Πηγή: Βιοστατιστική [Β.Γ. Σταυρινός, Δ.Β. Παναγιωτάκος] ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Πηγή: Βιοστατιστική [Β.Γ. Σταυρινός, Δ.Β. Παναγιωτάκος]

Συσχέτιση Συσχέτιση είναι η μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βαθμού συμμεταβλητότητας των μεταβλητών. Αν οι μεταβλητές είναι δύο τότε έχουμε απλή συσχέτιση, ενώ αν είναι περισσότερες έχουμε την πολλαπλή συσχέτιση.

Συσχέτιση Για τυχαίο δείγμα από ζεύγη τιμών Xi, Yi προκύπτει ότι: Η συσχέτιση των μεταβλητών είναι γραμμική αν τα σημεία Xi,Yi συγκεντρώνονται πάνω ή κοντά σε μια ευθεία ή μη γραμμική αν τα σημεία (Xi,Yi) συγκεντρώνονται πάνω ή κοντά σε μια καμπύλη ανωτέρου βαθμού. Η συσχέτιση μπορεί να είναι θετική ή αρνητική Η συσχέτιση είναι πλήρης όταν εκφράζεται από ακριβή μαθηματική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών Δεν υπάρχει συσχέτιση αν η διασπορά των σημείων στο επίπεδο δεν παρουσιάζει κάποια εμφανή τάση συγκέντρωσης γύρω από κάποια ευθεία ή καμπύλη

Μέτρηση των Μεταβλητών Μεταβλητές σε «φυσική κλίμακα» Μεταβλητές σε «κλίμακα διαστήματος» Μεταβλητές σε «κλίμακα διάταξης» Μεταβλητές «ποιοτικές»

Επιλογή Μεθόδου Μέτρησης του Βαθμού Συσχέτισης Δύο Μεταβλητών

Επιλογή Μεθόδου Μέτρησης του Βαθμού Συσχέτισης Δύο Μεταβλητών Παρατηρήσεις: Η διερεύνηση της συσχέτισης δύο ποσοτικών μεταβλητών δεν απαιτεί να γνωρίζουμε ποια από τις δύο είναι το αίτιο και ποια είναι το αποτέλεσμα Ο έλεγχος Χ2 χρησιμοποιείται όχι για τον έλεγχο της συσχέτισης αλλά για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας δύο ποιοτικών μεταβλητών X και Y Η συσχέτιση μιας ποιοτικής και μιας ποσοτικής μεταβλητής εξετάζεται μόνο όταν έχει προσδιορισθεί ποια μεταβλητή είναι το αίτιο και ποια το αποτέλεσμα.

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης Ο συντελεστής Pearson είναι η ενδεδειγμένη εκτιμήτρια (στατιστική) για τη μέτρηση γραμμικής συσχέτισης δύο μεταβλητών Χ και Y που έχουν μετρηθεί σε φυσική κλίμακα ή σε κλίμακα διαστήματος.

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης Αλγεβρικός Υπολογισμός του μέτρου της θετικής συσχέτισης των Χ Y: Υπολογισμός μέσων και αποκλίσεων των X,Y και γινόμενο συντεταγμένων xi, yi Άθροισμα Γινομένων xiyi Διόρθωση του Αθροίσματος

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης Υπολογίζουμε τους μέσους των παρατηρήσεων του δείγματος και εκφράζουμε τις τιμές xi και yi των μεταβλητών Χ και Υ σε αποκλίσεις από τους αντίστοιχους μέσους τους Το άθροισμα των γινομένων xi,yi μας δείχνει (ενδεικτικά) αν υπάρχει θετική ή αρνητική γραμμική συσχέτιση. Η χρησιμοποίηση του αθροίσματος Σxiyi ως αλγεβρικού μέτρου της γραμμικής συσχέτισης των Χ και Υ παρουσιάζει μειονεκτήματα

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης Μειονεκτήματα αθροίσματος Σxiyi: εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης των μεταβλητών Χ και Υ

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson: Μέτρηση Απλής Γραμμικής Συσχέτισης Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε: rXY=0 Αν rXY=0 τότε οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ δεν είναι οπωσδήποτε ανεξάρτητες Γενικά αν δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες είναι και ασυσχέτιστες (γραμμικά ή όχι) ενώ αν είναι ασυσχέτιστες δεν είναι αναγκαία και ανεξάρτητες.

Ιδιότητες του Συντελεστή Συσχέτισης Pearson

Ιδιότητες του Συντελεστή Συσχέτισης Pearson Ο συντελεστής συσχέτισης του Pearson προσδιορίζει “αποκλειστικά το μέτρο της γραμμικής συσχέτισης” των X,Y Η τιμή του συντελεστή του Pearson δεν προσδιορίζει την ευθεία γύρω από την οποία συγκεντρώνονται τα σημεία του διαγράμματος Ο συντελεστής Pearson δίνει το μέτρο της γραμμικής συσχέτισης των Χ και Υ αλλά δεν προσδιορίζει την αιτιώδη σχέση που τις συνδέει

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων Ο συντελεστής συσχέτισης των Χ και Υ στους πληθυσμούς ορίζεται με τον παραπάνω τύπο, όπου xi* yi* είναι οι τυποποιημένες τιμές των Xi Yi και Ν το μέγεθος του πληθυσμού όλων των δυνατών ζευγών (Xi,Yi)

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέστε ότι μετρήθηκε η συστολική αρτηριακή πίεση σε ένα τυχαίο δείγμα 18 παντρεμένων ζευγαριών και ότι ο συντελεστής συσχέτισης rXY του Pearson βρέθηκε ίσος με 0,32. Να ελέγξετε την υπόθεση ότι δεν υπάρχει γραμμική συσχέτιση μεταξύ της συστολικής αρτηριακής πίεσης των συζύγων (α=0,05).

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων Σε περίπτωση που αναμένουμε μη μηδενική γραμμική συσχέτιση μεταξύ των Χ,Υ και ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε πόσο ισχυρή είναι η συσχέτιση (ρXY>0.5) χρησιμοποιούμε τον έλεγχο συσχέτισης του Fisher κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού Fisher

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων Παράδειγμα 9.2 Σε μια μελέτη διερευνήθηκε…

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων Σε περίπτωση που θέλουμε να ελέγξουμε αν η διαφορά μεταξύ των συντελεστών συσχέτισης δύο χαρακτηριστικών Χ και Υ είναι στατιστικά σημαντική σε δύο διαφορετικούς πληθυσμούς, χρησιμοποιούμε και πάλι το μετασχηματισμό του Fisher αλλά με διαφορετική (κατάλληλη) στατιστική.

Ο Συντελεστής ρXY στους πληθυσμούς Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέστε ότι μετρήσαμε τη συστολική πίεση του αίματος σε δύο διαφορετικές στιγμές που απέχουν 5 έτη μεταξύ τους και βρέθηκε ότι: ο συντελεστής συσχέτισης r1=0,65 για n1=48 άνδρες ηλικίας 30-49 ετών ο συντελεστής συσχέτισης r2=0,52 για n2=42 άνδρες ηλικίας 50-69 ετών Να συγκριθούν οι συντελεστές ρ1 και ρ2 στους αντίστοιχους πληθυσμούς

Συντελεστής Συσχέτισης Spearman Γενικά ο συντελεστής Spearman είναι λιγότερο χρήσιμος από τον συντελεστή Pearson όταν και οι δύο μεταβλητές είναι κανονικές και περισσότερο χρήσιμος όταν η μία ή και οι δύο μεταβλητές είναι μη κανονικές.

Συντελεστής Συσχέτισης Spearman

Συντελεστής Συσχέτισης Spearman Παρατηρήσεις: Η διάταξη των τιμών Χi της Χ και Yi της Υ μπορεί να είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. Η τιμή της r’XY δε θα μεταβληθεί Γενικά θεωρούμε ότι οι Χ και Υ είναι συνεχείς μεταβλητές και επομένως η πιθανότητα να συμπέσουν δύο τιμές τους είναι μηδέν. Αποδεικνύεται ότι: Ε(r’XY) = ρ’XY V(r’XY) = n-1

Συντελεστής Συσχέτισης Spearman

Συντελεστής Συσχέτισης Spearman

Συντελεστής Συσχέτισης Spearman Βασικοί Τύποι