ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ LYAPUNOV ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΄΄ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ΄΄ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ LYAPUNOV ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΝΗ Θ. ΜΠΑΜΠΑΛΩΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Ν. ΚΑΡΑΜΠΕΤΑΚΗΣ ΕΠ.ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2007

Στοιχεία από την Αριθμητική Ανάλυση Ευστάθεια Lyapunov Μέθοδοι Lyapunov Εξίσωση Lyapunov Γενικευμένη εξίσωση Lyapunov Αλγόριθμος Επίλυσης της Εξίσωσης Lyapunov με τη μέθοδο Schur Εφαρμογές στην Θεωρία Ελέγχου

Πίνακες Hessenberg Έστω πίνακες Α, Β ϵ ℝnxn . Ο πίνακας Α λέγεται κάτω Hessenberg και αντίστοιχα ο πίνακας Β πάνω Hessenberg, εάν έχουν τις ακόλουθες μορφές: Δηλαδή ο πίνακας Α λέγεται κάτω Hessenberg εάν αi,j=0, όταν j>i+1 και αντίστοιχα ο Β πάνω Hessenberg εάν bi,j=0, όταν i>j+1.

Πίνακες Householder Έστω διάνυσμα x=(x1,x2,…,xn)T, όπου xi ϵ ℝ, ∀ i=1,2,..,n. Έστω ο ορθογώνιος πίνακας H ϵ ℝnxn, ο οποίος δημιουργείται ως όπου u ϵ ℝn είναι το μη μηδενικό διάνυσμα στήλη O πίνακας Η λέγεται πίνακας Householder. e1 : το μοναδιαίο διάνυσμα ενός n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου. x1 : το πρώτο στοιχείο του διανύσματος x ||x||2 : η Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος x Ένας πίνακας Householder είναι συμμετρικός και ορθογώνιος και εισάγει μερικά μηδενικά σε ένα διάνυσμα ή σε έναν πίνακα ταυτόχρονα.

Πίνακες Givens Ένας πίνακας ο οποίος έχει την ακόλουθη μορφή όπου ισχύει c2+s2=1, θα λέγεται πίνακας Givens.

Πίνακες Givens Aποτελούν χρήσιμα εργαλεία για τον μηδενισμό στοιχείων ενός πίνακα Α. Έστω διάνυσμα x=(x1,x2)T , όπου x1, x2 ϵ ℝ. Επιλέγοντας τα c και s ως εξής και σχηματίζοντας τον πίνακα Givens έχουμε Οι πίνακες Givens είναι ορθογώνιοι, έτσι εξασφαλίζεται η αριθμητική ευστάθεια στους υπολογισμούς. Xρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε την QR ανάλυση ενός πίνακα ή να βρούμε την Hessenberg μορφή του.

QR Παραγοντοποίηση Έστω πίνακας Α ϵ ℝnxn, με τάξη n. Τότε υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας Q ϵ ℝnxn και ένας άνω τριγωνικός πίνακας R ϵ ℝnxn τέτοιοι ώστε Οι πίνακες Q και R είναι μοναδικοί. Η QR ανάλυση μας επιτρέπει να «αντικαταστήσουμε» τους αρχικούς πίνακες και να δουλέψουμε με ορθογώνιους και άνω τριγωνικούς οι οποίοι είναι πίνακες αριθμητικά ευσταθείς.

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Householder Θεώρημα Έστω πίνακας Α ϵ ℝnxn. Τότε υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας Q ϵ ℝnxn και ένας άνω τριγωνικός πίνακας R ϵ ℝnxn τέτοιοι ώστε Ο πίνακας Q μπορεί να γραφεί ως όπου Hi i=1,…,n-1 είναι πίνακες Householder και ο πίνακας R είναι

Πραγματική Schur μορφή πίνακα Θεώρημα Έστω πίνακας Α ϵ ℝnxn . Τότε υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας Q ϵ ℝnxn τέτοιος ώστε Κάθε στοιχείο της διαγωνίου ℝii είναι είτε ένας πραγματικός αριθμός που αντιστοιχεί σε πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα Α είτε ένας 2x2 πίνακας που αντιστοιχεί σε ζευγάρι συζυγών ιδιοτιμών του Α. Ορισμός Ο πίνακας R θα ονομάζεται πραγματική Schur μορφή του πραγματικού, τετραγωνικού πίνακα Α. Η Schur μορφή εμφανίζει τις ιδιοτιμές του πραγματικού πίνακα Α από τον οποίο προήλθε στη διαγώνιό της.

Double shift explicit QR Αλγόριθμος Ο Double shift explicit QR Αλγόριθμος, υπολογίζει την Schur μορφή σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Μετασχηματίζουμε τον πίνακά μας Α στην (πάνω) Hessenberg μορφή του Η=ΡTΑΡ και εφαρμόζουμε τον κλασικό αλγόριθμο QR στον μετατοπισμένο Η=Η0, βρίσκουμε δηλαδή αριθμούς κ1, κ2τέτοιους ώστε κ1 , κ2 ιδιοτιμές του 2x2 πίνακα Βκ υποπίνακας των πινάκων Η2κ , κ=0,1,2,... που δημιουργούνται σε κάθε επανάληψη του αλγόριθμου. Παράδειγμα Έστω ιδιοτιμές λ1=-0.8019, λ2=0.555 και λ3=2.247.

Qz Αλγόριθμος Θεώρημα Έστω πίνακες Α ,Β ϵ ℝnxn. Τότε υπάρχουν ορθογώνιοι πίνακες Q και Ζ τέτοιοι ώστε όπου άνω πραγματικός Schur πίνακας και άνω τριγωνικός πίνακας. Το ζεύγος λέγεται γενικευμένη πραγματική Schur μορφή . QZ Aλγόριθμος Βήμα 1. Οι πίνακες Α, Β μετασχηματίζονται σε άνω Hessenberg και άνω τριγωνικό πίνακα αντίστοιχα με ταυτόχρονους ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Βήμα 2. Το ζεύγος (Α,Β) - Hessenberg και άνω τριγωνικός πίνακας – μετασχηματίζεται στην γενικευμένη πραγματική Schur μορφή , εφαρμόζοντας QR επαναληπτικό αλγόριθμο στον ΑΒ-1.

Μέθοδοι Lyapunov L y a p u n o v Πρώτη ή έμμεση μέθοδος Lyapunov Μη γραμμικά συστήματα Γραμμικά συστήματα Μη γραμμικά συστήματα

Ευστάθεια Lyapunov Ορισμός Μια λύση του ẋ=f(x) είναι ευσταθής ως προς Lyapunov αν για κάθε ε>0, υπάρχει δ=δ(ε)>0 τέτοιο ώστε για κάθε x(0) όπου είναι η λύση x(t) να ικανοποιεί την ∀ t>0. Aν επιπλέον, ισχύει η καθώς t → ∞ , τότε η είναι ασυμπτωτικά ευσταθής.

Πρώτη ή έμμεση μέθοδος Lyapunov Θεώρημα Έστω x=0 ένα σημείο ισορροπίας για το μη γραμμικό σύστημα ẋ=f(x) όπου f :D→ℝn είναι μία συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση (με συνεχείς παραγώγους) και D μία περιοχή της αρχής των αξόνων. Έστω τότε, 1. Η αρχή είναι ασυμπτωτικά ευσταθής εάν Re λi<0 για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα A. 2. Η αρχή είναι ασταθής εάν Re λi >0 για μία ή περισσότερες ιδιοτιμές του πίνακα A. Παράδειγμα: Ταλαντωτής Van de Pol β>0, Re λ1,2 >0 σύστημα ασταθές β<0, Re λ1,2<0 ασυμπτωτικά ευσταθές β=0, λ1,2=±i Σύστημα ευσταθές

Δεύτερη ή άμεση μέθοδος Lyapunov-1892 Ορισμός Εστω U ⊂ ℝn , μία περιοχή γύρω από την αρχή των αξόνων. Μία συνάρτηση V:U→ ℝ θα ονομάζεται συνάρτηση Lyapunov , για το αυτόνομο σύστημα εάν για κάθε x ∈ U ικανοποιούνται οι επόμενες προϋποθέσεις. i) Η V είναι C1, δηλαδή η V είναι συνεχής και οι μερικές της παράγωγοι πρώτης τάξης ορίζονται και είναι συνεχείς. ii) V(0)=0. iii) V(x)>0, για κάθε x ∈ U-{0} iv) Θεώρημα ευστάθειας Lyapunov Έστω x=0 σημείο ισορροπίας για το σύστημα . Εάν για το σύστημα αυτό μπορεί να βρεθεί μία συνάρτηση Lyapunov V(x), με τότε το x=0 είναι ευσταθές. Εάν τότε x=0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.

Δεύτερη ή άμεση μέθοδος Lyapunov-1892 Παράδειγμα Έστω το μη-γραμμικό σύστημα και έστω η συνάρτηση συνεχής με συνεχείς παραγώγους Παρατηρούμε ότι Επομένως είναι συνάρτηση Lyapunov του συστήματος Άρα το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.

Εξίσωση Lyapunov Έστω Θεωρούμε συνάρτηση V(x)=xTPx, όπου P πραγματικός, θετικά ορισμένος, συμμετρικός πίνακας οπότε : i. η V είναι συνεχής με συνεχείς παραγώγους, ως πολυωνυμική ii. V(0)=0 ii. V(x)>0, ∀x≠0, (Ρ είναι θετικά ορισμένος), δηλαδή xTPx>0, ∀x≠0 iv. Έστω Q ∈ ℝnxn ένας θετικά ορισμένος πίνακας (xTQx>0 , ∀x≠0 ), τότε –Q θα είναι αρνητικά ορισμένος διότι Εάν ATP+PA=-Q τότε Άρα η συνάρτηση V(x) θα είναι συνάρτηση Lyapunov . Επομένως σύστημα θα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Η εξίσωση λέγεται εξίσωση Lyapunov

Θεώρημα Ευστάθειας Lyapunov Το ακόλουθο ομογενές, χρονικά αμετάβλητο, γραμμικό σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εάν και μόνον εάν για έναν οποιοδήποτε συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα Q ϵℝ nxn , υπάρχει συμμετρικός, θετικά ορισμένος πίνακας P ϵ ℝ nxn , τέτοιος ώστε να ισχύει η ακόλουθη εξίσωση

Μοναδικότητα των λύσεων της εξίσωσης Lyapunov Έστω λ1,λ2,…,λn οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Η εξίσωση Lyapunov έχει μοναδική λύση P εάν και μόνο εάν λi+λj≠0 για i=1,…,n ; j=1,…,n. Παράδειγμα Έστω Q =Ι2x2 Άρα η εξίσωση Lyapunov δεν έχει μοναδική λύση, γιατί για δύο διαφορετικές ιδιοτιμές του πίνακα Α, λ1=2 και λ2=-2, ισχύει λ1+λ2=0 Δεν υπάρχει μοναδική λύση ή δεν υπάρχει καμμία λύση

Αλγόριθμος Επίλυσης της Εξίσωσης Lyapunov με τη μέθοδο Schur Εάν Λ ορθογώνιος πίνακας ( ΛΛΤ=Ι) τότε Έστω R η πραγματική Schur μορφή του πίνακα ΑΤ, Η εξίσωση λύνεται αλγοριθμικά ως εξής: Έστω Y=(y1,y2,...,yν) και W=(w1,w2,...,wν) και R=(rij) όπου yi, i=1,...,ν οι στήλες του Υ , wi, i=1,...,ν οι στήλες του W. Αν υποθέσουμε ακόμη ότι οι στήλες yk+1 έως yν έχουν υπολογισθεί, τότε θα έχουμε δύο περιπτώσεις

Αλγόριθμος Επίλυσης της Εξίσωσης Lyapunov με τη μέθοδο Schur Περίπτωση 1η ( rk,k-1=0 ) Η στήλη yk υπολογίζεται λύνοντας το «σχεδόν» τριγωνικό σύστημα Αν ο πίνακας R τυχαίνει να είναι άνω τριγωνικός (όλες οι ιδιοτιμές του Α είναι πραγματικές) τότε κάθε yi , i=ν,ν-1,…,2,1 είναι λύση του άνω τριγωνικού συστήματος

Αλγόριθμος Επίλυσης της Εξίσωσης Lyapunov με τη μέθοδο Schur Περίπτωση 2η (rk,k-1≠0 ) Εάν όμως ( rk,k-1≠0 ) για κάποιο κ. Aυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα Schur bump στην διαγώνιο και κατά συνέπεια μπορούμε να υπολογίσουμε ταυτόχρονα τις στήλες yk και yk-1 ως εξής:

Αλγόριθμος Επίλυσης της Εξίσωσης Lyapunov με τη μέθοδο Schur

Αλγόριθμος Επίλυσης της Εξίσωσης Lyapunov με τη μέθοδο Schur Βήμα 2. Λύση της r32=0 : Περίπτωση 1 . r21≠0 : Περίπτωση 2 . Βήμα 3. Εύρεση της λύσης

Γενικευμένη εξίσωση Lyapunov Eπίλυση της γενικευμένης εξίσωσης Lyapunov A,E,Yϵ ℝnxn Y, X συμμετρικoί πίνακες εάν η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση. Μέθοδος Bartels-Stewart pencil Α-λΕ Αs-λΕs Q, Z ορθογώνιοι As=QTAZ , Es=QTEZ Γενικευμένη Schur μορφή QZ αλγόριθμος

Γενικευμένη εξίσωση Lyapunov As, Es, Ys, Xs διαχωρίζονται σε pxp μπλοκ. Τα διαγώνια μπλοκ είναι 1x1 ή 2x2 πίνακες που αντιστοιχούν σε πραγματικές ιδιοτιμές ή συζυγή μιγαδικά ζευγάρια ιδιοτιμών του πίνακα pencil As-λEs

Γενικευμένη εξίσωση Lyapunov Παράδειγμα Έστω η γενικευμένη εξίσωση Lyapunov ATXE+ETXA=-Y Qz Αλγόριθμος AsT Xs Es+EsT XsAs=- Ys X=QTXsQ

Μοναδικότητα των λύσεων της γενικευμένης εξίσωσης Lyapunov Πόρισμα Έστω ότι Α-λΕ κανονικός πίνακας. Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση εάν και μόνο εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-λΕ είναι πεπερασμένες και λi+λj≠ 0 για δύο οποιεσδήποτε ιδιοτιμές λi και λj του πίνακα Α-λΕ. Παράδειγμα Άρα λ1=1, λ2=-1.

Ύπαρξη-Μοναδικότητα των λύσεων της γενικευμένης εξίσωσης Lyapunov ETXA+ATXE=-Y , E,A,Y,X ϵ ℝnxn Lc: ℝnxn → ℝnxn , Lc(X) : =ETXA+ATXE , x=vec(X), g=vec(Y) Lc(x)=-g Θεώρημα Έστω Lc, x=vec(X)=(x11,…,xnn)T , g=vec(Y)=(y11,…,ynn)T. Η γενικευμένη εξίσωση Lyapunov έχει μοναδική λύση εάν και μόνο εάν rank[Lc,g]=rank Lc. Υπάρχει μία μοναδική λύση εάν και μόνο εάν ο πίνακας Lc είναι μη ιδιόμορφος. Παράδειγμα Δεν υπάρχει έχει λύση

Ύπαρξη-Μοναδικότητα των λύσεων της γενικευμένης εξίσωσης Lyapunov Παράδειγμα Έστω Δεν υπάρχει λύση

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Ο γραμμικός ταλαντωτής με υστέρηση (dumping) είναι ένα μηχανικό σύστημα που απαντάται σε διάφορες επιστήμες αλλά κυρίως στη μηχανική. Το μοντέλο του γραμμικού ταλαντωτή περιγράφεται από την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: όπου α, β, γ, δ ϵ R , y: ℝ → ℝ η καμπύλη λύσης, y(t0)=y0 οι αρχικές συνθήκες του προβλήματος και u(t) η είσοδος του συστήματος παραδείγματος χάριν η τιμή μίας εξωτερικής δύναμης που θέτει σε κίνηση το σύστημα. Η εξίσωση (1) περιγράφει το σύστημα στο πεδίο του χρόνου και κλασσικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση της λύσης y(t0, y0, t, u(t)). (1)

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Ο παρακάτω μετασχηματισμός παράγει ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το σύστημα στο πεδίο κατάστασης. λόγω του παραπάνω μετασχηματισμού η εξίσωση (1) μετασχηματίστηκε στο παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί το μοντέλο του συστήματος του γραμμικού ταλαντωτή το οποίο και θα μελετήσουμε.

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Εάν α=β=γ=δ=1 η Schur μορφή του Α είναι : Στην διαγώνιο του πίνακα R, υπάρχει θετική ιδιοτιμή, η λ1=1.9276, άρα το σύστημα θα είναι ασταθές. Εάν α= -1, β= -2, γ= -1, δ= -1/2, η Schur μορφή του Α είναι: έχουμε δύο ζεύγη συζυγών μιγαδικών ιδιοτιμών με αρνητικά πραγματικά μέρη άρα το σύστημα είναι ευσταθές.

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Ο πίνακας P είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος από το Θεώρημα Sylvester για τετραγωνικές μορφές, διότι Αρα η συνάρτηση xTPx>0, είναι μία συνάρτηση Lyapunov του συστήματος, άρα το σύστημα θα είναι ευσταθές.

Eξίσωση Lyapunov-Εύρωστος έλεγχος Διαταραχές λέγονται οι μικρές αποκλίσεις που παρουσιάζονται στις τιμές των μεταβλητών ή παραμέτρων του προβλήματος και οφείλονται σε λάθη μετρήσεων, λάθη αποκοπής στους διάφορους υπολογισμούς, θόρυβο. Έστω όπου Α ευσταθής πίνακας. Ερώτημα Πόσο το σύστημα συνεχίζει να παραμένει ευσταθές καθώς ο Ε μεταβάλλεται. Διαταραγμένο σύστημα (1)

Eξίσωση Lyapunov-Εύρωστος έλεγχος Θεώρημα Έστω Α ευσταθής πίνακας και Ε ο πίνακας διαταραχών που ορίζεται από την εξίσωση όπου πi ϵ ℝ, i=1,2,…,k. Ei, i=1,2,…,k , είναι πίνακες νxν με ιδιαίτερη μορφή, που οφείλεται στη φύση των διαταραχών. Έστω ακόμη Q ένας συμμετρικός, θετικά ορισμένος πίνακας και Ρ η μοναδική, συμμετρική, θετικά ορισμένη λύση της εξίσωσης Lyapunov Τότε το σύστημα (1) παραμένει ευσταθές για όλα τα τα οποία ικανοποιούν την ανίσωση όπου σmin(Q) είναι η μικρότερη ιδιάζουσα τιμή (singular value) του Q και τα ρi δίνονται από

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Εύρωστος έλεγχος. Το σύστημα λόγω των αναταράξεων γίνεται Θα βρούμε το «εύρος» ευρωστίας του συστήματος, το διάστημα τιμών των παραμέτρων δηλαδή για το οποίο το σύστημα παραμένει ευσταθές.

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Εύρωστος έλεγχος. Γνωρίζουμε ότι το σύστημα θα παραμένει ευσταθές εάν σmin(Q): η μικρότερη ιδιάζουσα τιμή του Q ( μικρότερη θετική τετραγωνική ρίζα των ιδιοτιμών του QTQ) και ρi : Q ϵ ℝ4x4 Άρα σmin(Q)=1 (ο μοναδιαίος έχει το 1 σαν ιδιοτιμή με πολλαπλότητα τέσσερα).

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Εύρωστος έλεγχος. Οι ιδιοτιμές του παραπάνω πίνακα είναι Άρα

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Εύρωστος έλεγχος.

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Εύρωστος έλεγχος. Οπότε η ανίσωση που ψάχναμε γίνεται Καταλήγουμε ότι εάν οποιαδήποτε από τις παραμέτρους των αναταράξεων π1 ή π2 λάβει τιμή μεγαλύτερη του 0.05 το σύστημα θα καταστεί ασταθές. Άρα ο γραμμικός ταλαντωτής και για τιμές των παραμέτρων που προαναφέραμε δεν είναι ένα ιδιαίτερα εύρωστο σύστημα.

Εξίσωση Lyapunov-Παρατηρησιμότητα Έστω το σύστημα ελέγχου Ο πίνακας Α στο σύστημα {Σ}, θα λέγεται εσωτερικά ευσταθές εάν είναι Hurwitz, εάν δηλαδή όλες οι ιδιοτιμές του βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο. Θεώρημα Έστω Α ευσταθής πίνακας του συστήματος {Σ}. Ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας P είναι λύση της εξίσωσης Lyapunov εάν και μόνο αν το σύστημα {Σ} είναι παρατηρήσιμο. Έστω σύστημα {Σ} παρατηρήσιμο.Τότε ο Α είναι ευσταθής εάν και μόνο αν υπάρχει μοναδικός συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας P που ικανοποιεί την εξίσωση Lyapunov.

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Παρατηρησιμότητα Έστω ότι στο μοντέλο του ευσταθούς ταλαντωτή,

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Παρατηρησιμότητα . Ρ είναι θετικά ορισμένος P συμμετρικός πίνακας Α είναι ευσταθής Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο

Εξίσωση Lyapunov-Ελεγξιμότητα Θεώρημα Έστω Α ευσταθής πίνακας του συστήματος {Σ}. Ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας P είναι λύση της εξίσωσης Lyapunov εάν και μόνο αν το σύστημα {Σ} είναι ελέγξιμο. Έστω σύστημα {Σ} ελέγξιμο. Τότε ο Α είναι ευσταθής εάν και μόνο αν υπάρχει μοναδικός συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας P που ικανοποιεί την εξίσωση Lyapunov.

Μελέτη γραμμικού ταλαντωτή τέταρτης τάξης με χρήση της εξίσωσης Lyapunov Ελεγξιμότητα Ρ είναι θετικά ορισμένος P συμμετρικός πίνακας Α είναι ευσταθής Το σύστημα είναι ελέγξιμο

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Householder Έστω Θέτουμε Α=Α1.Υπολογίζουμε το πρώτο διάνυσμα u1 χρησιμοποιώντας την πρώτη στήλη x1 του πίνακα Α. και

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Householder Η πρώτη στήλη του πίνακα Α έχει μετασχηματιστεί σ’ ένα πολλαπλάσιο του μοναδιαίου διανύσματος.

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Householder Τελικά ο αρχικός πίνακας Α μετασχηματίστηκε σ’ έναν άνω τριγωνικό πίνακα όπου Άρα Υπολογίσαμε δηλαδή έναν ορθογώνιο πίνακα Q και έναν άνω τριγωνικό πίνακα R έτσι ώστε A=QR.

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Householder-Givens Θεώρημα Έστω πίνακας Α ϵ ℝnxn. Τότε υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας Q ϵ ℝnxn και ένας άνω τριγωνικός πίνακας R ϵ ℝnxn τέτοιοι ώστε Ο πίνακας Q μπορεί να γραφεί ως όπου Hi i=1,…,n-1 είναι πίνακες Householder και ο πίνακας R είναι με όπου Gi i=1,…,n είναι πίνακες Givens, oρθογώνιοι και ο πίνακας R είναι

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Givens Έστω ο πίνακας Μηδενίζουμε πρώτα τα στοιχεία (2,1)-(3,1)-(4,1), μετά τα (3,2)-(4,2) και τέλος το (4,3). Για το στοιχείο (2,1) έχουμε σαν οδηγό το διάνυσμα x=(x1,x2)T=(1,2)T και άρα Άρα

QR Παραγοντοποίηση με πίνακες Givens Ακολουθώντας τα ίδια βήματα καταλήγουμε Άρα Q ορθογώνιος πίνακας, R άνω τριγωνικός πίνακας

Double shift explicit QR Αλγόριθμος Ο Double shift explicit QR Αλγόριθμος, υπολογίζει την Schur μορφή σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Μετασχηματίζουμε τον πίνακά μας Α στην (πάνω) Hessenberg μορφή του Η=ΡTΑΡ και εφαρμόζουμε τον κλασικό αλγόριθμο QR στον μετατοπισμένο Η=Η0, βρίσκουμε δηλαδή αριθμούς κ1, κ2τέτοιους ώστε κ1 , κ2 ιδιοτιμές του 2x2 πίνακα Βκ υποπίνακας των πινάκων Η2κ , κ=0,1,2,... που δημιουργούνται σε κάθε επανάληψη του αλγόριθμου. Παράδειγμα Έστω ιδιοτιμές λ1=-0.8019, λ2=0.555 και λ3=2.247.

Double shift explicit QR Αλγόριθμος Βήμα 1. Βήμα 2. Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές κ1, κ2 του 2x2 υποπίνακα που βρίσκεται στην κάτω δεξιά γωνία του Η0, δηλαδή τον κ1=-1.3028 και κ2=2.3028 Υπολογίζουμε τους μετατοπισμένους πινάκες Η1 , Η2 ,δηλαδή Ĥ1 , Ĥ2 Βήμα 3

Double shift explicit QR Αλγόριθμος Βήμα 5. Βήμα 6. Υπολογίζοντας τον

Double shift explicit QR Αλγόριθμος Βήμα 8. Οπότε Παρατηρούμε ότι ήδη η διαγώνιος του Η2 είναι αρκετά «κοντά» στις ιδιοτιμές του αρχικού Α ( λ1=-0.8019, λ2=0.555 και λ3=2.247).

Double shift explicit QR Αλγόριθμος Βήμα 27. Τελικά μετά από κάποια βήματα, υπολογίζουμε τον πίνακα Βήμα 28. QR ανάλυση Βήμα 29. Βρίσκουμε τον πίνακα Παρατηρούμε τελικά ότι μετά από κάποια βήματα της μεθόδου έχουμε καταφέρει σύγκλιση με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων (λ1=-0.8019, λ2=0.555 και λ3=2.247.

Η ύπαρξη και φύση των λύσεων της εξίσωσης πίνακα Lyapunov Q ϵ ℝ2x2 Άρα η εξίσωση Lyapunov δεν έχει μοναδική λύση, γιατί για δύο διαφορετικές ιδιοτιμές του πίνακα Α, λ1=2 και λ2=-2, ισχύει λ1+λ2=0 Δεν υπάρχει μοναδική λύση ή δεν υπάρχει καμμία λύση

Αριθμητική Λύση της Εξίσωσης Lyapunov- Αλγόριθμος Jameson Q ϵ ℝnxn συμμετρικός P ϵ ℝnxn συμμετρικός Δημιουργούμε την εξής ακολουθία πινάκων, με χρήση της επαναληπτικής σχέσης όπου C0=0 και C1=C=-Q. Δηλαδή

Αριθμητική Λύση της Εξίσωσης Lyapunov- Αλγόριθμος Jameson Άρα

Αριθμητική Λύση της Εξίσωσης Lyapunov- Αλγόριθμος Jameson Έστω το σύστημα Αναζητάμε συνάρτηση Lyapunov V(x)=xTPx , όπου P>0 λύση της PA+ATP=-Q, Q=I2x2.

Αριθμητική Λύση της Εξίσωσης Lyapunov- Αλγόριθμος Jameson Αρα η αρχή συντεταγμένων είναι συνολικά ασυμπτωτικά ευσταθής