Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΔΙΑΣΤΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.0 Περιεχόμενα 2.1 Δυαδική Λογική και Πύλες 2.2 Boolean Algebra 2.3 Κανονικές Μορφές 2.4 Απλοποίηση με Karnaugh Map 2.5 Αναπαράσταση με K-maps 2.6 Πύλες NAND και NOR 2.7 Πύλες Exclusive – OR 2.8 Ολοκληρωμένα Κυκλώματα Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.1 Συνδυαστικά Λογικά Κυλώματα Combinational Logic Circuits
Λογικές Πύλες Βoolean Algebra Aπλοποίηση με Boolean Algebra και K-MAPS Yλοποίηση Kυκλωμάτων ΝΑΝD, NOR Two-level XOR Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.1 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα
Ψηφιακά συστήματα επεξεργάζονται δυαδικές πληροφορίες Συχνά αποτελούνται από ολοκληρωμένα κυκλώματα (integrated ccts) περιέχουν 100δες εκατομμύρια xtrs και πολλά μέτρα μηκος σύρμα (πολύ μικρό πλάτος: nm! τρίχα/10000) Τransistors και σύρματα σιλικόνης Βασικά κυκλώματα ενος ψηφιακού συστήματος μπορούν να περιγράφουν με Λογικές Πύλες (Logic Gates: ΑΝD, OR, NOT) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.1 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα
Αφαιρετικότητα: δεν χρειάζεται γνώση ηλεκτρονικών ιδιοτήτων πυλών για περιγραφή/σχεδιασμό ψηφιακών συστημάτων, μόνο λογικές ιδιότητες Μια πύλη εκτελεί μια πράξη στα εισαγόμενα για να παράξει ένα εξαγόμενο. Το εξαγόμενο χρησιμοποιείται στην είσοδο κάποιας πύλης. Πύλη Πύλη Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βοοlean Algrebra Mαθηματική Θεωρία Λογικής (1850s) Χρησιμοποιείται για περιγραφή δυαδικών λογικών κυκλωμάτων με μαθηματικές εκφράσεις επεξεργασία εκφράσεων ανάλυση και σχεδιασμό Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Δυαδική Λογική Δυαδικές μεταβλητές παίρνουν δυο διακριτές τιμές: 0 και 1 Μεταβλητές συμβολίζονται με Α,Β,C,..,Z 3 Bασικοί Λογικοί Τελεστές ΑΝD Z=X.Y ή Z=XY OR Z=X+Υ NOT Ζ=Χ, Z = X’ (άρνηση, συμπλήρωμα) Διαφορές δυαδικής λογικής και αριθμητικής... Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Oρισμοί Τελεστών AND OR NOT 0 . 0 = = 0 0 = 1 0 . 1 = = 1 1 = 0 1 . 0 = = 1 1 . 1 = = 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Πίνακας Αλήθειας (Τruth Table)
Περιλαμβάνει όλους τους συνδυασμούς τιμών σε μία έκφραση και την αντίστοιχη τιμή της έκφρασης n εισόδους, n στήλες και 2n σειρές. Κάθε σειρά ένα μοναδικό δυαδικό συνδυασμό (0 .. 2n-1) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates)
Λογικές Πύλες: ηλεκτρονικά κυκλώματα με ένα ή περισσότερα σήματα εισόδου και ένα σήμα εξόδου. Τα σήματα είναι σε ηλεκτρική μορφή (τάση) με μια από δυο τιμές Oι τιμές αντιπροσωπεύουν πεδία τάσης, πχ high ή 1: 3 με 5V low ή 0: -0.5 με 2V Πρέπει να συμπεριφέρονται σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας τους Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 1/9
Γραφικά σύμβολα βασικών λογικών πυλών: Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμί) Χ:χρόνος Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 AND και OR πύλες με περισσότερες από 2 εισόδους
Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βοοlean Συναρτήσεις (Functions)
F = X + Y’Z F είναι 1 όταν …. οροι συνάρτησης όνομα συνάρ. Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

F = X + Y’Z F είναι 1 όταν ο όρος Χ=1 ή ο όρος Υ’Ζ=1. Το Υ’Ζ=1 όταν το Υ’=1 (Υ=0) και Ζ=1 οροι συνάρτησης όνομα συνάρ. Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Mία Βοοlean συνάρτηση αποτελείται από μια δυαδική μεταβλητή (που δεικνύει την συνάρτηση), το σύμβολο =, και μια έκφραση που μπορεί να αποτελείται από δυαδικές μεταβλητές, 0, 1, (,) και λογικές πράξεις Η έκφραση ορίζει την σχέση μεταξύ δυαδικών μεταβλητών. Η συνάρτηση για συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών παίρνει τιμή 1 ή 0 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βοοlean Συναρτήσεις και Πίνακες Αλήθειας
Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί επίσης με πίνακα αλήθειας, πχ F = X + Y’Z 3 μεταβλητές εισόδου, 23=8 σειρές coverage: 1 literal 4, 2 literal 2, 3 literal 1 Y’Z=1 X=1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βοοlean Συναρτήσεις και Πίνακες Αλήθειας
Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί επίσης με πίνακα αλήθειας, πχ F = X + Y’Z 3 μεταβλητές εισόδου, 23=8 σειρές coverage: 1 literal 4, 2 literal 2, 3 literal 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βοοlean Συναρτήσεις και Λογικά(Συνδυαστικά)Κυκλώματα
F= X + Y’Z Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βοοlean Συναρτήσεις Μια συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί με πίνακα αλήθειας μόνο με ένα μοναδικό τρόπο Σε αλγεβρική μορφή (και σε κυκλωμα) μπορεί να εκφραστεί η ίδια συνάρτηση με διάφορους τρόπους Ποιός είναι ο καλύτερος τρόπος; μικρότερος αριθμός πυλών και εισόδων σε πύλες Πως επιτυγχάνεται; Αλγεβρική επεξ, Κ-ΜΑP,Q-M, όχι πάντοτε εφικτό Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βασικές Ταυτότητες της Άλγεβρας Βοοle
Αντιμετάθεση, προσεταιρισμός, επιμερισμός Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Δυϊσμός (Duality) Iδιότητα άλγεβρας Boole: όταν μια σχέση ισχύει, ισχύει και η dual της Το dual μιας σχέσης το παίρνουμε με να αλλάξουμε το πιο κάτω ANDOR, 01 Προσοχή δεν λέει (και δεν ισχύει) οτι η σχέση και το dual της είναι ίσα Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Βασικές Ιδιότητες Σχέσεις ισχύουν και όταν μια μεταβλητή αντικατασταθεί από μια έκφραση, πχ Χ + 1 = 1, εάν το Χ = ΑΒ + C, τότε ΑΒ+ C + 1 = 1 (Χ+Υ) (Χ+Ζ) = Χ + ΥΖ, εάν το X=A, Y=B, Ζ = CD, τότε (Α+Β)(Α+CD)=A + BCD Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 DeMorgan’s Theorem 1/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης X+Y (X+Y)’ Προσοχή στη σειρά αποτίμησης Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 DeMorgan’s Theorem 2/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης X+Y (X+Y)’ Προσοχή στη σειρά αποτίμησης Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 DeMorgan’s Theorem 3/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης X+Y (X+Y)’ X Y X’ Y’ X’.Y’ Προσοχή στη σειρά αποτίμησης Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 DeMorgan’s Theorem 6/6 Ισχύει για πολλαπλές μεταβλητές X1+X2+…+Xn = X1 X2 … Xn X1X2…Xn = X1 + X2 + …+Xn Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Προτεραιότητα Τελεστών
2.2 Προτεραιότητα Τελεστών () NOT αν υπολογίζεται το συμπλήρωμα μιας έκφρασης πρέπει να αποτιμηθεί και μετά να υπολογιστεί το συμπλήρωμα της ΑΝD ΟR Ίδια προτεραιότητα: αριστερά προς δεξιά Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Αλγεβρικός Χειρισμός (και Απλοποίηση)

2.2 Aπλοποίηση F = Χ’ΥΖ + Χ’ΥΖ’ + ΧΖ = X’Y (Z+Z’) + XZ = X’Y (1) + XZ = X’Y + XZ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Eπαλήθευση Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Στόχοι Απλοποίησης Κάθε όρος σε μια boolean έκφραση απαιτεί μια πύλη και κάθε μεταβλητή σε ένα όρο (συμπληρωμένη ή όχι) καθορίζει μια είσοδο στην πύλη (literal) Στόχος της απλοποίησης είναι να μειωθούν oι όροι(terms) ή/και τα literals Aλγεβρική απλοποίηση μπορεί να πετύχει την πιο απλοποιημένη έκφραση. Δεν υπάρχει συγκεκριμένη διαδικασία (trial and error!) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Παραδείγματα Χ+ΧΥ ΧΥ+ΧΥ’ Χ+Χ’Υ Χ(Χ+Υ) (Χ+Υ)(Χ+Υ’) Χ(Χ’+Υ) !Προσοχή: Δυϊσμός! Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Consensus Theorem (Θεωρία της Ομοφωνίας)
ΧΥ + Χ’Ζ+ΥΖ = ΧΥ + Χ’Ζ ΧΥ + Χ’Ζ + (Χ+Χ’) ΥΖ = όταν ΥΖ=1 τότε η το ΧΥ=1 ή το Χ’Ζ=1 Dual: (X+Y)(X’+Z)(Y+Z) = (X+Y)(X’+Z) (A+B)(A’+C)= Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.2 Συμπλήρωμα μιας Συνάρτησης
F’ από το F πίνακα αλήθειας: εναλλαγή 1 και 0 έκφραση: DeMorgan’s Theorem Demorgan και Δυϊσμός ΑΝDOR, 01και συμπλήρωσε κάθε literal πριν τις αλλαγές πρόσθεσε παρενθέσεις για κάθε όρο F = X’YZ’+X’Y’Z G= X(Y’Z’+YZ) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Πρότυπες Μορφές Όροι με γινόμενα/products(anded literals) και αθροίσματα/sums(ored literals) Χ’ΥΖ’ Χ΄+Υ+Ζ Tυποποίηση Ελαχιστοροι και Μεγιστοροι Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Eλαχιστοροι(minterms) 1/5
2n ελαχιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Mεγιστοροι (Μaxterms) 1/5
2n μεγιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Ελαχιστοροι/Μεγιστοροι
mj = Mj, mj = Mj πχ m3=X’YZ M3= (X’YZ)’ = X+Y’+Z’ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Έκφραση από πίνακα αλήθειας 1/3
Το άθροισμα όλων των minterms που η συνάρτηση παίρνει τιμή 1(sum of minterms) F= Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Το άθροισμα όλων των minterms που η συνάρτηση παίρνει τιμή 1(sum of minterms) F=X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ F(X,Y,Z) = Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Το άθροισμα όλων των minterms που η συνάρτηση παίρνει τιμή 1(sum of minterms) F=X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ=m2+m3+m5+m7 F(X,Y,Z) =m2+m3+m5+m7 = Σm(2,3,5,7) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Συμπλήρωμα Έκφρασης Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφή άθροισμα γινομ. τότε F’=Σm( ) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Συμπλήρωμα Έκφρασης Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφή άθροισμα γινομ. τότε F’=Σm(0,1,4,6) και F=ΠΜ() - μορφή γινόμενο άθροισμα. Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Συμπλήρωμα Έκφρασης Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφή άθροισμα γινομ. τότε F’=Σm(0,1,4,6) και F=ΠΜ(0,1,4,6) - μορφή γινόμενο άθροισμα. Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Θυμάστε... οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να μετατραπεί σε πρότυπη μορφή μέσο του πίνακα αλήθεια της μια λογική έκφραση με n μοναδικές μεταβλητές έχει 2n ελαχιστορους μια συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα ελαχιστορων (γινόμενο μεγιστορων) μια συνάρτηση που περιέχει όλους τους ελαχιστορους είναι ίση με την τιμή 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Παράδειγμα 1/5 Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Παράδειγμα 2/5 Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5) Y’ X’Z’ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Παράδειγμα 4/5 Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm( ) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Πρότυπη Μορφή:Sum of Products
Απλοποιημένη έκφραση από sum-of-minterms F =Σm(2,3,5,7) =X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ (SOM) =X’Y + XZ (SOP) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Υλοποίηση SOP με 2-levels 1/3
F = Y’ + X’YZ’+XY Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Εκφράσεις οχι σε μορφή SOP
Μπορούν να μετατραπούν με αλγεβρικούς χειρισμούς ή μέσο πίνακα αληθείας και απλοπ. Ποια είναι η καλύτερη επιλογή;;;; 3-levels ή 2-levels Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.3 Πρότυπη Μορφή POS(2 level)
F = X(Y’+Z)(X+Y+Z’) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Απλοποίηση με πίνακες Κarnaugh Maps ή K-maps
Γραφική μέθοδος απλοποίησης κάθε κελί ένας ελαχιστορος αναγνώριση ‘‘μορφών’’ σε ένα πίνακα και απλοπ. απλοποίηση παράγει έκφραση σε SOP(POS) μορφή που μπορεί να υλοποιηθεί με 2-levels συγκεκριμένη διαδικασία που παράγει την βέλτιστη(όχι απαραίτητα μοναδική) απλοποίηση Απλοποίηση: ελάχιστους όρους και literals Αποτελεσματική για μέχρι και 4 μεταβλητές Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 1/7 m1+m2+m3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 2/7 m1+m2+m3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 3/7 ΧΥ m1+m2+m3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 4/7 ΧΥ m1+m2+m3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 5/7 Χ+Υ ΧΥ m1+m2+m3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 6/7 Χ+Υ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 7/7 Χ+Υ ΧΥ m1+m2+m3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 K-maps με 3 μεταβλητές 1/3 Σειρα! Οι τιμες δυο γειτονικων (οριζοντια/καθετα) ελαχιστορων διαφερουν μονο σε ενα bit position (πχ ) covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 K-maps με 3 μεταβλητές 2/3 Σειρά! Οι τιμες δυο γειτονικων (οριζοντια/καθετα) ελαχιστορων διαφερουν μονο σε ενα bit position (πχ ) covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 K-maps με 3 μεταβλητές 3/3 Σειρά! Οι τιμές δυο γειτονικών (οριζόντια/κάθετα) ελαχιστορων διαφέρουν μόνο σε ένα bit position (πχ ) covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 1/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν) πχ m5+m7 = Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 2/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν) πχ m5+m7 = 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 3/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν) πχ m5+m7 = XY’Z+XYZ = XZ (Y’+Y) = XZ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 4/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν) m0+m1+m2+m3= Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 5/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν) m0+m1+m2+m3= 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 6/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν) m0+m1+m2+m3=X’Y’Z’+X’Y’Z+X’YZ’+X’YZ = X’(Y’Z’+Y’Z+YZ’+YZ) = X’ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 7/7 ένα κελί:1 minterm δυο κελιά: όρο με 2 literals τέσσερα κελιά: όρο με1 literal οκτω κελιά: Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Παράδειγμα: Σm(2,3,4,5) 1/3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Παράδειγμα: Σm(2,3,4,5) 2/3 X’Y XY’ F = X’Y+XY’ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Παράδειγμα: Σm(2,3,4,5) 3/3 1 στα κελιά με ελαχιστορους της συνάρτησης καθορισμός του ελάχιστου αριθμού ορθογώνιων (με 1,2,4,8,… κελιά) που περιλαμβάνουν όλους τους ελαχιστορους κάθε ορθογωνιο αντιστοιχεί σε ένα (απλοποιημένο) γινόμενο το γινόμενο αποτελείται απο τα ελάχιστα literals που περιλαμβάνουν το ορθογώνιο Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Κριτήριο Γειτονότητας
Οχι αναγκαστικά δίπλα στο Κ-map, απλός να διαφέρουν οι αντίστοιχοι ελαχιστοροι σε ένα bit position, πχ Σm(0,2,4,6) 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Κριτήριο Γειτονότητας
Οχι αναγκαστικά δίπλα στο Κ-map, απλός να διαφέρουν οι αντίστοιχοι ελαχιστοροι σε ένα bit position, πχ Σm(0,2,4,6) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Σm(0,1,2,3,6,7) 1/4 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Σm(0,1,2,3,6,7) 2/4 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Σm(0,1,2,3,6) 3/4 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Δυο βέλτιστες λύσεις: Σm(1,3,4,5,6) 4/4
F = X’Z+XZ’+XY’ ή F = X’Z+XZ’+Y’Z Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Έκφραση σε SOP μορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X’Z+X’Y+XY’Z+YZ 1/5
Χ’Ζ 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Χ’Υ 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

ΧΥ’Ζ 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

ΥΖ 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Χ’Υ Ζ 1 1 1 1 F = Z +X’Υ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Πρότυπες Moρφές Εκφράσεων
Αρχική F(Χ,Υ,Ζ)= X’Z+X’Y+XY’Z+YZ Στο K-MAP F(Χ,Υ,Ζ)= X’YZ+X’Y’Z+X’YZ’+XY’Z+XYZ Τελική F = Z+X’Y Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 Προτύπες Moρφές Εκφράσεων
Αρχική SOP F(Χ,Υ,Ζ)= X’Z+X’Y+XY’Z+YZ Στο K-MAP SOMinterms (SOP) F(Χ,Υ,Ζ)= X’YZ+X’Y’Z+X’YZ’+XY’Z+XYZ Τελική SOP F = Z+X’Y Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 K-maps με 4 μεταβλητές Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 K-maps με 4 μεταβλητές Ίδια μέθοδος όπως με με 3 μεταβλητές ένα κελί: ελαχιστορος με 4 literals δυο κελιά: όρος με 3 literals τέσσερα κελιά: όρος με 2 literals οκτώ κελιά: ορος με 1 literal δεκαέξι κελιά: συνάρτηση με πάντοτε τιμή 1 Κριτήριο Γειτονότητας: ελαχιστοροι διαφέρουν σε ένα bit position Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F(W,X,Y,Z) = X’Z’ 1/8 X’ Z’ 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F(W,X,Y,Z) = X’Z’ 2/8 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F(W,X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 3/8 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F(W,X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 4/8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F(W,X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 5/8 F= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 6/8
ΑΒ CD Α B C D Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 6/
ΑΒ CD Α B C D 1 1 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.4 F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 7/8

2.4 F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 8/8

2.5 Συστηματική Επεξεργασία Πινάκων
Prime Implicant (PI): oορθογώνιο με το μέγιστο δυνατό μέγεθος σε ένα K-MAP που δεν περιλαμβάνεται σε πιο μεγάλο ορθογώνιο Essential Prime Implicant (EPI): PI που περιέχει ελαχιστορο δεν που περιλαμβάνεται σε άλλο PI Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 F(A,B,C,D)=Σm(1,3,4,5,6,7,12,14) ΑΒ CD Α B C D 1 1 1 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 F(A,B,C,D)=Σm(1,3,4,5,6,7,12,14) PI: ,EPI: , F= Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 Essential και nonEssential PI Σm(0,5,10,11,12,13,15)

2.5 Essential και nonEssential PI Σm(0,5,10,11,12,13,15)
PI: , EPI: , F= Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 Eπιλογή για nonEPI Eπέλεξε ΕPI Eπέλεξε nonEPI που δεν έχουν overlap Eπέλεξε nonEPI που έχουν overlap (τυχαία) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 nonEPI επιλογή Σm(0,1,2,4,5,10,11,13,15) ΑΒ CD Α B C D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 nonEPI επιλογή Σm(0,1,2,4,5,10,11,13,15) PI: , EPI: , F= Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 F(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,5,8,9,10) - F σε POS ΑΒ CD Α B C D 1 1 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 F(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,5,8,9,10) - F σε POS F’ = , F = (dual και συμπλήρωμα literals) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 Aπλοποίηση με POS F’: απλοποίηση 0 στο Κ-Μap - μορφή SOP συμπλήρωμα F’ - F σε μορφή POS Όταν έχουμε ένα από F’pos, Fpos, F’sop, Fsop μπορούμε να παράξουμε τα αλλά Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 Συνθήκες Αδιαφορίας (don’t-care conditions)
Συγκεκριμένοι συνδυασμοί τιμών εισόδου που δεν συμβαίνουν ή όταν συμβούν δεν μας ενδιαφέρει τι θα συμβεί στην έξοδο πχ BCD 4 σήματα εισόδου μα μονο 10 από τους 16 συνδυασμούς συμβαίνουν Δεικνύονται με X στα K-maps, και μπορούν να υποθέσουμε πως είναι 0 ή 1 (don’t care minterms δεν χρειάζεται να απλοποιηθούν) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 F(A,B,C,D)=Σm(1,3,7,11,15) d(A,B,C,D)=Σm(0,2,5)
ΑΒ CD Α B C D X 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.5 F(A,B,C,D)=Σm(1,3,7,11,15) d(A,B,C,D)=Σm(0,2,5)
Απλοποίηση με don’t cares Δυο λύσεις όχι ίσες! Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 Βασικές Πύλες για Υλοποίηση Ψηφιακών Συστημάτων

2.6 Universal Πύλη: ΝΑND Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 Άλλα σύμβολα για NAND πύλες

2.6 2-level υλοποίηση SOP εκφράσεων με NAND πύλες
F=AB+CD Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 F(X,Y,Z)=Σm(1,2,3,4,5,7) 1/3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 Διαδικασία Σχεδιασμού με NAND
Απλοποιημένη έκφραση σε SOP μορφή ΝΑΝD πύλη για κάθε όρο με τουλάχιστο δυο literals (1st level) ΝΑΝD ή ΝΟΤ-ΟR πύλη με είσοδο τις εξόδους από το 1st level όροι με ένα literal χρειάζονται NOT πύλη στο 1st level Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 Μultilevel ΝΑΝD κυκλώματα

2.6 Διαδικασία για Multilelevel NAND κυκλώματα
ΑΝD με ΝΑΝD (and-not) OR με NAND (not-or) για κάθε μόνο bubble σε μια γραμμή insert ΝΟΤ πύλη ή συμπλήρωσε το σήμα εισόδου Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 Universal πύλες:ΝΟR Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.6 Άλλα σύμβολα για NΟR πύλες

2.6 Υλοποίηση συναρτήσεων σε POS μορφή

2.6 Yλοποίηση συναρτήσεων σε POS μορφή
Multilevel: παρομοια με NAND Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.7 Πύλη ΧΟR XY = XY’+X’Y Χ XY Υ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.7 Ex-OR Ταυτότητες X0 = X X1 = X’ XΧ = 0 XΧ’ = 1 XY’ = XY X’Y = XY XY = ΥΧ (XΥ)Ζ = Χ(ΥΖ) Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.7 ΧΟR υλοποίηση με πύλες NAND

2.7 ΧΝΟR XY = XY+X’Y’ Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.7 Odd Function (XOR με >2 inputs)
XY’Z’+X’YZ’+ X’Y’Z+XYZ = (XY’+X’Y)Z’+ (X’Y’+XY)Z = XYZ μονός αριθμός σημάτων εισόδου με τιμή 1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.7 Parity bit Πχ για ένα μήνυμα με 3 bits (ΧΥΖ) με even parity: P = XΥΖ (στο σημείο αποστολής) Στο σημείο παράληψης: C = PXΥΖ εάν το C είναι 1 λάθος! Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.8 Ολοκληρωμένα Κυκλώματα
Ιntegrated Circuits σήμερα: από transistors και σύρματα σιλικόνης περιέχεται σε ένα πλαστικό ή κεραμικό πακέτο. διασύνδεση με pins (10s-1000s):E/E, Vcc,Gnd κάθε ΙC μοναδικό κώδικα Eπίπεδα Ολοκλήρωσης SSI ~10,MSI ~100,LSI ~1000,VLSI Λογικές “Οικογένειες”: RTL,DTL,TTL,ECL,MOS,CMOS,BiCMOS,GaAs Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.8 Xαρακτηριστικά (ηλεκτρονικές ιδιότητες)
FanΟut: πόσα inputs μπορεί να ξεκινούν από ένα output Kατανάλωση ισχύος Χρόνος Μετάδοσης (propagation delay) tαλλαγή στο input - tαλλαγή στο output Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

2.8 Θετική και Αρνητική Λογική
Υποθέτουμε θετική λογική Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια