ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δ εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δ εξάμηνο

Σκοπός του μαθήματος Παρουσίαση των βασικών εννοιών και συλλήψεων που διέπουν τα σήματα και συστήματα Έμφαση στις μαθηματικές τεχνικές και στην κατανόηση των βασικών αρχών, των μεθόδων, περιορισμών και ιδιαιτεροτήτων Σύνδεση με εφαρμογές

Περιεχόμενα Σήματα (βασικές έννοιες-κατηγορίες σημάτων-ψηφιοποίηση-συνέλιξη-συσχέτιση-στοιχειώδεις μετατροπές σημάτων-τυχαιότητα) Σειρές και μετασχηματισμός Fourier (σειρές Fourier, μετασχηματισμός Fourier αναλογικών σημάτων, θεώρημα δειγματοληψίας, θεώρημα Parseval, μετασχηματισμός Fourier διακριτών σημάτων, FFT, DFT) Συστήματα (βασικές ιδιότητες-ταξινόμηση συστημάτα, LTI συστήματα-ιδιότητες, κρουστική απόκριση, απόκριση συχνότητας, μετασχηματισμός Laplace, συνάρτηση μεταφοράς, εξισώσεις κατάστασης) Μετασχηματισμός z και διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου (ιδιότητες-παραδείγματα) Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρων (FIR, IIR, βαθυπερατά, υψηπερατά, ζωνοπερατά, ζωνοφρακτικά, windowing)

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σήμα: Είναι μια συνάρτηση συνήθως του χρόνου που εκφράζει ένα μέγεθος που παρατηρείται σε κάποιο φυσικό σύστημα. Μεταφέρει πληροφορία και περιέχει τις μεταβολές ενός φυσικού μεγέθους που εκφράζουν την κατάσταση κάποιου συστήματος που εξελίσσεται Πχ. Ανθρώπινη φωνή-φωνητικό σύστημα ECG-καρδιά ΕΕG- εγκέφαλος

Ανάλογα με τον τύπο της ανεξάρτητης ή εξαρτημένης μεταβλητής: ΣΗΜΑΤΑ 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Ανάλογα με τον τύπο της ανεξάρτητης ή εξαρτημένης μεταβλητής: Σήματα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά: ορίζονται για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής (πραγματικός αριθμός), ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μέσα σε κάποιο συνεχές διάστημα τιμών (πραγματικοί αριθμοί) -έξοδος τροφοδοτικού, έξοδος μικροφώνου, η τιμή της τάσης μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου, καθώς ο πυκνωτής φορτίζεται και μετά εκφορτίζεται

-έξοδος όλων των σύχγρονων ηλεκτρονικών ψηφιακών κατασκευών ΣΗΜΑΤΑ 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Σήματα συνεχούς χρόνου –διακριτού πλάτους: ορίζονται για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής (πραγματικός αριθμός), ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να πάρει κάποιες συγκεκριμένες τιμές (κβαντισμός πλάτους) -έξοδος όλων των σύχγρονων ηλεκτρονικών ψηφιακών κατασκευών

-radar, οικονομία (π.χ πληθωρισμός) ΣΗΜΑΤΑ 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΑΤΩΝ 3. Σήματα διακριτού χρόνου –συνεχούς πλάτους: ορίζονται για ορισμένες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (π.χ σύνολο των ακεραίων) (κβαντισμός του χρόνου), ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές -radar, οικονομία (π.χ πληθωρισμός)

ΣΗΜΑΤΑ 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΑΤΩΝ 4. Σήματα διακριτού χρόνου –διακριτού πλάτους ή ψηφιακά: ορίζονται για συγκεκριμένες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (συνήθως από το σύνολο των ακεραίων) και η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να πάρει κάποιες συγκεκριμένες τιμές -επεξεργασία σήματος μέσω Η/Υ (περιορισμένες τιμές στο χρόνο και αποθηκευμένο σήμα σε περιορισμένη μνήμη, άρα περιορισμένο αριθμό ψηφίων οπότε τα πλάτη είναι κβαντισμένα)

Ανάλογα με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών Μονοδιάστατα ΣΗΜΑΤΑ 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Ανάλογα με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών Μονοδιάστατα Πολυδιάστατα (εικόνα, ΕΕG)

2. ΣΗΜΑΤΑ Βασικά-στοιχειώδη σήματα 2η ταξινόμηση σημάτων Στοιχειώδεις μετατροπές σημάτων Δειγματοληψία-Παράσταση σήματος στον Η/Υ Συνέλιξη Συσχέτιση και αυτοσυσχέτιση Τυχαία σήματα Στασιμότητα-Εργοδικότητα Διδιάστατα σήματα

2. ΣΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαίος παλμός δ(t) : Ορίζεται μόνο τη χρονική στιγμή t=0 και έχει εμβαδό ίσο με 1 Ιδιότητες:

2. ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαίο βηματικό σήμα: Ιδιότητες:

2. ΣΗΜΑΤΑ Ορθογώνιος παλμός μοναδιαίου πλάτους: Ιδιότητες

2. ΣΗΜΑΤΑ Τριγωνικός Παλμός Συνάρτηση ράμπας Συνάρτηση προσήμου

2. ΣΗΜΑΤΑ Το εκθετικό σήμα: Α. s πραγματικό, c πραγματικό Β. s=iω, c πραγματικό: Tότε το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ=2π/ω Άρα γενικά:

2. ΣΗΜΑΤΑ Χαμηλή συχνότητα-αργή μεταβολή Υψηλή συχνότητα-γρήγορη μεταβολή

2. ΣΗΜΑΤΑ Γ. s=σ+iωt, c=|c|eiθ σ=0 σ>0 σ<0

2. ΣΗΜΑΤΑ Σήματα διακριτού χρόνου Μοναδιαίος παλμός Μοναδιαίο βηματικό σήμα Ιδιότητες:

2. ΣΗΜΑΤΑ Σήμα μοναδιαίας κλίσης Μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα

2. ΣΗΜΑΤΑ Εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου

2. ΣΗΜΑΤΑ |β|>1 |β|<1

2. ΣΗΜΑΤΑ Α, β πραγματικοί 0<β<1 β>1 β<-1 -1<β<0

2. ΣΗΜΑΤΑ 2Η ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ

2. ΣΗΜΑΤΑ Σήματα Ενέργειας: έχουν πεπερασμένη ενέργεια και μηδενική ισχύ Σήματα Ισχύος: έχουν πεπερασμένη ισχύ και άπειρη ενέργεια

2. ΣΗΜΑΤΑ Περιοδικά και Απεριοδικά σήματα Τα ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου δεν είναι πάντοτε περιοδικά

2. ΣΗΜΑΤΑ Αιτιατά και μη αιτιατά σήματα

2. ΣΗΜΑΤΑ Σήματα πεπερασμένης και άπειρης διάρκειας Άρτια και περιττά σήματα

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ

Νομοτελειακά: Κάθε δείγμα ορίζεται με βεβαιότητα 2. ΣΗΜΑΤΑ Ντετερμινιστικά ή νομοτελειακά και τυχαία σήματα: Νομοτελειακά: Κάθε δείγμα ορίζεται με βεβαιότητα Τυχαία: η περιγραφή τους γίνεται με βάση τη θεωρία των πιθανοτήτων και τη στατιστική (θερμικός θόρυβος, βιολογικά σήματα)

Στοιχειώδεις μετατροπές: Ως προς το χρόνο 2. ΣΗΜΑΤΑ Στοιχειώδεις μετατροπές: Ως προς το χρόνο Μετάθεση στο χρόνο (καθυστέρηση-προπόρευση) Ανάκλαση (εναλλαγή παρελθόντος και μέλλοντος) Χρονική κλιμάκωση (συστολή-διαστολή)

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ

Πολλαπλασιασμός σήματος με σταθερά 2. ΣΗΜΑΤΑ Ως προς το πλάτος: Πρόσθεση σημάτων Έστω δυο σήματα x(n), y(n), ορίζουμε ως άθροισμά τους το σήμα z(n)=x(n)+y(n) Πολλαπλασιασμός σήματος με σταθερά Όλες οι τιμές του σήματος πολλαπλασιάζονται με τη σταθερά z(n)=ax(n) a>1 ενίσχυση a<1 απόσβεση

xTy=x(0)y(0)+x(1)y(1)+…+x(N-1)y(N-1) 2. ΣΗΜΑΤΑ Εσωτερικό γινόμενο x(N)=(x(0), x(1),…,x(N-1)) y(N)=(y(0), y(1),…, y(N-1) xTy=x(0)y(0)+x(1)y(1)+…+x(N-1)y(N-1)

2.ΣΗΜΑΤΑ Συνέλιξη Σήματα άπειρης διάρκειας Σήματα πεπερασμένης διάρκειας

2. ΣΗΜΑΤΑ Ιδιότητες συνέλιξης Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Επιμεριστική Ταυτοτικό στοιχείο

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ Συνέλιξη αναλογικών σημάτων

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ Συνέλιξη διακριτών σημάτων

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ Αν το x(n) έχει διάρκεια Ν και το h(n) έχει διάρκεια Μ, η συνέλιξή τους έχει διάρκεια Ν+Μ-1

2. ΣΗΜΑΤΑ Συσχέτιση Ποσοτικό μέτρο ομοιότητας δυο σημάτων. Η ανεξάρτητη μεταβλητή της συσχέτισης θα εκφράζει τη μετατώπιση μεταξύ δυο σημάτων. Αν τα σήματα είναι διαφορετικά: ετεροσυσχέτιση Αν πρόκειται για το ίδιο σήμα: αυτοσυσχέτιση l καθυστέρηση

2. ΣΗΜΑΤΑ Συντελεστής Συσχέτισης: ανεξάρτητος του πλάτους Ιδιότητες συσχέτισης:

2. ΣΗΜΑΤΑ Αυτοσυσχέτιση

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ Σήματα Ισχύος Γενικά Περιοδικά

2. ΣΗΜΑΤΑ Πεπερασμένης διάρκειας: x(n) διάρκειας Ν και y(n) διάρκειας Μ

2. ΣΗΜΑΤΑ Τυχαία σήματα

2. ΣΗΜΑΤΑ Στασιμότητα: Ένα τυχαίο σήμα είναι στάσιμο όταν η μέση τιμή του είναι σταθερή και η αυτοσυσχέτισή του εξαρτάται από το l Εργοδικότητα: Οι μέσοι πιθανοσυνόλου είναι ίσοι με τους χρονικούς μέσους Εργοδικό+στάσιμο σήμα: η απαραίτητη στατιστική πληροφορία που χρειάζεται για την επεξεργασία ενός τυχαίου σήματος μπορεί να εξαχθεί από μια μόνο πραγμάτοποίηση (το σήμα αντιπροσωπεύει στατιστικά την οικογένεια)

2. ΣΗΜΑΤΑ

2. ΣΗΜΑΤΑ Διδιάστατα σήματα: εξαρτώνται από δυο ακέραιες μεταβλητές n1, n2

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Κριτήριο Nyquist: 2. ΣΗΜΑΤΑ Τεχνική μετατροπής αναλογικού σήματος σε διακριτού χρόνου «Βλέπουμε το σήμα» και κρατάμε τις τιμές του σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές, οι οποίες αν ισαπέχουν τότε μιλάμε για ομοιόμορφη δειγματοληψία Κριτήριο Nyquist: Δυο δείγματα ανά κύκλο είναι απαραίτητα για να μην αλοιωθεί η πληροφορία

ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΝ Η/Υ 2. ΣΗΜΑΤΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΝ Η/Υ Ποιό θα είναι το μήκος της λέξης ώστε να μην χαθεί πληροφορία? -Αριθμητική σταθερής υποδιαστολής: Αποθηκεύονται οι τιμές εκφρασμένες στο δυαδικό σύστημα. Άρα η λέξη αποτελείται από 0 και 1 δηλαδή τους συντελεστές των δυνάμεων του 2 Για αρνητικούς αριθμούς το πρώτο bit από αριστερά είναι 1

Επιλογή ADC: Έστω Δυναμική περιοχή 2. ΣΗΜΑΤΑ Αριθμός κβαντικών επιπέδων για μη συμμετρική αντιστοίχιση Διακριτική ικανότητα-απόσταση Σταθμών κβαντιστή Στη συνέχεια γίνεται αποκοπή ή στρογγύλοποίηση

2. ΣΗΜΑΤΑ

Αριθμητική κινητής υποδιαστολής Αποφυγή υπερχείλισης/υποχείλιση 2. ΣΗΜΑΤΑ Αριθμητική κινητής υποδιαστολής Αποφυγή υπερχείλισης/υποχείλιση Παριστάνει τους αριθμούς με ένα δεκαδικό μέρος (mantissa) και έναν εκθέτη (exponent). To πρώτο ψηφίο είναι το πρόσημο και το αμέσως επόμενο συνήθως 1.

2. ΣΗΜΑΤΑ Έστω υπολογιστής των 32bit. Τα πρώτα 24 διατίθενται για την αναπαράσταση του δεκαδικού μέρους και τα επόμενα 6 για τον εκθέτη. ΕΝΩ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗ [-231, 231-1] ΓΙΑ q=1, Για q διάφορο του 1 θυσιάζουμε ένα μέρος της δυναμικής περιοχής

PCM (Pulse Code Modulation) 2. ΣΗΜΑΤΑ PCM (Pulse Code Modulation)

x(t)=1/2(cos(7t+t)+cos(7t-t)) =1/2(cos(8t)+cos(6t)) 2.ΣΗΜΑΤΑ Αν x(t)=cos(7t)cos(t). Nα βρεθεί η συχνότητα δειγματοληψίας ώστε να μη συμβεί αναδίπλωση. x(t)=1/2(cos(7t+t)+cos(7t-t)) =1/2(cos(8t)+cos(6t)) H μεγαλύτερη συχνότητα είναι 8/2π άρα fs μεγαλύτερη ή ίση του 8/π