Επίλυση Διακριτών Γραμμικών Συστημάτων Νικόλαος Καραμπετάκης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ.
Επίλυση ομογενούς συστήματος Έστω το ομογενές σύστημα Παράδειγμα.
Επίλυση ομογενούς συστήματος με αρχικές συνθήκες στο k=k0 Επειδή θα έχουμε (αν ο Α αντιστρέφεται) Άρα
Υπολογισμός A^k Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων) τέτοιος ώστε : και συνεπώς
Υπολογισμός A^k όπου : όταν και
Παράδειγμα Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων) τέτοιος ώστε :
Παράδειγμα Συνεπώς το ομογενές σύστημα έχει ως λύση την παρακάτω
Επίλυση μη ομογενούς συστήματος Έστω το μη ομογενές σύστημα Θα έχουμε
Παράδειγμα Συνεπώς το μη ομογενές σύστημα Ελεύθερη απόκριση (λύση του συστήματος με μηδενική είσοδο) Δυναμική απόκριση (λύση του συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες)
Απόκριση σταθερής και μεταβατικής κατάστασης Η απόκριση στην μόνιμη κατάσταση ισσοροπίας (Το μέρος της ολικής απόκρισης που δεν μηδενίζεται όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο) Απόκριση μεταβατικής κατάστασης (Το μέρος της ολικής απόκρισης το οποίο τείνει στο μηδέν όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο)
Παράδειγμα (άλλος τρόπος – αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) Συνεπώς το ομογενές σύστημα Η χαρακτηριστική εξίσωση
Παράδειγμα (άλλος τρόπος – αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) Αρχικές συνθήκες Ελεύθερη απόκριση
Παράδειγμα (άλλος τρόπος – αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) Δυναμική απόκριση
Παράδειγμα (άλλος τρόπος – αναγωγή σε διαφορική εξίσωση μεγαλυτέρου βαθμού)
Λύση με Mathematica