Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διακριτά Μαθηματικά Ι Διάλεξη 2η Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση)

Επανάληψη στη Συνδυαστική Διατάξεις και Συνδυασμοί Χωρίς επανάληψη: Συνδυασμοί Διατάξεις Με Επανάληψη: Συνδυασμοί κατιόν παραγοντικό ανιόν παραγοντικό

Επανάληψη στη Συνδυαστική (συν.) Διώνυμο Νεύτωνα διωνυμικοί συντελεστές

Διωνυμικοί Συντελεστές Ιδιότητες: Τρίγωνο του Pascal:

Τρίγωνο του Pascal Κατακόρυφος Τύπος Για παράδειγμα: 20 = 10 + 10 = 10 + 6 + 4 = 10 + 6 + 3 +1 Παρατηρούμε ότι αυτό το άθροισμα είναι το άθροισμα των στοιχείων της προηγούμενης στήλης του 20 , από την πρώτη γραμμή μέχρι την προηγούμενη γραμμή του 20. Δηλαδή: ή αλλιώς

Τρίγωνο του Pascal (συν.) Οριζόντιος Τύπος Χρησιμοποιώντας πάλι τον αναδρομικό τύπο μπορούμε να καταλήξουμε σε μια διαφορετική από την προηγούμενη σχέση. Με βάση αυτόν τον τύπο, κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα δυο στοιχείων της προηγούμενης γραμμής. Αν λοιπόν προσθέτουμε και αφαιρούμε εναλλάξ τα στοιχεία μιας γραμμής μέχρι μια στήλη, το άθροισμα αυτό θα είναι ίσο με το στοιχείο της τελευταίας στήλης και προηγούμενης γραμμής (τα πρόσημα εναλλάσσονται έτσι ώστε το δεξιότερο στοιχείο της γραμμής να λαμβάνεται θετικό). Για παράδειγμα: 20 – 15 + 6 – 1 = (10 + 10) – (10 + 5) + (5 + 1) – 1 = 10 Δηλαδή:

Κβαντικό Τάβλι Κλασικά Ζάρια Ζαριές: (ζάρι1,ζάρι2) (1,1) (1,2) 36 ζαριές ... (6,6) Κβαντικά Ζάρια Ζαριές: «άσσοι» «άσσος-δύο» .... «εξάρες» (τα ζάρια είναι μη διακεκριμμένα) 21 ζαριές

Κβαντικό Τάβλι (συν.) Κλασικά Ζάρια Κβαντικά Ζάρια 2 ζάρια 2 ζάρια ίδια 6 διαφορετικά κουτιά 6 διαφορετικά κουτιά # δυνατών τρόπων ρίψης 2 ζαριών σε 6 κουτιά με επανάληψη = 62 = 36 (διατάξεις με επανάληψη) # δυνατών τρόπων ρίψης 2 ίδιων ζαριών σε 6 κουτιά με επανάληψη = (συνδυασμοί με επανάληψη)

Κβαντικό Τάβλι (συν.) Κλασικά Ζάρια Κβαντικά Ζάρια Οι ζαριές έχουν διαφορετική πιθανότητα μεταξύ τους. Π.χ. Οι ζαριές έχουν ίδια πιθανότητα μεταξύ τους. Άρα για να παίξω κβαντικό τάβλι, ορίζω 21 αντικείμενα και σε κάθε «ζαριά» επιλέγω ένα με ίση πιθανότητα ανάμεσα στα 21. 1-1 1-2 1-3 6-6 ... ... 21 αντικέιμενα

Στοιχειώδη Σωματίδια Πριν 1920 Τα στοιχειώδη σωματίδια θεωρούνται διακεκριμμένα. k στοιχειώδη σωματίδια n καταστάσεις (θεώρηση Maxwell-Boltzmann) Η πιθανότητα να έχω: t1 σωματίδια στην κατάσταση 1 & ... tn σωματίδια στην κατάσταση n διαφορετικές καταστάσεις

Στοιχειώδη Σωματίδια (συν.) Μετά 1920 Κβαντική αντίληψη Τα στοιχειώδη σωματίδια θεωρούνται μη διακεκριμμένα. Αντί για διαφορετικές καταστάσεις, έχουμε Η πιθανότητα να έχω: t1 σωματίδια στην κατάσταση 1 & ... tn σωματίδια στην κατάσταση n γιατί έχω μόνο έναν τρόπο ανάμεσα σε για να πάρω αυτά τα πλήθη σωματιδίων στις n καταστάσεις.