Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 5: Επιπεδικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Είναι δυνατό να συνδεθούν τρεις κατοικίες με ΔΕΗ, ΟΤΕ και ΕΥΑΘ χωρίς να διασταυρωθούν οι γραμμές παροχής? Ένας γράφος G λέγεται επίπεδος αν δύο οποιεσδήποτε ακμές του G συναντώνται μόνο σε προσκείμενες τερματικές κορυφές. Ένας γράφος G λέγεται επιπεδικός ή ενσωματώσιμος στο επίπεδο αν είναι ισομορφικός προς έναν επίπεδο γράφο. Κ3,3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Ενσωμάτωση στο επίπεδο: Ένα διάγραμμα του γράφου G στο επίπεδο S είναι μία εικόνα στο επίπεδο μιας συνεχούς συνάρτησης του μοντέλου του G στον ευκλείδιο χώρο R3, έτσι ώστε: - να μην συμπίπτουν δύο κορυφές στο ίδιο σημείο του επιπέδου - για κάθε ακμή του G υπάρχει κάποια 1-1 αντιστοιχία με το μονοπάτι μεταξύ των εικόνων των τερματικών σημείων στο επίπεδο - οι εικόνες των ακμών στο επίπεδο δε διασταυρώνονται με άλλες κορυφές εκτός από τις τερματικές Μία ενσωμάτωση του γράφου G στο επίπεδο S είναι ένα διάγραμμα του G χωρίς ακμές που τέμνονται. Γίνεται ή όχι?? Γράφος K4: επιπεδικός και επίπεδοι (ενσωματώσεις στο επίπεδο) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Καμπύλη Jordan: Μία συνεχής γραμμή στο επίπεδο που δεν τέμνει τον εαυτό της. Κλειστή καμπύλη Jordan: Μία καμπύλη Jordan της οποίας τα δύο άκρα συμπίπτουν Θεώρημα Jordan: Δοθείσης μιας κλειστής καμπύλης Jordan L και δύο σημείων της, τότε κάθε καμπύλη Jordan που ενώνει τα σημεία αυτά, είτε βρίσκεται εντός της L, είτε εκτός, είτε τέμνει την L. Δοθέντος ενός επίπεδου γράφου G και ενός σημείου x, ονομάζουμε περιοχή του G γύρω από το x, το σύνολο των σημείων του επιπέδου που μπορούν να ενωθούν με το x μέσω μιας καμπύλης Jordan που δεν τέμνει τις ακμές του G. r είναι το πλήθος των περιοχών ενός επίπεδου γράφου Εξωτερική, άπειρη, απεριόριστη, εξώτερη περιοχή Αν ένας γράφος παρασταθεί με διαφορετικό τρόπο, τότε μπορεί κάποια άλλη περιοχή να καταστεί εξωτερική. Εξωτερικός επιπεδικός λέγεται ένας γράφος αν όλες του οι κορυφές βρίσκονται σε μία περιοχή. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler & Kuratowski (1) Θεωρήματα Euler (1752) Αν G είναι ένας συνδεδεμένος επίπεδος γράφος, τότε ισχύει: n+r=m+2 (επαγωγή) Πόρισμα: Αν G είναι ένας επίπεδος γράφος με k συνιστώσες, τότε ισχύει, n+r=m+k+1 Μέγιστος (τριγωνοποιημένος) επίπεδος γράφος (=εισάγοντας μία νέα ακμή γίνεται μη επίπεδος) Όσο υπάρχουν περιοχές που περικλείονται από κύκλο μήκους περισσότερο από τρία, μπορούν να εισαχθούν νέες ακμές. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler & Kuratowski (2) Λήμμα: Για κάθε απλό επίπεδο συνδεδεμένο γράφο ισχύει: όπου d(ri) ο αριθμός των ακμών που περικλείουν την i περιοχή με n(j) το πλήθος των κορυφών βαθμού j Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο γράφο με περιφέρεια μήκους G ισχύει η σχέση: (g-2)m<=g(n-2) Πόρισμα:Για κάθε μέγιστο επίπεδο γράφο με n>=3 ισχύει: m=3n-6 Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο γράφο με n>=3 ισχύει: m<=3n-6 Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο διγράφο με n>=3, ισχύει: m<=2n-4 Πόρισμα: Κάθε επίπεδος γράφος περιέχει τουλάχιστο μία κορυφή v με d(v)<=5 Θεώρημα: Ο γράφος Κ5 δεν είναι επίπεδος Θεώρημα: Ο διγράφος Κ3,3 δεν είναι επίπεδος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler & Kuratowski (3) Ο Κ5 είναι ο μη επίπεδος γράφος με το μικρότερο αριθμό κορυφών και ο Κ3,3 ο μη επίπεδος γράφος με το μικρότερο αριθμό ακμών. Δύο γράφοι λέγονται ομοιομορφικοί αν ο ένας μπορεί να προκύψει από τον άλλο με μία ή περισσότερες υποδιαιρέσεις ακμών. Θεώρημα Kuratowski (1930): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν δεν περιέχει υπογράφο ομοιομορφικό προς τους Κ5 και Κ3,3 Θεώρημα: Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνο αν δεν περιέχει υπογράφο συστελώσιμο προς τους συστελώσιμο προς τους Κ5 και Κ3,3 Θεώρημα: Ένας γράφος είναι ενσωματώσιμος στην επιφάνεια σφαίρας, αν είναι ενσωματώσιμος στο επίπεδο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ενσωμάτωση Σε Πολλές Επιφάνειες (1) Αν ένας γράφος δεν είναι επίπεδος, ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός επιπέδων που απαιτούνται για την ενσωμάτωση του γράφου; Πάχος (thickness): ελάχιστος αριθμός επιπέδων για την ενσωμάτωση του γράφου. Εφαρμογή: Εκτύπωση ηλεκτρικών κυκλωμάτων σε μία μη αγώγιμη επιφάνεια, όπου δεν επιτρέπεται διασταύρωση των αγωγών Ισχύουν: t(επίπεδος G)=1, t(K5)=t(K3,3)=2, t(K9)=3 Πόρισμα: t(G)>=ém/(3n-6)ù Πόρισμα: t(διγράφου G)>= ém/(2n-4)ù Πόρισμα: t(Kn)>= ë(n+7)/6û θεώρημα: Το πάχος ενός πλήρους συνδεδεμένου γράφου Kn με n>=3 κορυφές ικανοποιεί τη σχέση ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ενσωμάτωση Σε Πολλές Επιφάνειες (2) Αριθμός διασταυρώσεων (crossing number): ελάχιστος αριθμός τομών ενός μη επίπεδου γράφου (όχι περισσότερες από δύο ακμές σε μια διασταύρωση) Ισχύει: cr(επίπεδος G)=0 cr(K5)=t(K3,3)=1 Θεώρημα: cr(K6)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ενσωμάτωση Σε Πολλές Επιφάνειες (3) Θεώρημα: Ο αριθμός των διασταυρώσεων ενός πλήρους συνδεδεμένου γράφου Kn και ενός πλήρους συνδεδεμένου διγράφου Kn1,n2 ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ενσωμάτωση Σε Πολλές Επιφάνειες (4) Αριθμός διάσπασης (splitting number): ελάχιστος αριθμός διασπάσεων μέχρι να γίνει ο γράφος επίπεδος Ισχύει: s(K5)=1, s(K6)=2, s(K7)=3 Θεώρημα: Ο αριθμός διασπάσεων ενός πλήρους συνδεδεμένου γράφου Kn και ενός πλήρους συνδεδεμένου διγράφου Kn1,n2 ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Δυαδικότητα (1) Σε κάθε περιοχή του G (διακεκομμένη) τοποθετείται μία κορυφή του G* (λευκή κουκίδα). Δύο κορυφές του G* ενώνονται με μία ακμή για κάθε κοινή ακμή που έχουν οι αντίστοιχες περιοχές του G. Για κάθε γέφυρα του G εισάγεται στο G* ένας βρόχος στην κορυφή που αντιστοιχεί στην περιοχή που περικλείει τη γέφυρα. Έτσι, κάθε ακμή του G* διασταυρώνεται μόνο με μία αντίστοιχη ακμή του G χωρίς να τέμνει καμία άλλη του G. Γεωμετρικός δυαδικός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Δυαδικότητα (2) Ο γεωμετρικός δυαδικός ενός γράφου G δεν είναι μοναδικός, γιατί από μία διαφορετική ενσωμάτωση του G στο επίπεδο θα παραχθεί διαφορετικός γεωμετρικός δυαδικός. Ένας γράφος G’ λέγεται συνδυαστικός δυαδικός ενός γράφου G αν και μόνο αν υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των ακμών τους, έτσι ώστε οι ακμές ενός κύκλου του G’ να αντιστοιχούν σε έναν κύκλο αποκοπτουσών ακμών του G. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος έχει έναν αντίστοιχο επίπεδο συνδυαστικό δυαδικό γράφο. Άρα, ο γεωμετρικός δυαδικός ενός επίπεδου γράφου ταυτίζεται με το συνδυαστικό δυαδικό του. Θεώρημα: Ο γεωμετρικός του γεωμετρικού είναι ο αρχικός (G*)*=G ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Δυαδικότητα (3) Θεώρημα (Whitney): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνο αν έχει συνδυαστικό δυαδικό. Αυτοδυαδικός Κ4 (ομοιομορφικός προς το δυαδικό του) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (1) Εκτός από το Θεώρημα Euler και το Θεώρημα Kuratowski υπάρχουν άλλα δύο κριτήρια Πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S (complete set of basic circuits) είναι ένα σύνολο κύκλων όπου: Κάθε κύκλος του συνόλου S μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου μερικών ή όλων των κύκλων του συνόλου S, και Κανείς κύκλος του συνόλου S δεν μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου άλλων κύκλων εκτός S Θεώρημα (MacLane 1937): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνον αν υπάρχει ένα πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S, τέτοιο ώστε καμιά ακμή του γράφου να μην εμφανίζεται σε περισσότερους από δύο κύκλους του S ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (2) Τα τρία θεωρήματα δεν δίνουν αποτελεσματικούς αλγόριθμους ελέγχου, ούτε επίπεδες αναπαραστάσεις Έστω γράφος G και υπογράφος G1. Ένα κομμάτι (piece) P ονομάζεται σχετικό (relative) προς το γράφο G1 αν είναι: Μια ακμή e που δεν ανήκει στον G1 αλλά ανήκουν οι κορυφές της Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του G-G1 συν οποιεσδήποτε ακμές προσπίπτουσες σε κορυφές της συνιστώσας Ένα κομμάτι με δύο ή περισσότερες κοινές κορυφές με τον G1 λέγεται τμήμα (segment). Δύο τμήματα είναι ασύμβατα (incompatible) αν τέμνονται ενσωματούμενα στην ίδια περιοχή του G1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (3) Ο βοηθητικός (auxiliary) γράφος έχει κορυφές που αντιστοιχούν σε κάθε τμήμα του γράφου που είναι σχετικό προς τον υπογράφο G1 και ακμές που ενώνουν τις κορυφές αν τα τμήματα είναι ασύμβατα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (4) κύκλος κομμάτια και τμήματα ασύμβατα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (5) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι επίπεδος, αν για κάθε κύκλο C του G ο βοηθητικός γράφος P(C) είναι διμερής K5 A Β Γ A Β Γ K3,3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας (1) Demoucron, Malgrange, Peruiset 1964 Προεπεξεργασία: Αν n<5, m<9, τότε ο γράφος είναι επίπεδος Αν m>3n-6, τότε ο γράφος δεν είναι επίπεδος Θεωρούμε συνδεδεμένους γράφους Θεωρούμε 2-συνδεδεμένους γράφους (block) Θεωρούμε απλούς γράφους Παράγουμε ομοιομορφικούς γράφους χωρίς κορυφές βαθμού 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας (2) Στρατηγικού αλγορίθμου DMP: να βρούμε μια ακολουθία ενσωματώσιμων υπογράφων σταδιακά μεγαλύτερων, ξεκινώντας από έναν κύκλο και προσθέτοντας τμήματα Με βάση τον κύκλο προκύπτουν τμήματα. Για κάθε τμήμα βρίσκουμε τον αριθμό των περιοχών που μπορεί να ενσωματωθεί. Αν κάποιο τμήμα ενσωματώνεται σε μία μόνο περιοχή, τότε έχει προτεραιότητα. Σε περίπτωση ισοπαλίας, τότε διαλέγουμε στην τύχη. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται το πολύ m-n+1 φορές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας (3) r2 r2 r2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας (4) Ο αλγόριθμος DMP έχει πολυπλοκότητα Ο(n4). Υπάρχει και ο αλγόριθμος Hopcroft-Tarjan (1974) με πολυπλοκότητα Ο(n) που στηρίζεται στον dfs, αλλά είναι σύνθετος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων