Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για να δείξουμε ότι οι κανονικές γλώσσες - εκφράσεις και τα πεπερασμένα αυτόματα είναι ισοδύναμα σε εκφραστική δυνατότητα έχουμε να.

Παρουσίαση με θέμα: "Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για να δείξουμε ότι οι κανονικές γλώσσες - εκφράσεις και τα πεπερασμένα αυτόματα είναι ισοδύναμα σε εκφραστική δυνατότητα έχουμε να."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για να δείξουμε ότι οι κανονικές γλώσσες - εκφράσεις και τα πεπερασμένα αυτόματα είναι ισοδύναμα σε εκφραστική δυνατότητα έχουμε να δείξουμε ότι οι ΚΕ εκφράζονται με ένα ΠΑ είτε ΜΠΑ και ότι ένα ΜΠΑ εκφράζεται με μία ΚΕ. ΟΙ αποδείξεις είναι κατασκευαστικές με την έννοια ότι δίνεται αλγόριθμος ο οποίος αλγόριθμος υλοποιεί την κατασκευή. Για να δείξουμε ότι οι ΚΕ εκφράζονται από ΠΑ αρκεί να δείξουμε: Οι βασικές ΚΕ εκφράζονται από ΠΑ και οι πράξεις που ορίζουν τις ΚΕ εκφράζονται από αυτόματα. Η έκφραση «μία έκφραση Ε εκφράζεται από αυτόματα» ερμηνεύεται ότι υπάρχει αυτόματο που δέχεται ακριβώς αυτή την έκφραση και καμία άλλη. Θεωρία Υπολογισμού

2 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για τις κανονικές εκφράσεις {a}, e, και την κενή γλώσσα τα ακόλουθα αυτόματα αναγνωρίζουν τις γλώσσες αυτές. Θεωρία Υπολογισμού

3 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για την ένωση δύο ΚΕ το αυτόματο που αναγνωρίζει την ένωση των δύο γλωσσών αναγνωρίζει την γλώσσα που αντιστοιχεί στην ένωση των ΚΕ δηλ. αντιστοιχεί στην ένωση των ΚΕ. Για την παράθεση ΚΕ το αυτόματο που αναγνωρίζει την παράθεση των δύο γλωσσών αναγνωρίζει την γλώσσα που αντιστοιχεί στην παράθεση των ΚΕ δηλ. αντιστοιχεί στην παράθεση των ΚΕ. Για την κλειστότητα Kleene το αυτόματο που αναγνωρίζει την κλειστότητα Kleene μίας γλώσσας αναγνωρίζει την γλώσσα που αντιστοιχεί στην κλειστότητα Kleene μίας ΚΕ δηλ. αντιστοιχεί στην κλειστότητα Kleene της ΚΕ. Θεωρία Υπολογισμού

4 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για την ΚΕ (a + b)*a b a έχουμε τα εξής στάδια κατασκευής του αυτόματου που αντιστοιχεί στην ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

5 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

6 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

7 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για να εκφράσουμε από ένα ΠΑ Μ την ΚΕ που αντιστοιχεί κατασκευάζουμε ένα νέο ΠΑ Μ’ και το μετασχηματίζουμε σε ένα ΠΑ με δύο καταστάσεις και μία ακμή. Η ακμή θα έχει σαν όνομα την ΚΕ που αντιστοιχεί στο ΠΑ. Δηλ. κατά τον μετασχηματισμό οι μεταβάσεις θα αντιστοιχούν σε συμβολοσειρές αντί ατομικά σύμβολα. Προσθέτουμε μία νέα αρχική κατάσταση. Δεν υπάρχει μετάβαση από κάποια κατάσταση προς την νέα αρχική κατάσταση αλλά μία e μετάβαση από αυτή προς την αρχική κατάσταση του Μ. Προσθέτουμε νέα τελική κατάσταση ώστε από την νέα τελική κατάσταση να μην υπάρχουν μεταβάσεις προς άλλη κατάσταση, αλλά μόνο e μεταβάσεις από τις τελικές του Μ. Θεωρία Υπολογισμού

8 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

9 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Αν υπάρχουν δύο μεταβάσεις από μία κατάσταση σε μία άλλη με τις εκφράσεις (ατομικά σύμβολα είτε όχι) a, b τις αντικαθιστούμε με την ΚΕ a + b. Δηλ. μετασχηματίζουμε το ΠΑ ώστε να έχουμε μία μόνο μετάβαση από κάθε κατάσταση σε κάποια άλλη κατάσταση διαβάζοντας ίσως πολύπλοκη ΚΕ και όχι ατομικά σύμβολα. Στο νέο αυτόματο απαλείφουμε μία μία τις καταστάσεις εκτός από την τελική και την αρχική και αντικαθιστούμε τις μεταβάσεις με μεταβάσεις με άλλες ΚΕ. Θεωρία Υπολογισμού

10 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για να απαλείψουμε μία κατάσταση πχ την 2 αντικαθιστούμε τις εκφράσεις στις μεταβάσεις μέσω της 2 με άλλες ΚΕ. Αν απο την 3 στην 1 έχουμε (χωρίς άλλη ενδιάμεση κατάσταση ) μεταβάσεις με την ΚΕ e3, και μετάβαση από την 3 στην 1 μέσω της 2 με ΚΕ για την μετάβαση από την 3 στην 2 την e4, από την 2 στην 2 μετάβαση με KE την e1 και από την 2 στην 1 μετάβαση με την e2, τότε από την 3 στην 1 μέσω της 2 έχουμε μετάβαση με την ΚΕ e3+ e4 e1* e2. Απαλείφοντας τις καταστάσεις εκτός της αρχικής και της τελικής καταλήγουμε σε ΚΕ η οποία αντιστοιχεί στο ΠΑ. Θεωρία Υπολογισμού

11 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

12 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Στο αυτόματο στην προηγούμενη διαφάνεια απαλείφουμε την 1. Έχουμε τις διαδρομές 2 -> 1 -> 3 με 01, 2 -> 1 -> 2 με 00, 3 -> με 0, 3 -> 1 -> 2 με 10, 3 -> 1 -> 3 με 11. Στο νέο ΠΑ από την 3 στην 2 έχουμε μετάβαση με την ΚΕ , από την 2 στην 2 έχουμε μετάβαση με , διατηρούμε τις παλιές μεταβάσεις από μία κατάσταση στην ίδια και προσθέτουμε τις νέες για τις καταστάσεις που δεν απαλείφουμε. Θεωρία Υπολογισμού

13 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

14 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Μεταβάσεις s -> f με (00+1)*, s -> 3 με 1,
3 -> f με e, 3 -> 2 -> f με (10+0)*(00+1)*e= (10+0)*(00+1)* 3 -> 2 -> 3 με 01(00+1)*(10+0) Θεωρία Υπολογισμού

15 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Θεωρία Υπολογισμού

16 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Εναλλακτικά έχουμε την εξής μέθοδο:
Για να βρούμε την ΚΕ η οποία αντιστοιχεί σε ένα ΠΑ αρκεί για κάθε ζευγάρι καταστάσεων p, q να βρούμε τις συμβολοσειρές που οδηγούν από την p στην q. H KE που αντιστοιχεί είναι οι συμβολοσειρές που οδηγούν από την αρχική κατάσταση σε κάποια τελική. Για δύο καταστάσεις p, q ορίζουμε την έκφραση R(p, q , i) να είναι οι συμβολοσειρές που οδηγούν από την p στην q οι οποίες μεταβάσεις χρησιμοποιούν ενδιάμεσες καταστάσεις με δείκτη το πολύ i. Αρχικά έχουμε R(p, q , 0)= { a | δ(p,a ) = q για p≠q, R(p, q , 0)= { a | δ(p,a ) = p U {e} για p=q. Για κ>0 έχουμε R(p, q , κ+1) = R(p, q , κ) + R(p, κ+1, κ) R(κ+1, κ+1 , κ)* R( κ+1, κ,q). Θεωρία Υπολογισμού

17 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ H ερμηνεία της τελευταίας έκφρασης είναι ότι για να έχουμε μετάβαση από την p στην q χρησιμοποιώντας καταστάσεις με δείκτη το πολύ κ+1, είτε έχουμε μετάβαση από την p στην q χρησιμοποιώντας καταστάσεις με δείκτη το πολύ κ, είτε έχουμε μετάβαση από την p στην κ+1 χρησιμοποιώντας καταστάσεις με δείκτη το πολύ κ, είτε έχουμε μετάβαση από την κ+1 στην κ+1 χρησιμοποιώντας καταστάσεις με δείκτη το πολύ κ, και τέτοιες καταστάσεις μπορούν αν επαναληφθούν κάποιες φορές, και τελικά είτε έχουμε μετάβαση από την κ+1 στην q χρησιμοποιώντας καταστάσεις με δείκτη το πολύ κ. Θεωρία Υπολογισμού

18 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για το αυτόματο που ακολουθεί ακολουθώντας την μεθοδολογία με τις εκφράσεις R(I,j,k) να υπολογίσετε τις κανονικές εκφράσεις R(I,j,k) για k=0,1,2. Δεν είναι ανάγκη να βρείτε την γλώσσα που αναγνωρίζει. Για το αυτόματο κατασκευάζουμε τον ακόλουθο πίνακα με τις κανονικές εκφράσεις Rijkσύμφωνα με το αυτόματο και την θεωρία που αναπτύχθηκε. Θεωρία Υπολογισμού

19 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ k=0 k=1 k=2 R11k ε R111= R110+ R110 (R110)*R110= ε
(00)* R12k R121= R120+ R110 (R110)*R120= 0 0(00)* R13k 1 R131= R110+ R110 (R110)*R130= 1 0*1 R21k R211= R210+ R210 (R110)*R110= 0 R22k R221= R220+ R210 (R110)*R120= ε+00 R23k R231= R230+ R210 (R110)*R130= 1+01 R31k  R311= R310+ R310 (R110)*R110=  (0+1)(00)*0 R32k 0+1 R321= R320+ R310 (R110)*R120= 1+0 (0+1)(00)* R33k R331= R330+ R310 (R110)*R130= ε ε+(0+1)0*1 Θεωρία Υπολογισμού

20 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Χρησιμοποιήσαμε κάποιες ταυτότητες που ισχύουν σε κανονικές εκφράσεις για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις, πχ R221= R220+ R210 (R110)*R120= 0ε*0+ε= ε+00, R132= R131+ R121 (R221)*R230= 1+ 0(ε+00)*(1+01). Ισχύει (ε+00)*=(00)*, 1+01=(ε+0)1, έχουμε R132= 1+0(00)*)(ε+1)1. Ισχύει (00)*(ε+0)= 0*. Δηλ. 1+ 0(00)*(ε+1)1 = 1+00*1=0*1. Θεωρία Υπολογισμού

21 Ισοδυναμία ΠΑ - ΚΕ Για την τελική έκφραση R123+R133 (η οποία δεν απαιτείται) δεν είναι ανάγκη να υπολογίσουμε την τελευταία στήλη και έχουμε: R123=R122+R132(R332)*R322=0*1(ε+(0+1)0*1)*(0+1)(00)*+0(00)* = 0*1((0+1))0*1)*(0+1)(00)* +0(00)*, R133=R132+R132(R332)*R332=0*1+0*1(ε+(0+1)0*1)*(ε+(0+1)0*1)= 0*1((0+1)0*1)*. Τελικά R123+ R133=0*1((0+1)0*1)*(ε+(0+1)(00)*)+0(00)*. Στον παραπάνω για να εκφράσουμε την γλώσσα που αντιστοιχεί στο αυτόματο δεν είναι ανάγκη να συμπληρώσουμε όλα τα στοιχεία του πίνακα, αλλά μόνο όσα αντιστοιχούν σε τερματικές καταστάσεις (με αναδρομή δηλαδή). Θεωρία Υπολογισμού