Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διακριτά Μαθηματικά Ι Διάλεξη 4η Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση)

Γεννήτριες Συναρτήσεις Παράδειγμα χρήσης γεννητριών συναρτήσεων: Να υπολογιστεί το άθροισμα χρησιμοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις. Το άθροισμα εξαρτάται από τις μεταβλητές n, t, j. Θεωρώ την ακολουθία ως προς j, και γ.σ. την . Είναι γνωστό όμως ότι η ακολουθία έχει γ.σ. την και σχετίζεται με την ως εξής:

Γεννήτριες Συναρτήσεις Παράδειγμα χρήσης γεννητριών συναρτήσεων (συν.): Υπολογίζουμε την ακολουθία ως εξής: Έστω η ακολουθία της γ.σ. και η ακολουθία της γ.σ. . Ισχύει: . Όμως η είναι η ακολουθία της μετατοπισμένη αριστερά κατά μια θέση, δηλαδή . Ομοίως για την ισχύει . Τελικά:

Γεννήτριες Συναρτήσεις ως Απαριθμητές Έστω σ(j) μια συλλογή από συνδυαστικά αντικείμενα που εξαρτώνται από την παράμετρο j. Ψάχνω να βρω το πλήθος των αντικειμένων της συλλογής, |σ(j)|. Για τον σκοπό αυτό, σχηματίζω το άθροισμα για όλες τις δυνατές συλλογές. Το πλήθος που αναζητώ θα εμφανιστεί σαν συντελεστής του xj στο άθροισμα αυτό.

Παραδείγματα Απαριθμητών Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2: Να βρεθεί ο αριθμός των συνδυασμών j αντικειμένων που επελέγησαν από n αντικείμενα. Έστω σ(j) η επιλογή j αντικειμένων από n. Ψάχνω το |σ(j)|. Πράγματι, ο συντελεστής του xj μας δίνει τον αριθμό των τρόπων που μπορώ να σχηματίσω μια συλλογή σ(j) (μια επιλογή j αντικειμένων από n αντικείμενα). Να βρεθεί ο αριθμός των τοποθετήσεων j μη διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές, έτσι ώστε κάθε υποδοχή να δεχτεί τουλάχιστον ένα αντικείμενο.

Παραδείγματα Απαριθμητών (συν.) Παράδειγμα 2 (συν.): Για να σχηματίσω το άθροισμα, αξιοποιώ το γεγονός ότι οι δυνάμεις του x αντιστοιχούν στις δυνατότητες που έχω για τα αντικείμενα σε κάθε υποδοχή. Π.χ. Το xr στην πρώτη υποδοχή αντιστοιχεί στην δυνατότητα να τοποθετήσω r αντικείμενα σ’αυτήν την υποδοχή, κ.ο.κ. . Εφόσον αυτές οι δυνατότητες υπάρχουν για κάθε υποδοχή, τοποθετώ τον απαριθμητή κάθε υποδοχής σε μια παρένθεση και πολλαπλασιάζω: Αν γράψουμε το παραπάνω αποτέλεσμα σαν άθροισμα ως προς j, ο συντελεστής του xj θα μας δώσει το ζητούμενο.

Παραδείγματα Απαριθμητών (συν.) Παράδειγμα 3: Να βρεθεί ο αριθμός των τοποθετήσεων j μη διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές, έτσι ώστε κάθε υποδοχή να δεχτεί άρτιο αριθμό αντικειμένων. Εφόσον απαιτώ άρτιο αριθμό αντικειμένων, η πρώτη υποδοχή μπορεί να δεχτεί κανένα, δύο, τέσσερα, κ.ο.κ. αντικείμενα, και ομοίως οι υπόλοιπες. Επομένως έχω: Όμοια με το προηγούμενο παράδειγμα βρίσκω τον συντελεστή του xj.

Παραδείγματα Απαριθμητών (συν.) Παράδειγμα 4: Να βρεθεί με πόσους τρόπους μπορούμε να μετατρέψουμε σε «ψιλά» ένα νόμισμα του ενός ευρώ. Μικρότερα νομίσματα του ενός ευρώ είναι το μονόλεπτο, το δίλεπτο, το πεντάλεπτο, το δεκάλεπτο, το εικοσάλεπτο, και το πενηντάλεπτο. Τα συμβολίζω με μ, δ, π, δκ, ε και πν αντίστοιχα, και αποτελούν τα συνδυαστικά αντικείμενα που θα χρησιμοποιήσω. Θα φτιάξω συλλογές μ’αυτά και θα μετρήσω πόσες συλλογές μπορώ να φτιάξω που να έχουν άθροισμα 100 λεπτά (=1 €): μονόλεπτα δίλεπτα πενηντάλεπτα Ο συντελεστής του μας δίνει αυτό που ζητάμε.

Εκθετικοί Απαριθμητές Όταν έχουμε διατάξεις, χρησιμοποιούμε εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις σαν απαριθμητές. Παράδειγμα 1: Να βρεθεί ο αριθμός των διατάξεων με επανάληψη j αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα.

Εκθετικοί Απαριθμητές (συν.) Παράδειγμα 2: Να βρεθεί ο αριθμός των τρόπων να ρίξουμε k διακεκριμένα αντικείμενα σε n διακεκριμένες υποδοχές έτσι ώστε κάθε υποδοχή να δεχθεί τουλάχιστον ένα αντικείμενο.

Εκθετικοί Απαριθμητές (συν.) Παράδειγμα 3: Να βρεθεί ο αριθμός των τρόπων να διαμερίσω ένα σύνολο από k διακεκριμένα αντικείμενα σε n υποσύνολα μη κενά και ανά δυο ξένα. Αν θεωρήσουμε ότι τα n υποσύνολα αντιστοιχούν σε n υποδοχές, τότε οι απαιτήσεις για τα υποσύνολα να είναι ανά δυο ξένα και μη κενά μετατρέπονται στους περιορισμούς για τις υποδοχές να είναι διακεκριμένες και να έχουν τουλάχιστον ένα αντικείμενο αντίστοιχα. Επομένως, ο αριθμός που ψάχνουμε είναι το αποτέλεσμα του προηγούμενου παραδείγματος (παρ. 2), με την διαφορά ότι αφού δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των στοιχείων μέσα στα υποσύνολα (ή των αντικειμένων στις υποδοχές αντίστοιχα), θα πρέπει να διαιρέσουμε με n!. Άρα:

Εκθετικοί Απαριθμητές (συν.) Παράδειγμα 3 (συν.): Ο προηγούμενος αριθμός λέγεται και αριθμός Stirling δευτέρου είδους και συμβολίζεται με: Για τους αριθμούς Stirling δευτέρου είδους ισχύει ο παρακάτω αναδρομικός τύπος: