Διακριτά Μαθηματικά Ι Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διάλεξη 8η
Θεωρία Polya Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το πολυώνυμο όπου Μ το σύνολο όλων των μονωνύμων στις μεταβλητές και από το λήμμα του Burnside. Ακόμα:
Θεωρία Polya (συν.) Θα δώσουμε μια καλύτερη μορφή στο άθροισμα Ως συγκεκριμένη περίπτωση παίρνουμε αυτή που έχει δυο κύκλους μήκους 3 και ένα κύκλο μήκους 4. –|V|=2*3+1*4=10 –Έστω ότι έχω δυο χρώματα με μεταβλητές x, y. Σε αυτήν την ειδική περίπτωση –Δυνατά μονώνυμα:
Θεωρία Polya (συν.) Έστω ότι έχω b i κύκλους μήκους i, για i=1…n Δείκτρια συνάρτηση ή παράσταση δομής κύκλων. Τελικός τύπος:
Θεωρία Polya (συν.) Εφαρμογή Έχω ένα κύβο και τοποθετώ 1 bit σε κάθε κορυφή του. Θα υπολογίσω το άθροισμα των μονωνύμων των μη ισοδύναμων χρωματισμών. οι μεταβλητές που αντιστοιχούν στα χρώματα. οι μεταβλητές που αντιστοιχούν σε κύκλους μήκους 1,2,...,8 αντίστοιχα. Ισχύει: 6 τρόπους να βάλω μια πλευρά κάτω. 4 τρόποι να έχω απέναντί μου μια πλευρά.
Θεωρία Polya (συν.) Συμμετρίες π άξονες ταυτοτική κέντρα απέναντι πλευρών μέσα απέναντι ακμών απέναντι κορυφών Για να βρω πόσοι είναι συνολικά οι μη ισοδ. χρωμ. θέτω Για να βρω πόσοι είναι οι μη ισοδ. χρωμ. με δυο φορές 0 και έξι φορές 1, βρίσκω τον συντελεστή του.