ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (Με όσο το δυνατόν απλά λόγια) 1ο Λύκειο Παλλήνης Τάξη Γ΄Λυκείου, Τμήμα Γ1 Μάθημα Φυσική Κατεύθυνση: Θεωρητική Καθηγητής: Αναστασόπουλος ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (Με όσο το δυνατόν απλά λόγια) Εργασία του Μαθητή της Γ΄Λυκείου Χρίστου Αρχιμανδρίτη Παλλήνη Ιανουάριος 2015

Πρόλογος Το 1900 ο Kelvin διακηρύττει ότι «Η Φυσική έχει πια λύσει τα θεμελιακά προβλήματα Η εξίσωση του Νεύτωνα (F=ma) καθόριζε την κίνηση υλικών σημείων και σωμάτων. Οι δυνάμεις F που προκαλούσαν την κίνηση ήταν, σε τελευταία ανάλυση, είτε βαρυτικές, είτε ηλεκτρομαγνητικές. Οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις διαδίδονταν με την ταχύτητα του φωτός, υπό μορφή κύματος και το φως ήταν μια ειδική περίπτωση διαδιδόμενου ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Μένουν βέβαια μερικά θεματάκια που δεν τα έχουμε κατανοήσει πλήρως: την κατανομή του μέλανος σώματος, οι φασματικές γραμμές των αερίων…». Δεν θα μπορούσε να φανταστεί, τότε, ότι τέτοια «θεματάκια» θα ανέτρεπαν, μέσα στα επόμενα χρόνια, εκ θεμελίων το πώς αντιλαμβανόμαστε τη φύση.

Η ύλη αποτελείτο από στοιχειώδη σωμάτια που συγκροτούνται μεταξύ τους λόγω αμοιβαίων ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων και οι ιδιότητες της ύλης μπορούσαν να ερμηνευτούν σαν αποτέλεσμα της μικροσκοπικής κίνησης των στοιχειωδών σωματιδίων. Το μέλλον, λοιπόν, της φυσικής φάνταζε μάλλον μονότονο: Απλή εφαρμογή γνωστών κανόνων. Όμως κάτω από την επιφάνεια της πλήρους επιτυχίας, διαφαίνονταν κάποιες «ρωγμές» που σύντομα θα επέβαλαν την εκ βάθρων εννοιολογική αναδόμηση του κλασικού οικοδομήματος. Σε αυτήν την εργασία προσεγγίζονται οι νέες έννοιες που εισήγαγε η θεωρία της σχετικότητας.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας   Το 1905 ο Einstein, βασιζόμενος στα νέα πειραματικά δεδομένα και υπερβαίνοντας τις κλασικές προκαταλήψεις, έφερε δύο νέες παραδοχές: Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι ίδια σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων (Σ.Σ.) που βρίσκονται σε σχετική ομαλή κίνηση. Όλοι οι νόμοι της φύσης είναι ίδιοι σε όλα τα Σ.Σ. που βρίσκονται σε σχετική ομαλή κίνηση. Αυτές οι παραδοχές βρίσκονται σε αντίθεση με τους κλασικούς μετασχηματισμούς οι οποίοι πρέπει να αντικατασταθούν.

Θα χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα ενός κινούμενου δωματίου με έναν εσωτερικό και έναν εξωτερικό παρατηρητή που κινείται κάθετα στους τοίχους. Αν εκπέμπεται ένα φωτεινό σήμα από το κέντρο του δωματίου, ρωτάμε τους δυο ανθρώπους τι περιμένουν να παρατηρήσουν, Ο εσωτερικός παρατηρητής: Στο σύστημα του παρατηρητή που βρίσκεται ακίνητος στο δωμάτιο και που κινείται μαζί με το δωμάτιο, το φωτεινό σήμα προχωρεί από το κέντρο του δωματίου και θα φτάσει ταυτόχρονα στους δυο τοίχους, εφόσον απέχουν το ίδιο από τη φωτεινή πηγή μιας και η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις. Ο εξωτερικός παρατηρητής: Στο σύστημα μου η ταχύτητα του φωτός είναι ακριβώς η ίδια με την ταχύτητα στο σύστημα του παρατηρητή που κινείται με το δωμάτιο. Αυτό που βλέπω είναι ένα φωτεινό σήμα που διαδίδεται με μια σταθερή ταχύτητα, ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις. Ο ένας τοίχος απομακρύνεται, από το φωτεινό σήμα, ο άλλος το πλησιάζει. Γι' αυτόν το λόγο, το φως θα συναντήσει λίγο πιο αργά τον τοίχο που απομακρύνεται, παρά τον τοίχο που πλησιάζει. Συγκρίνοντας τις προβλέψεις των παρατηρητών μας, βρίσκουμε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με τις έννοιες της κλασικής φυσικής. Δυο γεγονότα, δηλ. οι δυο φωτεινές ακτίνες που χτυπούν τους δυο τοίχους, είναι σύγχρονα για τον εσωτερικό παρατηρητή, όχι όμως και για τον εξωτερικό.

Η θεωρία της σχετικότητας μας υποχρεώνει να κατανοήσουμε τη σημασία της πρότασης: «Δυο γεγονότα πού είναι σύγχρονα σε ένα Σ.Σ., μπορεί να μην είναι σύγχρονα σε ένα άλλο Σ.Σ.».

Για να διαπραγματευθούμε το πρόβλημα δυο συστημάτων που βρίσκονται σε σχετική ομαλή κίνηση, πρέπει να θεωρήσουμε δυο ράβδους, εφοδιασμένες με ρολόγια. Ο παρατηρητής σε καθένα απ' αυτά τα δυο Σ.Σ., έχει τώρα τη δική του ράβδο και τη δική του σειρά ρολογιών σταθερά δεμένων μ' αυτήν. Ας δεχτούμε, για λόγους απλότητας, πως έχουμε μονάχα ένα ρολόι στην επάνω ράβδο Σ.Σ. και πολλά στην κάτω. Όλα τα ρολόγια έχουν τον ίδιο μηχανισμό και είναι συγχρονισμένα. Σχεδιάσαμε τρεις διαδοχικές θέσεις των δυο Σ.Σ. (ράβδων) πού κινούνται ομαλά το ένα σε σχέση με το άλλο. Στο πρώτο σχήμα, οι δείκτες του επάνω και των κάτω ρολογιών βρίσκονται στην ίδια θέση, γιατί έτσι τους βάλαμε. Όλα τα ρολόγια δείχνουν την ίδια ώρα. Στο δεύτερο σχέδιο βλέπουμε τις σχετικές θέσεις των δυο Σ.Σ. υστέρα από κάποιο χρόνο. Όλα τα ρολόγια στο κάτω Σ.Σ. δείχνουν ιδίαν ώρα, αλλά το ρολόι στο επάνω Σ.Σ. δεν προχωρεί πια με τον ίδιο ρυθμό. Ο ρυθμός άλλαξε και η ώρα είναι διαφορετική, γιατί το ρολόι κινείται σχετικά με το κάτω Σ.Σ. Στο τρίτο σχήμα, βλέπουμε πώς η διαφορά των θέσεων των δεικτών αυξάνει με τον χρόνο. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται ακίνητος στο κάτω Σ.Σ. θα ‘βρισκε πως ένα ρολόι που κινείται, μεταβάλλει ρυθμό. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα έφτανε κανείς αν το ρολόι κινιότανε σχετικά μ' ένα παρατηρητή ακίνητο στο πάνω Σ.Σ. Οι νόμοι της φύσης πρέπει να είναι ίδιοι στα δυο Σ.Σ. Στην κλασική μηχανική, λοιπόν, γινόταν δεκτό σιωπηρά, πως ένα κινούμενο ρολόι δεν αλλάζει το ρυθμό του.

Μελετήσαμε με την σχετικότητα τον Χρόνο Μελετήσαμε με την σχετικότητα τον Χρόνο. Ας μελετήσουμε τώρα και το μήκος. Ας πάρουμε μια ράβδο με μήκος ένα μέτρο. Αυτό σημαίνει πως έχει μήκος ένα μέτρο, εφ' όσον ηρεμεί σε ένα Σ.Σ. Ας υποθέσουμε τώρα πως κινείται ομαλά, γλιστρώντας κατά την επιμήκη διεύδυνση της ράβδου που αντιπροσωπεύει το Σ.Σ. Το μήκος της θα φαίνεται ότι είναι πάντα ένα μέτρο; Ο κύκλος των παραδοχών μας πρέπει να σπάσει σε κάποιο σημείο. Μήπως αυτό μπορεί να γίνει σε τούτο ακριβώς το σημείο; Μήπως δηλαδή μπορούμε να δεχτούμε αλλαγές στο ρυθμό του κινούμενου ρολογιού και στο μήκος της κινούμενης ράβδου, τέτοιες ώστε η σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός να είναι άμεσο επακόλουθο τους; Το επιχείρημα μπορεί και να τεθεί αντιστροφα: αν η ταχύτητα του φωτάς είναι ίδια σ' όλα τα Σ.Σ., τότε κινούμενες ράβδοι πρέπει να μεταβάλλουν τα μήκη τους και κινούμενα ρολόγια πρέπει να μεταβάλλουν το ρυθμό τους. Στην κλασική φυσική είχαμε νόμους μετασχηματισμού για τις συντεταγμένες και για τις ταχύτητες, αλλά οι νόμοι της μηχανικής ήταν ίδιοι για δυο Σ.Σ. που βρισκότανε σε σχετική ομαλή κίνηση. Είχαμε νόμους μετασχηματισμού για το χώρο, όχι όμως και για το χρόνο, γιατί ο χρόνος ήταν ο ίδιος για όλα τα Σ.Σ. Τα πράγματα είναι διαφορετικά στη θεωρία της σχετικότητας: Έχουμε νόμους μετασχηματισμού για το χώρο, το χρόνο και την ταχύτητα, διαφορετικούς από της κλασικής μηχανικής. Και πάλι, οι νόμοι της φύσης πρέπει να είναι ίδιοι για όλα τα Σ.Σ. πού βρίσκονται σε ομαλή σχετική κίνηση.

Από τα παραπάνω συνάγεται πως: Μια κινούμενη ράβδος συστέλλεται προς την κατεύθυνση της κίνησης και η συστολή μεγαλώνει με την αύξηση της ταχύτητας.   Δεν υπάρχει όμως συστολή κατά τη διεύθυνση που είναι κάθετη με τη διεύθυνση της κίνησης. Το μήκος μιας ράβδου θα 'φτάνε στο μηδέν, αν η ταχύτητα της έφτανε την ταχύτητα του φωτός. Επίσης ο ρυθμός ενός κινούμενου ρολογιού θα επιβραδυνότανε σε σύγκριση με των ρολογιών μπροστά από τα όποια περνά και θα μηδενιζόταν, αν το ρολόι έφτανε να κινείται με την ταχύτητα του φωτός.

2) Ειδική σχετικότητα και μηχανική Ένα σώμα σε ηρεμία έχει μάζα, όχι όμως και κινητική ενέργεια. Ένα κινούμενο σώμα έχει και μάζα και κινητική ενέργεια. Το σώμα αυτό αντιστέκεται στην αλλαγή της ταχύτητας, ισχυρότερα από το ακίνητο σώμα. Θα 'λέγε κανείς πώς η κινητική ενέργεια του κινούμενου σώματος, αυξάνει την αντίσταση του. Αν δυο σώματα έχουν την ίδια μάζα, αυτό που έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, αντιστέκεται πιο έντονα στη δράση μιας εξωτερικής δύναμης. Η κινητική ενέργεια λοιπόν, αντιστέκεται στην κίνηση, όπως ακριβώς και οι ζυγίσιμες μάζες. Η θεωρία της σχετικότητας συνάγει, λοιπόν, από τη θεμελιώδη της παραδοχή ότι κάθε ενέργεια αντιστέκεται στην αλλαγή της κίνησης. Κάθε ενέργεια συμπεριφέρεται όπως η ύλη. Σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας δεν υπάρχει ουσιώδης διάκριση ανάμεσα στη μάζα και την ενέργεια. Η ενέργεια έχει μάζα και η μάζα αντιπροσωπεύει ενέργεια. Κι αντί για δυο νόμους διατήρησης (ενέργειας και μάζας), έχουμε ένα μονάχα, το νόμο για τη μάζα-ενέργεια. Ο λόγος για την έλλειψη άμεσης εμπειρίας αυτών, είναι η εξαιρετικά μικρή σχέση αναλογίας ανάμεσα στη μάζα και την ενέργεια. Η ποσότητα της θερμότητας πού μπορεί να μετατρέψει τριάντα χιλιάδες τόνους νερού, σε ατμό, θα ζύγιζε ένα γραμμάριο περίπου δεδομένου ότι ισχύει η περίφημη εξίσωση:   όπου e η ενέργεια, m η μάζα του σώματος, c η ταχύτητα του φωτός 300000 Km/s.

3) Ο χωρόχρονος Σε κάθε γεγονός αντιστοιχούν τέσσερις ορισμένοι αριθμοί (τρισδιάστατος χώρος και χρόνος) κι αντίστροφα ένα ορισμένο γεγονός, αντιστοιχεί σε τέσσερις αριθμούς. Έτσι κόσμος των γεγονότων, αποτελεί ένα τετραδιάστατο συνεχές. Η τελευταία πρόταση είναι αληθινή για την κλασική φυσική, όσο και για τη θεωρία της σχετικότητας. Η διαφορά παρουσιάζεται όταν μελετούμε δυο Σ.Σ. με σχετική κίνηση. Αλλά κατά τη θεωρία της σχετικότητας, τόσο ο χρόνος όσο κι ο χώρος μεταβάλλονται όταν περνά κανείς από ένα Σ.Σ. σε άλλο. Ο κόσμος των γεγονότων μπορεί να περιγραφεί δυναμικά με μια εικόνα που μεταβάλλεται με το χρόνο και που προβάλλεται στο φόντο του τρισδιάστατου χώρου. Αλλά μπορεί να περιγραφεί και με μια στατική εικόνα, στο φόντο του τετραδιάστατου χωροχρονικού συνεχούς.

4) Η γενική θεωρία της σχετικότητας Κάνοντας μια εισαγωγή στη γενική θεωρία της σχετικότητας, θα προσπαθήσουμε να απαντήσαμε πρώτα σ' ένα θεμελιώδες ερωτήματα: Υπάρχει σύστημα αδράνειας; Για να καταλάβουμε καλύτερα τη δυσκολία που εμφανίζεται, θέσουμε λίγες απλές ερωτήσεις: Τι είναι σύστημα αδράνειας; Ο κλασικός φυσικός θα απαντούσε: «Είναι ένα Σ.Σ. οπού ισχύουν οι νόμοι της μηχανικής. Ένα σώμα πού πάνω του δε δρα εξωτερική δύναμη, κινείται ομαλά μέσα σε ένα τέτοιο Σ.Σ. Αυτή η ιδιότητα μας κάνει λοιπόν ικανούς να διακρίνουμε ένα σύστημα αδράνειας, από οποιοδήποτε άλλο». Ωστόσο, τι εννοεί όταν λέει πως στο σώμα δε δρα καμιά δύναμη; Ο φυσικός μας θα αναγκαζόταν να ομολογήσει: «Εννοώ απλώς ότι το σώμα κινείται ομαλά σε ένα σύστημα αδράνειας». Βρισκόμαστε μπροστά στην αρχική μας ερώτηση… Και τι είναι σύστημα αδράνειας; Αυτή είναι μια σοβαρή δυσκολία στην κλασική φυσική. Έχουμε νόμους, αλλά δεν ξέρουμε σε ποιο πλαίσιο να τους αναφέρουμε. Τελικά αποδείχθηκε πως μπορούμε να δημιουργήσουμε μια φυσική στηριγμένη στη σχετικότητα πού να ισχύει για όλα τα Σ.Σ., μια φυσική οπού δε θα υπάρχει θέση για την απόλυτη, αλλά μονάχα για τη σχετική κίνηση. Έχουμε μια τουλάχιστον ένδειξη, για το πώς μπορεί κανείς να οικοδομήσει τη νέα φυσική. Η πραγματική σχετικιστική φυσική πρέπει να ισχύει σε όλα τα Σ.Σ. και κατά συνέπεια και στην ειδική περίπτωση του συστήματος αδράνειας. Το πρόβλημα να διατυπωθούν οι νόμοι της φυσικής για οποιοδήποτε Σ.Σ., λύθηκε από τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας εφαρμόζεται μονάχα σε συστήματα αδράνειας. Οι δυο θεωρίες δε μπορούν να έρχονται σε αντίθεση, γιατί πρέπει πάντα να συμπεριλαμβάνουμε τους παλιούς νόμους της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, στους γενικούς νόμους για ένα σύστημα αδράνειας. Απλά το σύστημα αδράνειας, για το όποιο διατυπώθηκαν αρχικά οι νόμοι της φυσικής, δεν αποτελεί τώρα παρά μια οριακή ειδική περίπτωση.

Θεωρία της σχετικότητας: οι έννοιες 5) Η νέα αντίληψη για τα «μη αδρανειακά» συστήματα Ας φανταστούμε ένα μεγάλο ανελκυστήρα, στο τελευταίο πάτωμα ένας ουρανοξύστη. Το συρματόσκοινο που κρατάει τον ανελκυστήρα σπάει κι ο ανελκυστήρας αρχίζει να πέφτει ελεύθερα. Παρατηρητές μέσα στον ανελκυστήρα, κάνουν πειράματα στη διάρκεια της πτώσης σε ιδεώδεις συνθήκες. Ένας από τους παρατηρητές που βρίσκεται μέσα στον ανελκυστήρα βγάζει από την τσέπη του ένα μαντήλι και ένα ρολόι και τα αφήνει ελεύθερα.

Θεωρία της σχετικότητας: οι έννοιες 5) Η νέα αντίληψη για τα «μη αδρανειακά» συστήματα (2) Ας δούμε τώρα με ποιο τρόπο περιγράφουν ό,τι συμβαίνει μέσα στον ανελκυστήρα οι δυο παρατηρητές: Ο εσωτερικός και ο εξωτερικός. Ο εξωτερικός παρατηρητής σημειώνει την κίνηση του ανελκυστήρα καθώς και όλων των σωμάτων στα εσωτερικό του και τη βρίσκει σύμφωνη με τι νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα. Γι' αυτόν ή κίνηση δεν είναι ομαλή, αλλά επιταχυνόμενη, εξ αιτίας της δράσης του πεδίου βαρύτητας της γης. Οι νόμοι της βαρύτητας, όπως όλοι οι νόμοι της φύσης, πρέπει να διατυπωθούν για όλα τα δυνατά Σ.Σ., ενώ οι νόμοι της κλασικής μηχανικής, όπως διατυπώθηκαν από τον Νεύτωνα, ισχύουν μόνο στα συστήματα αδράνειας.

Θεωρία της σχετικότητας: οι έννοιες 5) Η νέα αντίληψη για τα «μη αδρανειακά» συστήματα (2) Ωστόσο, ο εσωτερικός παρατηρητής που βρίσκεται μέσα στον ανελκυστήρα, θα μπορούσε κάλλιστα να υποθέσει πως ο ανελκυστήρας του ηρεμεί και πως το σύστημα συντεταγμένων του είναι αδρανειακό. Είναι αδύνατο να ρυθμίσουμε τη διαφορά των δυο παρατηρητών. Καθένας τους θα μπορούσε να διεκδικήσει το δικαίωμα να αναφέρει όλα τα γεγονότα στο Σ.Σ. του. Κι οι δυο περιγραφές θα μπορούσαν να έχουν την ίδια εσωτερική συνοχή. Το πεδίο βαρύτητας υπάρχει για τον εξωτερικό παρατηρητή. Δεν υπάρχει όμως για τον εσωτερικό. Για τον εξωτερικό παρατηρητή υπάρχει η επιταχυνόμενη κίνηση του ανελκυστήρα μέσα στο πεδίο βαρύτητας, ενώ για τον εσωτερικό παρατηρητή υπάρχει ηρεμία και το πεδίο βαρύτητας είναι ανύπαρκτο. Αλλά η «γέφυρα», δηλαδή το πεδίο βαρύτητας πού κάνει δυνατή την περιγραφή στα δυο Σ.Σ., στηρίζεται πάνω στην ισοδυναμία της βαρείας και της αδρανούς μάζας. Χωρίς αυτήν, η σειρά των συλλογισμών που θέσαμε θα αποτύγχανε. Οι νόμοι της βαρύτητας, όπως όλοι οι νόμοι της φύσης, πρέπει να διατυπωθούν για όλα τα δυνατά Σ.Σ., ενώ οι νόμοι της κλασικής μηχανικής, όπως διατυπώθηκαν από τον Νεύτωνα, ισχύουν μόνο στα συστήματα αδράνειας.

6) Η καμπύλωση του χωροχρόνου Ο χωροχρόνος έχει την ιδιότητα να καμπυλώνεται παρουσία ύλης όπως καμπυλώνεται ένα τεντωμένο σεντόνι όταν τοποθετήσουμε πάνω του μια μπάλα. Αν εκτοξεύσουμε τώρα μια μικρή μπίλια πάνω στην επιφάνεια του σεντονιού τότε η τροχιά που θα διαγράψει η μπίλια προφανώς δεν θα είναι ευθύγραμμη αλλά καμπύλη. Η καμπύλωση της τροχιάς δεν οφείλεται στη βαρυτική έλξη που ασκεί η μπάλα στην μικρή μπίλια αλλά στην παραμόρφωση που προκάλεσε η μπάλα στην επιφάνεια του σεντονιού. Με τον ίδιο τρόπο μια μεγάλη μάζα (π.χ. ένα αστέρι) καμπυλώνει το χωροχρόνο γύρω της στο Σύμπαν. Έτσι όλα τα ουράνια σώματα δεν αναγκάζονται να κινούνται σε καμπύλες τροχιές λόγω της δύναμης που λέγεται βαρύτητα, αλλά ακολουθούν τις καμπύλες γραμμές του παραμορφωμένου χωροχρόνου. Όπως πολύ ωραία το έθεσε ένας μεγάλος φυσικός: «Η ύλη λέει στο χώρο πώς να καμπυλωθεί και ο χώρος λέει στην ύλη πώς να κινηθεί».

Σας ευχαριστώ για την παρακολούθηση Χρίστος Αρχιμανδρίτης