Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Ένας γράφος G είναι δένδρο αν: 1.Είναι συνδεδεμένος & δεν έχει κύκλους 2.Είναι συνδεδεμένος & έχει n-1 πλευρές 3.Δεν έχει κύκλους & έχει n-1 πλευρές 4.Είναι συνδεδεμένος κατά ελάχιστο τρόπο 5.Αν υπάρχει ένα μόνο μονοπάτι μεταξύ δύο οποιονδήποτε ακμών

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Πόρισμα: Δάσος με n ακμές και k συνιστώσες έχει n-k πλευρές Θεώρημα: Ένα δένδρο έχει 1 ή 2 κέντρα Εκκεντρικότητα: μέγιστη απόσταση μιας ακμής k από εκκρεμή ακμή Κέντρο: ακμή με μικρότερη εκκεντρικότητα Ακτίνα: η εκκεντρικότητα του κέντρου Διάμετρος: το μήκος του μακρότερου μονοπατιού Ακτίνα ≤ διάμετρος

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ποσοτικά Στοιχεία m=n-1 Δάσος με k συνιστώσες: n-k=m S: d 1,d 2,d 3,…,d n ε T, αν d i θετικός αριθμός και ισχύει: Σ i=1..n d i =2(n-1) [αναγκαία, όχι ικανή συνθήκη] Σε κάθε δένδρο υπάρχουν τουλάχιστον 2 εκκρεμείς ακμές (2m=2n-2) Το πλήθος των δένδρων με n κόμβους και βαθμούς d 1,d 2,d 3,…,d n είναι: (n-2)!/[(d 1 -1)! (d 2 -1)!… (d n -1)!]

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (1) 1857 Cayley C k H 2k+2, # ισομερών n=k+2k+2=3k+2 m=½(Σd(v))=½(4k+2k+2)=3k+1 Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών δένδρων με επιγραφές είναι n n-2 (10 αποδείξεις)

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (2) Απόδειξη Cayley: –Αριθμούμε τις ακμές του δένδρου με 1,2,...,n. Βρίσκουμε την εκκρεμή ακμή με τη μικρότερη επιγραφή, έστω a 1. Τη διαγράφουμε και θέτουμε b 1 τη γειτονική της. Έτσι, μετά από n-2 διαγραφές, το δένδρο εκφυλίζεται σε πλευρά. Το δένδρο ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο από την ακολουθία b 1, b 2,..., b n-2, όπου 1 ≤ b i ≤ n-2 και 1 ≤ i≤ n-2=> n n-2

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (3) Άσκηση: 4,3,5,3,4,5 Θεώρημα: Ο αριθμός διακριτών ριζομένων δένδρων είναι n n-2

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (3) Τελικά ποιά είναι τα ισομερή; –Π.χ. C 4 H 10 (δε φαίνονται τα άτομα του Η) –n-βουτάνιοισοβουτάνιο

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (4) Θεώρημα: ο αριθμός απλών γράφων με επιγραφές και n ακμές είναι 2 n(n-1)/2 Απόδειξη: –( k 0 )+( k 1 )+...+( k k )= 2 k –K=n(n-1)/2 Σ i=0..k ( k i )= 2 k

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (1) Θεώρημα: Κάθε συνδεδεμένος γράφος έχει τουλάχιστον ένα ζευγνύον δένδρο Ερώτηση: Πόσα ζευγνύοντα δένδρα έχει ένας γράφος; Θεώρημα: Σε πλήρη γράφο Kn υπάρχουν n n-2 διακριτά ζευγνύοντα μονοπάτια

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (2) Θεώρημα: (Matrix-tree theorem) – Kirchoff –Α: πίνακας γειτνίασης –C: πίνακας βαθμών –C-A: διαφορά πινάκων –B ij =(C-A) ij : ελάσσων πίνακας –(-1) i+j |B ij |: συμπαράγοντας –Ο αριθμός των ζευγνυόντων δένδρων ισούται με συμπαράγοντα

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (3) Θεώρημα: Σε διμερή γράφο Κm,n ο αριθμός των διακριτών ζευγνυόντων δένδρων είναι m n-1 n m-1 Θεώρημα: K 2,n  n2 n-1

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (4) Θεώρημα: K 3,n  n3 n-1 3 n-2 6n(n-1)/2=n(n-1) 3 n-1 a

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (5) Θεμελιώδες κύκλωμα: –Ένας κύκλος που δημιουργείται από ένα ζευγνύον δένδρο και μια χορδή Σύνολο χορδών: m-n+1 G=T U T Αριθμός θεμελιωδών κυκλωμάτων: m-n+1 Κυκλικές εναλλαγές  παράγουμε όλα τα ζευγνύοντα δένδρα

Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (6) Απόσταση ζευγνυόντων δένδρων –dist(T i, T j ) = dist(T j, T i ) –dist(T i, T j ) ≥ 0, εκτός αν dist(T i, T i )=0 –dist(T i, T j ) ≤ dist(T j, T u )+ dist(T u, T j ) Κεντρικό: λέγεται ένα ζευγνύον δένδρο T 0 αν max(dist(T 0, T j )) ≤ max(dist(T, T j )), για κάθε Τ ζευγνύον δένδρο του G Ζυγισμένα δένδρα: Εύρεση ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Prim & Kruskal