Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 1 Mηχανική πετρωμάτων Στην εφαρμογή που παρουσιάζεται στην ενότητα αυτή, η γενική γνώση περιλαμβάνει τον φυσικό νόμο ο οποίος διέπει την κατανομή τάσεων- παραμορφώσεων στην περιοχή παραμόρφωσης που αναπτύσσεται γύρω από μία κυκλική εκσκαφή, σε ένα συμπαγές ελαστικό πέτρωμα υποκείμενο σε υδροστατικό πεδίο πιέσεων. Η ακτινική μετατόπιση στην ζώνη παραμόρφωσης δίνεται από τον φυσικό νόμο υπό μορφή διαφορικής εξίσωσης. Η πολύπλοκη όμως φύση της δομής του πετρώματος, συχνά καθιστά δύσκολο τον ακριβή καθορισμό όλων των παραμέτρων του φυσικού νόμου. Κατά την έννοια αυτή, είναι προτιμότερο να αναζητήσουμε μία στοχαστική λύση στο πρόβλημα της παραμόρφωσης. Στην εφαρμογή που παρουσιάζεται στην ενότητα αυτή, η γενική γνώση περιλαμβάνει τον φυσικό νόμο ο οποίος διέπει την κατανομή τάσεων- παραμορφώσεων στην περιοχή παραμόρφωσης που αναπτύσσεται γύρω από μία κυκλική εκσκαφή, σε ένα συμπαγές ελαστικό πέτρωμα υποκείμενο σε υδροστατικό πεδίο πιέσεων. Η ακτινική μετατόπιση στην ζώνη παραμόρφωσης δίνεται από τον φυσικό νόμο υπό μορφή διαφορικής εξίσωσης. Η πολύπλοκη όμως φύση της δομής του πετρώματος, συχνά καθιστά δύσκολο τον ακριβή καθορισμό όλων των παραμέτρων του φυσικού νόμου. Κατά την έννοια αυτή, είναι προτιμότερο να αναζητήσουμε μία στοχαστική λύση στο πρόβλημα της παραμόρφωσης.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 2 Το πρόβλημα Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την ακτινική μετατόπιση u(r) γύρω από μία κυκλική εκσκαφή εντός ελαστοπλαστικού πετρώματος, όπου ο φυσικός νόμος εκφράζεται ως: Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την ακτινική μετατόπιση u(r) γύρω από μία κυκλική εκσκαφή εντός ελαστοπλαστικού πετρώματος, όπου ο φυσικός νόμος εκφράζεται ως:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 3 Τα μεγέθη Όπου u(r) η ακτινική μετατόπιση (σε mm) εντός της ζώνης παραμόρφωσης η οποία είναι θετική κατά την φορά προς τα έξω από το κέντρο της στοάς, r η απόσταση από το κέντρο (σε m), p η υδροστατική πίεση που δρα στο πέτρωμα (σε kPa), p 1 η πίεση στην επαφή μεταξύ ελαστικής και ρωγματισμένης ζώνης, G το μέτρο ελαστικότητας (σε kPa), f μία πειραματική σταθερά διαστολής και r e η ακτίνα της διεπαφής μεταξύ ελαστικής και ρωγματισμένης ζώνης. Όπου u(r) η ακτινική μετατόπιση (σε mm) εντός της ζώνης παραμόρφωσης η οποία είναι θετική κατά την φορά προς τα έξω από το κέντρο της στοάς, r η απόσταση από το κέντρο (σε m), p η υδροστατική πίεση που δρα στο πέτρωμα (σε kPa), p 1 η πίεση στην επαφή μεταξύ ελαστικής και ρωγματισμένης ζώνης, G το μέτρο ελαστικότητας (σε kPa), f μία πειραματική σταθερά διαστολής και r e η ακτίνα της διεπαφής μεταξύ ελαστικής και ρωγματισμένης ζώνης.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 4 Χτίσιμο τυχαιότητας Για μπορέσουν να συμπεριληφθούν οι τυχαίες αλληλεπιδράσεις, η εξίσωση θεωρείται στοχαστική, οπότε η u(r) θεωρείται χωρική ΤΣ της ακτινικής απόστασης (παρατηρήστε ότι οι τυχαίες μεταβλητές παριστάνονται με χοντρά γράμματα). Για να είναι η εξίσωση συνεπής, το λιγότερο μία από τις “γνωστές” παραμέτρους πρέπει να είναι επίσης ΤΜ, έτσι το G θεωρείται ως κανονική ΤΜ με μέση τιμή m G και διασπορά σ G 2. Η επιλογή αυτής της μεταβλητής γίνεται βέβαια με εμπειρικά κριτήρια. Για μπορέσουν να συμπεριληφθούν οι τυχαίες αλληλεπιδράσεις, η εξίσωση θεωρείται στοχαστική, οπότε η u(r) θεωρείται χωρική ΤΣ της ακτινικής απόστασης (παρατηρήστε ότι οι τυχαίες μεταβλητές παριστάνονται με χοντρά γράμματα). Για να είναι η εξίσωση συνεπής, το λιγότερο μία από τις “γνωστές” παραμέτρους πρέπει να είναι επίσης ΤΜ, έτσι το G θεωρείται ως κανονική ΤΜ με μέση τιμή m G και διασπορά σ G 2. Η επιλογή αυτής της μεταβλητής γίνεται βέβαια με εμπειρικά κριτήρια.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 5 Περισσότερη τυχαιότητα Η τιμή στην οριακή συνθήκη r = r e θεωρείται επίσης ΤΜ με μέση τιμή m re και διασπορά σ re 2. Αυτή η ΤΜ θεωρείται επίσης ανεξάρτητη της G. Με τον τρόπο αυτό, οι δύο ΤΜ r e και G παράγουν ολόκληρη την ΤΣ u(r) όπως φαίνεται στο σχήμα. Η τιμή στην οριακή συνθήκη r = r e θεωρείται επίσης ΤΜ με μέση τιμή m re και διασπορά σ re 2. Αυτή η ΤΜ θεωρείται επίσης ανεξάρτητη της G. Με τον τρόπο αυτό, οι δύο ΤΜ r e και G παράγουν ολόκληρη την ΤΣ u(r) όπως φαίνεται στο σχήμα.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 6 Ένας μετασχηματισμός Αντικαθιστώντας στην εξίσωση την γνωστή παράμετρο f = 2 και θέτοντας: Αντικαθιστώντας στην εξίσωση την γνωστή παράμετρο f = 2 και θέτοντας: η λύση γίνεται: η λύση γίνεται:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 7 Ροπές έως 2 ης τάξης Από τις προηγούμενες σχέσεις μπορούμε να υπολογίσουμε την μέση τιμή και διασπορά της ΤΣ u(r) σε οποιοδήποτε σημείο r εντός της ζώνης παραμόρφωσης καθώς και την συνδιασπορά μεταξύ δύο σημείων r i και r j, χρησιμοποιώντας πιθανότητες. Από τις προηγούμενες σχέσεις μπορούμε να υπολογίσουμε την μέση τιμή και διασπορά της ΤΣ u(r) σε οποιοδήποτε σημείο r εντός της ζώνης παραμόρφωσης καθώς και την συνδιασπορά μεταξύ δύο σημείων r i και r j, χρησιμοποιώντας πιθανότητες.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 8 Η πρότερη κατανομή μπορεί τώρα να υπολογιστεί η πρότερη από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των μετατοπίσεων μεταξύ δύο σημείων r i και r j ως: μπορεί τώρα να υπολογιστεί η πρότερη από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των μετατοπίσεων μεταξύ δύο σημείων r i και r j ως:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 9 Μετα- πρότερο στάδιο Ακολουθεί το μετα-πρότερο στάδιο, όπου η ειδική γνώση συγκεντρώνεται και αξιολογείται. Στην περίπτωσή μας, η γνώση αυτή αποτελείται από επιτόπου μετρήσεις ακτινικών μετατοπίσεων γύρω από την στοά, καθώς και τιμές άλλων πειραματικών παραμέτρων που δίνονται στον Πίνακα Ακολουθεί το μετα-πρότερο στάδιο, όπου η ειδική γνώση συγκεντρώνεται και αξιολογείται. Στην περίπτωσή μας, η γνώση αυτή αποτελείται από επιτόπου μετρήσεις ακτινικών μετατοπίσεων γύρω από την στοά, καθώς και τιμές άλλων πειραματικών παραμέτρων που δίνονται στον Πίνακα

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 10 Ύστερο στάδιο Τελικά, στο ύστερο στάδιο, η γενική και η ειδική γνώση συνδυάζονται με στόχο τον υπολογισμό της δεσμευμένης κατανομής πιθανότητας των μετατοπίσεων μεταξύ δύο σημείων r i και r j f s (u i /u j =u) δεδομένης της τιμής στο δεύτερο ως: Τελικά, στο ύστερο στάδιο, η γενική και η ειδική γνώση συνδυάζονται με στόχο τον υπολογισμό της δεσμευμένης κατανομής πιθανότητας των μετατοπίσεων μεταξύ δύο σημείων r i και r j f s (u i /u j =u) δεδομένης της τιμής στο δεύτερο ως:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 8.3) 11 Αποτελέσματα Υπάρχουν δύο διαθέσιμες μετρήσεις μετατοπίσεων: μία στο τοίχωμα της στοάς 5 m από το κέντρο που δίνει -175 mm και μία στα 8 m από το κέντρο που δίνει -93 mm. Το πρώτο αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί ως δεδομένο, ενώ το δεύτερο ως σημείο ελέγχου. Υπάρχουν δύο διαθέσιμες μετρήσεις μετατοπίσεων: μία στο τοίχωμα της στοάς 5 m από το κέντρο που δίνει -175 mm και μία στα 8 m από το κέντρο που δίνει -93 mm. Το πρώτο αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί ως δεδομένο, ενώ το δεύτερο ως σημείο ελέγχου. Τα αριθμητικά αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήμα Τα αριθμητικά αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήμα