγχου. Ο εύρωστος σχεδιασμός επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση της l1 νόρμας του δείκτη ευρωστίας. Ο βέλτιστος δείκτης ευρωστίας ελαττώνεται με την αύξηση του χρόνου αποκατάστασης του συστήματος. Επομένως η ευρωστία βελτιώνεται εις βάρος της χρονικής βελτιστοποίησης