Θεώρημα Διαγνωσιμότητας Θεωρία Υπολογισμού Θεώρημα Διαγνωσιμότητας

Υπάρχουν μη-διαγνώσιμες γλώσσες η ΑΤΜ που είναι όμως αναγνωρίσιμη!

Υπάρχουν μη-αναγνωρίσιμες γλώσσες;

Μη-αναγνωρίσιμες γλώσσες Μια γλώσσα είναι διαγνώσιμη αν υπάρχει μηχανή Turing που να την διαγιγνώσκει. Μια γλώσσα είναι αναγνωρίσιμη αν υπάρχει μηχανή Turing που να την αναγνωρίζει. Μια γλώσσα είναι συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη αν το συμπλήρωμά της είναι αναγνωρίσιμη γλώσσα.

Θεώρημα: Μια γλώσσα είναι διαγνώσιμη ανν είναι αναγνωρίσιμη και συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Άρα μια γλώσσα δεν είναι διαγνώσιμη τότε είτε αυτή δεν είναι αναγνωρίσιμη είτε το συμπλήρωμά της δεν είναι αναγνωρίσιμο.

Θεώρημα: Αν L διαγνώσιμη τότε οι L και L αναγνωρίσιμες. προφανές

Θεώρημα: Αν οι L και L αναγνωρίσιμες, τότε η L διαγνώσιμη

Πως κατασκευάζουμε τη μηχανή που διαγιγνώσκει την L; Βασική Ιδέα Απόδειξης Πως κατασκευάζουμε τη μηχανή που διαγιγνώσκει την L; Τ = ‘Για είσοδο w 1. Προσομοίωσε την Μ με είσοδο το w. Αν αποδέχεται, αποδέξου. 2. Προσομοίωσε την Μ’ με είσοδο το w. Αν αποδέχεται, απόρριψε. Πρόβλημα: Αν η Μ εγκλωβιστεί στο w δεν θα μεταβούμε ποτέ στο 2ο βήμα

Πως κατασκευάζουμε τη μηχανή που διαγιγνώσκει την L; Βασική Ιδέα Απόδειξης Πως κατασκευάζουμε τη μηχανή που διαγιγνώσκει την L; Έστω M μηχανή Turing που αναγνωρίζει την L, και M’ μηχανή Turing που αναγνωρίζει L Με είσοδο w, while true Εκτέλεσε t μεταβάσεις του Μ στην w. Αν αποδέχεται, αποδέξου. Εκτέλεσε t μεταβάσεις του Μ’ στην w. Αν αποδέχεται, απόρριψε.

Η γλώσσα ΑΤΜ είναι μη αναγνωρίσιμη. Η γλώσσα ΑΤΜ είναι αναγνωρίσιμη αλλά δεν είναι διαγνώσιμη. Η γλώσσα ΑΤΜ είναι μη αναγνωρίσιμη.

Μ1 και Μ2 είναι ΜΤ τ.ω. L(Μ1)= L1 και L(Μ2)= L2 Βρείτε Μ1’ τ.ω. L(Μ1’)= L1 Μ τ.ω. L(M) = L1UL2 Μ τ.ω. L(M) = L1∩L2

Κεφάλαιο 5ο Αναγωγές

Μέθοδος Αναγωγής Αναγωγή είναι η μετατροπή κάποιου προβλήματος σε κάποιο άλλο η οποία γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η λύση του δεύτερου προβλήματος να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του πρώτου. Λέμε ότι το πρόβλημα Α μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα Β αν υπάρχει αναγωγή από το Α στο Β, – δηλαδή, αν μπορούμε να μετατρέψουμε το πρόβλημα Α στο Β έτσι ώστε η επίλυση του Β να επιλύει και το Α.

Μέθοδος Αναγωγής – Παράδειγμα Πρόβλημα Α: Υπολόγισε την περίμετρο ενός τετραγώνου Πρόβλημα Β: Μέτρα το μήκος της πλευράς x ενός τετραγώνου και επέστρεψε 4x. Το πρόβλημα Α μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα Β: – Αν λύσω το Β τότε θα έχω λύσει και το Α Επιπλέον: – Το Α δεν είναι δυσκολότερο πρόβλημα από το Β αφού το Β προσφέρει μια λύση για αυτό.

Μέθοδος Αναγωγής Αν ένα πρόβλημα Α μπορεί να «αναχθεί» σε ένα πρόβλημα Β τότε: Αν το Β είναι επιλύσιμο τότε και το Α είναι επιλύσιμο Αν το Α είναι μη επιλύσιμο τότε και το Β είναι μη επιλύσιμο Σημείωση: Αν το Β δεν είναι επιλύσιμο αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι και το Α δεν είναι επιλύσιμο (δυνατόν να υπάρχει άλλη λύση για Α).

Συγκεκριμένα Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) • Περάτωσης • Κενότητα • Ισοδυναμίας Απεικονιστικές Αναγωγές (5.3)

Επανάληψη Η Καθολική Μηχανή Turing U παίρνει ως εισόδους ένα πρόγραμμα Μ και μια λέξη x και προσομοιώνει το Μ στο x. To πρόγραμμα M ορίζεται επίσης ως μια TM!

Επανάληψη

ΠΕΡΑΤΩΣΗΤΜ = {<Μ, w> | η Μ είναι μια ΤΜ που τερματίζει στη λέξη w} Είναι μη διαγνώσιμη. Αν η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗΤΜ είναι διαγνώσιμη, τότε, η γλώσσα ΑΤΜ πρέπει επίσης να είναι διαγνώσιμη. Από το Θεώρημα του Turing γνωρίζουμε ότι το δεύτερο δεν ισχύει. Επομένως η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗΤΜ είναι μη διαγνώσιμη.

ΠΕΡΑΤΩΣΗΤΜ Έστω ότι είναι διαγνώσιμη Τότε, υπάρχει ΜΤ, R, η οποία την διαγιγνώσκει Πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε την R για να διαγνώσουμε την ΑΤΜ