ΣΥΝΟΛΑ

Ποιος είναι ο ορισμός του συνόλου? Ποια είναι η σημασία των ορισμών? Γιατί μαθαίνουμε ορισμούς? Αν σκεφτεί κανείς ότι τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα, όπως τα ελληνικά ή τα αγγλικά, και ο σκοπός της είναι να διευκολύνει την επικοινωνία μας σχετικά με θέματα που δεν μπορούν να περιγραφούν με άλλη γλώσσα (τουλάχιστον όχι τόσο συνοπτικά), τότε εύκολα καταλαβαίνουμε τη σημασία των ορισμών. Οι ορισμοί είναι συμφωνίες που έχουμε κάνει ώστε να περιγράφουμε με σύντομο τρόπο κάτι πολύπλοκο. Ο σκοπός τους, λοιπόν, είναι να διευκολύνει την επικοινωνία μας. Συνεπώς, η πλήρης κατανόηση των ορισμών είναι απολύτως απαραίτητη για την εκμάθηση της μαθηματικής γλώσσας και τη σωστή εφαρμογή της. Τι ονομάζουμε σύνολο? Στα περισσότερα βιβλία θα βρείτε τον παρακάτω ορισμό: «Σύνολο είναι κάθε συλλογή από αντικείμενα». Θα μπορούσε κάποιος να ρωτήσει τι είναι συλλογή. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι συλλογή είναι μια συνάθροιση αντικειμένων. Τι είναι όμως η συνάθροιση? Και επειδή η γλώσσα είναι πεπερασμένη θα καταλήγαμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά τις ίδιες λέξεις. Άρα ο ορισμός αυτός δεν είναι σωστός ουσιαστικά. Ωστόσο, επειδή πρέπει να υπάρχουν κάποιες πρωταρχικές έννοιες από τις οποίες να ξεκινήσουμε την οικοδόμηση του πύργου των μαθηματικών, χρησιμοποιούμε σαν ορισμό μια έκφραση που μας δίνει να καταλάβουμε πάνω-κάτω το ίδιο πράγμα, και συνεπώς να μην επηρεάζεται η σωστή επικοινωνία. Τόσο πρωταρχική είναι, λοιπόν, η έννοια του συνόλου, που δεν έχει ουσιαστικό ορισμό, συμφωνούμε, όμως, να λέμε αυτό σαν ορισμό: Σύνολο είναι κάθε συλλογή από αντικείμενα ΠΡΟΣΟΧΗ! Ένα σύνολο πρέπει να είναι καλώς ορισμένο, δηλαδή τα στοιχεία του να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για το σύνολο των μεγάλων αριθμών, αφού δεν έχουμε καθορίσει ποιος αριθμός είναι μεγάλος και ποιος όχι.

Τι ονομάζουμε στοιχείο ενός συνόλου? Στοιχείο ενός συνόλου ονομάζουμε κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε ένα σύνολο.   Παραδείγματα 1)Το «σ» είναι ένα στοιχείο του συνόλου των γραμμάτων του αλφαβήτου. 2) Τα μαθηματικά είναι ένα στοιχείο του συνόλου των μαθημάτων.

Πώς παριστάνουμε ένα σύνολο? Συμβολίζουμε ένα σύνολο με ένα κεφαλαίο γράμμα π.χ. Α, Β, Γ, ... και το παριστάνουμε με έναν από τους ακόλουθους τρεις τρόπους:   α) Με αναγραφή των στοιχείων του Μέσα σε άγκιστρα, γράφω μόνο μια φορά καθένα από τα στοιχεία του συνόλου. Π.χ. το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2008 παριστάνεται ως Α = {2, 0, 8}. β) Με περιγραφή των στοιχείων του Μέσα σε άγκιστρα, γράφω την κοινή ιδιότητα των στοιχείων του συνόλου. Π.χ. το σύνολο Α = {1, 3, 5, 7, ...} με στοιχεία όλους τους περιττούς αριθμούς γράφεται ως Α = {x  , όπου x περιττός}. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το σύμβολο  σημαίνει «ανήκει». Άρα, ο συμβολισμός x   σημαίνει ότι το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο  των φυσικών αριθμών. Αντίστροφα, για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο δεν ανήκει σε κάποιο σύνολο, γράφουμε το σύμβολο . γ) Με διάγραμμα Venn Ένα σύνολο παριστάνεται με μια κλειστή καμπύλη, στο εσωτερικό της οποίας συμβολίζονται ως σημεία τα στοιχεία του συνόλου. Π.χ. το σύνολο Α = {α, β, γ, δ} συμβολίζεται και ως

Πότε δυο σύνολα είναι ίσα? Δύο σύνολα είναι ίσα όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Π.χ. τα σύνολα Α = {α, β, γ} και Β = {α, γ, β} είναι ίσα, δηλαδή Α = Β. Τα σύνολα Γ = {2, 4, 6, 8} και Δ = {2, 4, 6} δεν είναι ίσα, διότι το Γ έχει ένα στοιχείο παραπάνω.

Τι ονομάζουμε υποσύνολο ενός συνόλου? Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Συμβολίζουμε με ΑΒ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: 1) Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή για κάθε σύνολο Α ισχύει ΑΑ. 2) Αν ΑΒ και ΒΓ, τότε ΑΓ (μεταβατική ιδιότητα). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα σύνολα με τα οποία ασχολούμαστε κάθε φορά είναι συνήθως υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου που ονομάζεται βασικό σύνολο, που παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου και συμβολίζεται με Ω.

Τι ονομάζουμε κενό σύνολο? Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν περιέχει καθόλου στοιχεία, και συμβολίζεται με . Για παράδειγμα, έστω το σύνολο Α = {οι άνθρωποι με ύψος πάνω από 4 μέτρα}. Αφού δεν υπάρχει κανένας άνθρωπος τόσο ψηλός, το σύνολο Α δεν περιέχει κανένα στοιχείο, άρα Α = . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Θεωρούμε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου.

Τι είναι η ένωση δύο συνόλων και πώς τη βρίσκω? Ένωση δύο συνόλων είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων, και τα κοινά και τα μη κοινά. Αν Α και Β τα δύο σύνολα, τότε η ένωσή τους συμβολίζεται με ΑΒ. Το σύμβολο  προκύπτει από το αγγλικό Union που σημαίνει ένωση. Για παράδειγμα, αν Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5, 6}, τότε είναι ΑΒ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν γνωρίζουμε ότι ένα στοιχείο ανήκει στην ένωση δύο συνόλων, τότε συμπεραίνουμε ότι ανήκει τουλάχιστον σε ένα από τα δύο σύνολα. Δηλαδή, xAB  xA ή xB.

Τι είναι η τομή δύο συνόλων και πώς τη βρίσκω? Τομή δύο συνόλων ονομάζουμε το σύνολο των κοινών στοιχείων των δύο συνόλων, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν και στα δύο σύνολα. Αν Α και Β τα δύο σύνολα, τότε η τομή τους συμβολίζεται με ΑΒ. Για παράδειγμα, αν Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5, 6}, τότε είναι ΑΒ = {3, 4}. Αν δύο σύνολα έχουν τομή το κενό σύνολο, δηλαδή δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, τότε ονομάζονται ξένα.

xAB  xA και xB. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν ένα στοιχείο ανήκει στην τομή δύο συνόλων Α και Β, τότε ανήκει και στο σύνολο Α και στο Β, δηλαδή xAB  xA και xB.

Τι ονομάζουμε συμπλήρωμα συνόλου και πώς το βρίσκουμε? Έστω ένα βασικό σύνολο Ω και ένα υποσύνολό του Α. Συμπλήρωμα του συνόλου Α ως προς το Ω ονομάζεται το σύνολο των στοιχείων του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο Α, και συμβολίζεται με Α΄. Για παράδειγμα, αν Ω = {1, 2, 3, 4, 5} και Α = {2, 3, 4}, τότε είναι Α΄= {1, 5}.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η ένωση ενός συνόλου Α με το συμπλήρωμά του ισούται με το βασικό σύνολο Ω, δηλαδή ΑΑ΄= Ω. 2) Η τομή ενός συνόλου Α με το συμπλήρωμά του ισούται με το κενό σύνολο, δηλαδή ΑΑ΄= . 3) Το συμπλήρωμα του Ω είναι το κενό , δηλαδή Ω΄= . 4) Το συμπλήρωμα του κενού είναι το Ω, δηλαδή ()΄= Ω.

Συνεχίζεται…