Φροντιστήριο – Συμπληρωματικές Ασκήσεις Μεταθέσεις, Συνδυασμοί, Πιθανότητες

Ορισμός Πείραμα είναι μία φυσική διαδικασία η οποία έχει έναν αριθμό αποτελεσμάτων που μπορούν να παρατηρηθούν.

Πιο σύνθετα πειράματα Θεωρήστε ένα σύνθετο πείραμα που «αποτελείται» από δύο πειράματα που μπορούν να εκτελεστούν με διαφορους τρόπους. Ξεχωρίστε δύο περιπτώσεις Μονάχα ένα από τα δύο πειράματα εκτελείται. Και τα δυο πειράματα αυτά μπορούν να εκτελεστούν μαζί. Υποθέσετε ότι το ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και το άλλο έχει n πιθανά αποτελέσματα. Μας ενδιαφέρει το σύνολο των αποτελεσμάτων του σύνθετου αυτού πειράματος.

Κανόνας του γινομένου Αν ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και ένα άλλο πείραμα έχει n πιθανά αποτελέσματα, τότε υπάρχουν m*n πιθανά αποτελέσματα όταν γίνονται και τα δύο αυτά πειράματα

Κανόνας του αθροίσματος Αν ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και ένα άλλο πείραμα έχει n πιθανά αποτελέσματα, τότε υπάρχουν m + n πιθανά αποτελέσματα όταν γίνεται ακριβώς ένα από τα δύο αυτά πειράματα

Γενίκευση για ακόμη πιο σύνθετα πειράματα ... Μ πειράματα Το κάθε ένα με ν1, ν2, ..., νm αποτελέσματα αντίστοιχα. Εκτέλεση σύμφωνα με τις προηγούμενες περιπτώσεις... Γενίκευση των δύο κανόνων ...

Ορισμός Όταν λέμε ότι μεταθέτουμε r από n διακριτά αντικείμενα εννοούμε ότι διατάσσουμε r από τα n αυτά αντικείμενα με κάποια σειρά. Η διάταξη r από n αντικείμενα ανάγεται στην πλήρωση r θέσεων με r από n αντικείμενα

Ορισμός (συνέχεια) Υπάρχουν n επιλογές αντικειμένου για την πρώτη θέση n - 1 επιλογές αντικειμένου (από τα υπόλοιπα n-1 αντικείμενα) για τη δεύτερη θέση . n – r +1 επιλογές αντικειμένου (από τα υπόλοιπα n -r + 1 αντικείμενα) για τη θέση r.

Γενικά Σχόλια Όταν πρόκειται να λύσετε ένα πρόβλημα συνδυαστικής, χρειάζεται να προσέξτε Εάν έχετε συλλογή από διακριτά αντικείμενα ή εάν τα αντικείμενα είναι όμοια Εάν η συλλογή αποτελείται από άπειρα αντικείμενα Εάν για την κατασκευή του ζητούμενου ενδιαφέρει η σειρά (κατάταξη, συγκεκριμένη θέση) των αντικειμένων ή όχι. Εάν επιτρέπονται οι επαναλήψεις αντικειμένων ή όχι Εάν ναι, ελέγχετε εάν στο σύνολο που έχετε δημιουργήσει υπάρχουν επαναλήψεις που θα πρέπει να αφαιρεθούν

Ορισμός (συνέχεια) Συνεπώς υπάρχουν n * (n - 1)*…*(n – r + 1) τρόποι για τη διάταξη r από n αντικείμενα στη σειρά. Ο αριθμός των τρόπων για να μετατεθούν r από τα n αντικείμενα είναι P(n,r) = n* (n-1) * … * (n –r +1) = n! / (n-r)!

Παράδειγμα Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι δεκαδικοί αριθμοί που δεν περιέχουν επαναλαμβανόμενα ψηφία;

Παράδειγμα (συνέχεια) Αφού αυτό είναι ένα πρόβλημα διάταξης 4 από τα 10 ψηφία 0,1,2,..,9, θα έχουμε P(10,4) = 5040 Προσέξετε όμως: από αυτούς τους 5040 αριθμούς κάποιοι έχουν μηδενικό στην πρώτη θέση. Αυτούς πρέπει να τους αφαιρέσομε μια και ψάχνομε τετραψήφιους αριθμούς. Αυτοί είναι συνολικά 9 * 8 * 7 = 504. Συνεπώς, 5040 – 504 = 4536 από αυτούς δεν έχουν μηδενικό στην πρώτη θέση ούτε επαναλαμβανόμενα ψηφία

Ορισμός Στα πλαίσια της μετάθεσης αντικειμένων, λέμε ότι αν υπάρχουν n διακριτά είδη αντικειμένων με άπειρη προμήθεια από κάθε είδος, τότε υπάρχουν n r τρόποι να διαταχθούν r αντικείμενα από τα n αυτά είδη αντικειμένων, γιατί υπάρχουν n επιλογές αντικειμένου για την πρώτη θέση, n επιλογές αντικειμένου για τη δεύτερη θέση, …, και n επιλογές αντικειμένου για τη θέση r.

Ορισμός λέμε ότι υπάρχουν Στα πλαίσια της μετάθεσης αντικειμένων, κ! / (q1! q2!...qν!) τρόποι για να διατάξουμε κ αντικείμενα, από τα οποία q1 είναι ενός πρώτου είδους, q2 είναι ενός δεύτερου είδους,… , και qν είναι ενός ν-οστού είδους .

Γενικότερα Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν r μπάλες του ίδιου χρώματος σε n αριθμημένα κουτιά είναι Η ποσότητα συμβολίζεται επίσης και C(n,r)

Θέμα Πόσα ονόματα μεταβλητών υπάρχουν που αποτελούνται είτε από ένα γράμμα είτε από ένα γράμμα ακολουθούμενο από ένα δεκαδικό ψηφίο; 16

Λύση Υποθέτουμε ότι χρησιμοποιούμε το αγγλικό αλφάβητο που έχει 26 γράμματα. Όταν έχει μόνο ένα γράμμα υπάρχουν 26 επιλογές. Όταν έχει ένα γράμμα και ψηφίο, υπάρχουν 26 επιλογές για το γράμμα και 10 επιλογές για το ψηφίο, 260 επιλογές συνολικά. Άρα υπάρχουν 26+260 = 286 δυνατά ονόματα μεταβλητών 17

Θέμα Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να μετατεθούν τα γράμματα ‘a’, ’a’, ‘a’, ’a’, ’a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’ έτσι ώστε να μην υπάρχουν γειτονικά ‘a’; 18

Λύση Ο μόνος τρόπος είναι να έχουμε a _ a _ a _ a _ a Οπότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τις διατάξεις των τεσσάρων γραμμάτων ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’. Υπάρχουν 4!/ (4 - 4)! = 4! = 24 διατάξεις 19

Θέμα Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα 10 ψηφία 0,1,2,…,9 εάν (α) οι επαναλήψεις επιτρέπονται (β) οι επαναλήψεις ΔΕΝ επιτρέπονται (γ) το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 0 και επαναλήψεις ΔΕΝ επιτρέπονται 20

Λύση (α) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να είναι ένα από τα 9 ψηφία: 1,2,..,9 (το 0 δεν επιτρέπεται) Το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο ψηφίο μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία. Επομένως υπάρχουν συνολικά 9 * 10 * 10 * 10 = 9000 τετραψήφιοι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν. 21

Λύση (συνέχεια) (β) Το πρώτο ψηφίο έχει 9 επιλογές (το 0 δεν επιτρέπεται). Το δεύτερο ψηφίο έχει 9 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός αυτού που θα χρησιμοποιηθεί για το πρώτο ψηφίο). Το τρίτο ψηφίο έχει 8 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός των δύο ψηφίων που θα χρησιμοποιηθούν για τα πρώτα δύο ψηφία). 22

Λύση (συνέχεια) Το τέταρτο ψηφίο έχει 7 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός των τριών που χρησιμοποιήθηκαν για τα πρώτα τρία ψηφία) Επομένως, οι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν συνολικά είναι: 9 * 9 * 8 * 7 = 4536 23

Λύση (συνέχεια) (γ) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με 9 διαφορετικούς τρόπους, το δεύτερο με 8 διαφορετικούς τρόπους, το τρίτο με 7 διαφορετικούς τρόπους. Επομένως οι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν είναι: 9 * 8 * 7 = 504 24

Cumulative Distribution Function •F(.) of the random variable X ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό β, -∞< β< ∞ Απο F(b)=P{X≤b} Ιδιοτητες: –F(b) αυξάνεται μονοτονικά με το b –limb→∞F(b)=F(∞)=1 –limb→-∞F(b)=F(-∞)=0

Γεωμετρική κατανομή Έστω ότι έχουμε ανεξάρτητες δοκιμές σε ένα πείραμα, και η καθεμία έχει πιθανότητα επιτυχίας p. Το εκτελούμε μέχρι να έχουμε την πρώτη επιτυχία. Εάν Χ είναι ο αριθμός των πειραμάτων μέχρι την πρωτη επιτυχία, τοτε το Χ λεμε ότι ακολουθεί μια γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p. Η συνάρτηση της πιθανότητας (probability mass function) δίνεται από τον τυπο p(n)=P(X=n)=(1-p)n-1p, n=1,2,…

Bernoulli Random Variable Έστω Ότι έχουμε ένα πείραμα που το αποτέλεσμα του μπορεί να είναι “επιτυχία” ή “αποτυχία” Ότι Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή, ίση με 1 όταν το αποτέλεσμα είναι επιτυχία και ίση με 0 όταν το αποτέλεσμα είναι αποτυχία. Ότι p είναι η πιθανότητα το πείραμα να είναι επιτυχία, 0≤p≤1 Τότε η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται από τις σχέσεις p(0)=P(X=0)=1-p p(1)=P(X=1)=p Μια τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται Bernoulli r.v. εάν η συνάρτηση πιθανότητας της δίνεται από τις παραπάνω σχέσεις για κάποιο p ∈(0,1)

Binomial Random Variables Έστω ότι εκτελούμε n ανεξάρτητα πειράματα, το καθένα καταλήγει σε επιτυχία με πιθανότητα p και σε αποτυχία με πιθανότητα 1-p. Εάν Χ αντιπροσωπεύει τον αριθμό επιτυχιών που μπορούν να συμβούν σε n δοκιμές, τοτε το Χ λέγεται Binomial random variable με παραμέτρους (n,p). Η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται απο τον τύπο

Παράδειγμα Έστω ότι ρίχνομε 4 αμερόληπτα νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα να έχομε 2 κορώνες και 2 γράμματα?

Αναμενόμενη Τιμή μιας Τυχαίας Μεταβλητής Ε[Χ]=Σ{x: p(x)>0} x*p(x) Χ: τυχαία μεταβλητή Είναι ο “weighted” μέσος όρος, θεωρώντας όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει αυτή η μεταβλητή Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή όταν ρίξομε ένα ζάρι? p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6 E[X]=1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=7/2

Παράδειγμα Ας υποθέσομε οτι: Η μετάδοση ενός πακέτου εμπεριέχει λάθη με πιθανότητα 0.1. H πιθανότητα λάθους σε ένα πακέτο δεν εξαρτάται απο τις πιθανότητες να υπάρχει λάθος στις μεταδόσεις άλλων πακέτων. Εάν μεταδίδονται 3 πακέτα, ποια είναι η πιθανότητα 1 το πολύ να μεταδοθεί με λάθος?

Quiz Έστω ότι: μια μηχανή αεροπλάνου παρουσιάζει πρόβλημα στη διάρκεια μιας πτήσης με πιθανότητα 1-p, ανεξάρτητη από τις άλλες μηχανές ένα αεροπλάνο μπορεί να έχει μια ομαλή πτήση όταν οι τουλάχιστον 50% μηχανές του λειτουργούν σωστά. Για ποιες τιμές του p ένα αεροπλάνο με 4 κινητήρες είναι προτιμότερο ενός με 2 κινητήρες?

Λύση (Quiz) Η πιθανότητα ότι ένα αεροπλάνο τεσσάρων κινητήρων θα πραγματοποιήσει μια επιτυχημένη πτήση είναι: Η αντίστοιχη πιθανότητα για ένα αεροπλάνο 2 κινητήρων είναι:

Θέμα Υπάρχει 30% πιθανότητα να βρέξει σε μία συγκεκριμένη μέρα. Α) Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μια βροχερή μέρα σε μια επταήμερη περίοδο; Β) Δεδομένου ότι υπάρχει τουλάχιστον μία βροχερή μέρα, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες;

Λύση Α) Υπάρχει 30% πιθανότητα να βρέξει σε μία μέρα. Αρα η πιθανότητα να μη βρέξει μια μέρα είναι 0.7 Ποια η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μια βροχερή μέρα σε 7 μέρες? P(μια τουλάχιστον βροχερή μέρα) = 1-P(να μην υπάρχει καμία βροχερή μέρα) = 1- 0.7*0.7*…*0.7 = 1-0.77

Λύση (συνέχεια) Β) Πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες δεδομένου ότι υπήρχε τουλάχιστον 1 βροχερή μέρα. Εστω Α = { υπάρχει μία τουλάχιστον βροχερή μέρα } Β = { υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες } Η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες δεδομένουν ότι υπάρχει τουλάχιστον μια είναι η δεσμευμένη πιθανότητα P(B|A) = P(B∩A)/P(A)

Λύση (συνέχεια) Όμως P(B ∩ A) = 1 – P(να μην υπάρχει καμία βροχερή μέρα) – P( να υπάρχει ακριβώς 1 βροχερή μέρα) = 1 – 0.77 - 0.3*0.7 6 Και η P(A) = 1-0.77 από πριν Άρα P(B|A) = (1 – 0.77 - 0.3*0.7 6)/ (1 – 0.77)

θέμα Έστω ένα ασύρματο δίκτυο στο οποίο οι συσκευές μπορούν να έχουν πρόσβαση σε Ν διαφορετικά κανάλια Το κάθε κανάλι είναι σε διαφορετική συχνότητα και είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα Υπάρχουν M τύποι συσκευών (M≤N) Υποθέσετε οτι κάθε τύπος συσκευών αποφασίζει να επιλέξει ένα κανάλι στο οποίο θα στέλνει τα μηνύματα Ας ονομάσομε πρόγραμμα την αντιστοιχία του κάθε διαφορετικού τύπου σε μία συγκεκριμένη συχνότητα Το πρόγραμμα δηλαδή δηλώνει σε ποιά συχνότητα/κανάλι ακούνε οι συσκευές του κάθε τύπου: πχ 1ο κανάλι χρησιμοποιείται από τις συσκευές τρίτου τύπου

Ερώτηση: Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός διαφορετικών προγραμμάτων που μπορούν να γίνουν? Απάντηση: ΝΜ

Ερώτηση: Εάν στο κάθε κανάλι μπορεί να ακούει μόνο ένας τύπος συσκευών, τότε πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να γίνουν? Απάντηση: Ν*(Ν-1)*(Ν-2)*…*(Ν-Μ+1) =Ν!/ (Ν-Μ)!

Ας κάνομε τώρα τις παρακάτω νέες υποθέσεις: υπάρχουν κ1 συσκευές πρώτου τύπου, κ2 συσκευές δεύτερου τύπου, και κΜ συσκευές του Μ-οστού τύπου η κάθε συσκευή μπορεί να επιλέξει οποιοδήποτε κανάλι, ανεξάρτητα από τις άλλες συσκευές (ίδιου ή διαφορετικού τύπου) στο κάθε κανάλι ακούει μονάχα μια συσκευή Εαν το πρόγραμμα μετάδοσης δηλώνει σε ποιά κανάλια ακούει ο κάθε τύπος συσκευών (πχ 1ο κανάλι χρησιμοποιείται από συσκευή/(ές) τρίτου τύπου), τοτε πόσα διαφορετικά συνολικά προγράμματα έχομε ? Απάντηση: Ν!/ (κ1!κ2!...κΜ!)