ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΕΞΟΔΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΕΞΟΔΩΝ Α B C D f1 f2 f3 Συνδυαστικό Κύκλωμα Η διαδικασία ελαχιστοποίησης πραγματοποιείται σε τέσσερα βήματα: Φέρνουμε κάθε συνάρτηση σε κανονική μορφή (POS ή SOP) Παίρνουμε τους AND (για SOP) ή OR (για POS) συνδυασμούς με ένα συστηματικό τρόπο (πχ. f1·f2, f1·f3, f2·f3, ή f1+f2, f1+f3, f2+f3). Δημιουργούμε τους αντίστοιχους χάρτες Karnaugh και εξάγουμε τους κοινούς Prime Implicants (PI) Φτιάχνουμε ένα πίνακα με τους κοινούς PI Δημιουργούμε τους χάρτες των συναρτήσεων. Αφαιρούμε τους κοινούς συνδυασμούς. Εξάγουμε τους εναπομείναντες όρους. - Αν ένας κοινός συνδυασμός ανήκει σε μεγαλύτερο, τότε στο βήμα 4 παίρνουμε το μεγαλύτερο συνδυασμό για την εξαγωγή των εναπομεινάντων όρων ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποιείστε συνδυαστικό κύκλωμα με εξόδους f1(A,B,C)=Σ(0,3,4,5,6), f2(A,B,C)=Σ(1,2,4,6,7), f3(A,B,C)=Σ(1,3,4,5,6) Λύση 1. Είναι σε κανονική μορφή SOP 2. Δημιουργούμε τις συναρτήσεις f1·f2=Σ(4,6), f2·f3=Σ(1,4,6), f1·f3=Σ(3,4,5,6) BC BC BC 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 Α Α Α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f1·f2=AC΄ f2·f3=AC΄ +A΄B΄C f1·f3=A΄BC+AC΄+AB΄ Εξαγωγή των Prime Implicants ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (2) 3. Πίνακας κοινών όρων f1·f2 AC΄ f2·f3 AC΄, A΄B΄C f1·f3 A΄BC, AC΄, AB΄ 4. Σχηματίζουμε τους χάρτες των συναρτήσεων και εξάγουμε τους επιπλέον όρους BC BC BC 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 Α Α Α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f1 f2 f3 ‘Aρα: f1=AC΄+A΄BC+AB΄+B΄C΄ f2= A΄B΄C+AC΄+AB+BC΄ f3=A΄BC+AC΄+AB΄+ A΄B΄C ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΥΠΑΡΞΗ ΑΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΩΝ Ακολουθείται η ίδια διαδικασία πχ. f1(A,B,C)=Σ(0,3,7,8,9,10,14)+φ(1,5,11,12,15) f2(A,B,C)=Σ(2,4,7,8,9,11,13,15)+φ(3,5,12) Λύση: 1. Είναι σε κανονική μορφή SOP 2. Δημιουργούμε τη συνάρτηση f1·f2. Παίρνουμε και συνδυασμούς ελαχιστόρων με αδιάφορους όρους. f1·f2=Σ(3,7,8,9,11,15)+φ(5,12) CD 00 01 11 10 ΑΒ 3. Κοινοί όροι ΑΒ΄C ΄, CD 00 01 11 10 1 X 1 X 1 1 1 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΥΠΑΡΞΗ ΑΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΩΝ(2) 4. Σχηματίζουμε τους χάρτες των συναρτήσεων και εξάγουμε τους επιπλέον όρους CD CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ΑΒ ΑΒ 00 01 11 10 1 X 1 00 01 11 10 X 1 X 1 1 X 1 X X 1 X 1 1 1 1 X 1 1 1 1 f1 f2 f1=CD+AD΄+B΄C΄ f2= CD+A΄B΄C+BC΄+AC΄ * Δεν χρησιμοποιήθηκε ο AB΄C' γιατί δεν οδηγεί σε βέλτιστη υλοποίηση ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΧΑΡΤΕΣ KARNAUGH ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε χάρτες τάξης n για ελαχιστοποίηση συναρτήσεων με Ν μεταβλητές, όπου n<Ν - σε κάθε τετράγωνο του χάρτη θα αντιστοιχεί (Ν-n)-τάξης χάρτης πχ. Ελαχιστοποιείστε την f(A,B,C)=Σ(2,5,6,7) με χρήση χάρτη 2ης τάξης ελαχιστόρος A B C f C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 3 AB C 00 01 11 10 1 1 C C΄ 1 1 1 2 6 4 C 1 1 1 1 3 7 5 C 1 C 1 1 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΣΕ ΧΑΡΤΗ 2ης ΤΑΞΗΣ C C Α Β f Β 1 1 2 1 0 0 0 1 Α C΄ 0 3 0 0 0 1 1 0 1 1 C΄ C 1 0 1 1 C΄ 1 C C C 1 1 0 4 1 1 6 C 2 3 1 5 1 7 Ελαχιστοποίηση Ελαχιστοποίηση με χάρτη 3ης τάξης SOP POS Β Β 0 1 0 1 Α Α BC 00 01 11 10 1 C΄ 1 C΄ Α 1 1 1 1 C 1 C 1 1 1 1 2 3 2 3 f=AC+BC΄ f= (A+C΄)(B+C) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΑΡΤΕΣ ΜΕΙΩΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ Y(A,B,C,D)=Π(0,1,6,8,9,11,14,15) D D D D 1 0 0 1 1 2 1 0 6 1 1 4 0 1 1 3 1 7 1 5 CD BC 00 01 11 10 ΑΒ 00 01 11 10 Α 00 01 11 10 1 1 1 D 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 1 4 5 7 6 D΄ 1 1 1 4 5 7 6 12 13 15 14 1 D D D D 8 9 11 10 1 0 8 1 110 1 014 1 112 0 9 011 015 113 SOP POS BC BC 00 01 11 10 00 01 11 10 Α Α 1 D 1 1 D 1 1 1 D΄ 1 D΄ 1 f=(B+C)(A΄+C΄+D΄)(B΄+C΄+D) f=B΄CD΄+A΄CD+BC΄ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΑΡΤΕΣ ΜΕΙΩΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ(2) Ελαχιστοποίηση της Y(A,B,C,D)=Π(0,1,6,8,9,11,14,15) με χάρτη 2ης τάξης D 0 1 D C 0 1 C CD+C΄D΄+C΄D 1 1 1 1 1 4 5 ή A΄CD (B+C) 1 1 2 3 1 (C΄+D) 6 7 B B 1 1 A CD+CD΄ A CD+ +C΄D΄+C΄D ή CD+CD΄ (C+D)(C+D΄) (C΄+D) (C+D)(C+D΄) 1 (C+D)(C+D΄)· (C΄+D΄) 1 BC΄ 1 CD΄ C΄D΄+C΄D (C΄+D)(C΄+D΄) 2 3 B΄CD΄ D 0 1 D (B΄+C΄+D) C 0 1 (A΄+C΄+D΄) C 1 8 9 1 1 1 12 13 1 10 11 14 15 f=B΄CD΄+A΄CD+BC΄ CD΄ ή C΄D΄+C΄D ή f=(B+C)(A΄+C΄+D΄)(B΄+C΄+D) (C+D)(C+D΄) (C΄+D΄) (C΄+D)(C΄+D΄) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΩΝ Τ(A,B,C,D)=Σ(3,4,6,7,11,14)+φ(0,2,15) Οι ελαχιστόροι που αντιστοιχούν σε αδιάφορους όρους παίρνουν κάθε φορά κατάλληλη τιμή ώστε να επιτευχθεί βέλτιστη ελαχιστοποίηση D D D D D D D D 1 Χ 0 1 Χ 2 1 1 6 1 1 4 1 X 0 1 X 2 1 1 6 1 1 4 0 1 1 3 1 7 0 5 0 1 1 3 1 7 0 5 BC BC 00 01 11 10 00 01 11 10 Α Α D΄ 1 1 D΄ D 1 D΄ 1 1 1 3 2 1 3 2 D 1 * D 1 * 4 5 7 6 4 5 7 6 D D D D D D D D 1 0 8 1 0 10 1 114 1 012 1 0 8 1 010 1 114 1 012 0 9 111 Χ15 013 0 9 111 X15 013 f=Α΄D΄+CD+BC f=(B+D)(C+D΄)(A΄+C) * Επειδή 1=D+D΄ και 0= D·D΄, πρέπει τα 1 και 0 να καλύπτονται πλήρως ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποιείστε την μερικώς ελαχιστοποιημένη συνάρτηση S(A,B,C,D)=AB΄C+A΄CD΄+B΄C΄D+ABCD΄+A΄B΄D Η κανονική της μορφή είναι: S=Σ(1,2,3,6,9,10,11,14)=Π(0,4,5,7,8,12,13,15) BC 00 01 11 10 f=B΄D+CD΄ A D 1 D΄ 1 2 6 4 f=(B΄+D΄)(C+D) D 1 D΄ 1 3 7 5 Ελαχιστοποιείστε χρησιμοποιώντας 4ης τάξης χάρτη την: f(A,B,C,D,E)=Σ(0,1,2,3,8,9,10,11,14,20,21,22,25) CD 00 01 11 10 ΑΒ 00 01 11 10 1 1 1 3 2 1 1 f=A΄C΄+BC΄D΄E+A΄BDE΄+AB΄CE΄+AB΄CD΄ Ε΄ 4 5 7 6 Ε 12 13 15 14 f=(A΄+B΄+E)(A΄+D΄+E΄)(B΄+C΄+E΄)(A΄+B+C)(A+B+C΄)(A+C΄+D) Ε΄ 1 8 9 11 10 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ