Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα αναφοράς στη γεωδαισία δορυφόρων 11
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι νόμοι του Kepler Iισχύουν για «κεντρικό πεδίο δυνάμεων» Δημιουργείται από:υλικό σημείο ομογενή σφαίρα σφαίρα με ομογενείς στιβάδες (πυκνότητα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο) Δύναμη ανά μονάδα μάζας = κλίση δυναμικού έλξης Μ = μάζα της γης, G = παγκόσμια σταθερά της έλξης = διάνυσμα θέσης του δορυφόρου = ακτινική απόσταση δορυφόρου Νόμοι του Kepler (1)H τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες της. (2)Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. (3)Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων της περιστροφής τους γύρω από τον ήλιο.
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Εξήγηση των νόμων του Kepler : Από Νεύτωνα με βάση το νόμο της παγκόσμιας έλξης και τις εξισώσεις κίνησης κίνησης (2ος νόμος του Νεύτωνα) με ταυτόχρονη επινόηση του διαφορικού και ολοκληρωματικού λογισμού! = ελκτική δύναμη = ελκτική δύναμη ανά μονάδα μάζας πλανήτη Μ = μάζα ήλιου, m = μάζα πλανήτη r = απόσταση ήλιου-πλανήτη = μοναδιαίο διάνυσμα από πλανήτη προς ήλιο Επίλυση διαφορικών εξισώσεωνΝόμοι του Kepler
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς Σύστημα αναφοράς : αρχή O ήλιος επίπεδο επίπεδο τροχιάς του πλανήτη άξονας ευθεία των εστιών προς το περιήλιο περιήλιο πλησιέστερο προς τον ήλιο σημείο της τροχιάς P αφήλιο πλέον απομακρυσμένο σημείο της τροχιάς P Συντεταγμένες :διάνυσμα θέσης του πλανήτη: Στο επίπεδο της τροχιάς καρτεσιανές συντεταγμένες: q 1, q 2 πολικές συντεταγμένες: r, f f αληθής ανωμαλία (true anomaly t P εποχή διέλευσης από το περιήλιο T περίοδος της τροχιάς (χρόνος μιας περιστροφής) n = 2π / T μέση κίνηση (mean motion) P P q2q2 q1q1 a b O E f r M μέση ανωμαλία (mean anomaly) E έκκεντρη ανωμαλία (eccentric anomaly)
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σχέση έκκεντρης Ε και αληθούς ανωμαλίας f : 2ος νόμος του Kepler «σταθερή επιφανειακή ταχύτητα» σε μικρό χρονικό διάστημα Δt : γωνία Δf, επιφάνεια ΔS = ½ r 2 Δf (επιφάνεια τριγώνου με ύψος r και βάση r Δf ) Επιφανειακή ταχύτητα = σταθερή 3ος νόμος του Kepler σταθερή εναλλακτικά: Nόμος παγκόσμιας έλξης + 2ος νόμος Νεύτωνα 2ος και ο 3ος νόμος του Kepler 1ος νόμος του Kepler εξίσωση έλλειψης σε πολική μορφή a = μεγάλος ημιάξονας, εκκεντρότητα, μικρός ημιάξονας
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Προσδιορισμός συνάρτησης f(t) Ολοκλήρωση από t 0 = t P (όπου sinE = sin0 = 0 ) έως t : + Eξίσωση του Keplerαριθμητική λύση : Eξισώσεις κίνησης q = q(t) : σε μορφή πινάκων
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ευθεία των αψίδων τροχιά ισημερινός Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P P Τέμνει την τροχιά σε δύο σημείαΠλανήτες:περιήλιοαφήλιο. Δορυφόροι:περίγειο (perigee) P απόγειο (apogee) P (πλησιέστεροπλέον απομακρυσμένο) επίπεδο τροχιάς ευθεία των αψίδων (line of apsides) = ευθεία του άξονα (ευθεία μεγάλου ημιάξονα)
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά ισημερινός Ν P P Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : σύστημα αναφοράς της τροχιάς : επίπεδο τροχιάς ευθεία των συνδέσμων (line of nodes) = τομή ισημερινού επιπέδου και τροχιάς Ν = σύνδεσμος ανάβασης (ascending node)- μοναδιαίο διάνυσμα (κατεύθυνση του πλανήτη ή δορυφόρου όταν «ανέρχεται» (προς το μέρος του ) Ν = σύνδεσμος κατάβασης (descending node)
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ευθεία των συνδέσμων τροχιά ισημερινός Ν P P Η έλλειψη του Kepler στο χώρο επίπεδο τροχιάς Ω = ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης (right ascension of the ascending node) γωνία μεταξύ και (θετική από προς το / τιμές 0 ).
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ευθεία των συνδέσμων τροχιά ισημερινός Ν P P Η έλλειψη του Kepler στο χώρο επίπεδο τροχιάς i = κλίση (inclination) της τροχιάς δίεδρη γωνία ανάμεσα στο επίπεδο και το επίπεδο της τροχιάς (θετική προς τα πάνω / τιμές 0 )
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ευθεία των συνδέσμων τροχιά ισημερινός Ν P P Η έλλειψη του Kepler στο χώρο επίπεδο τροχιάς ω = όρισμα του περιγείου (argument of perigee) γωνία μεταξύ και (μεταξύ ευθείας συνδέσμων και ευθείας αψίδων) (θετική από το προς το / τιμές 0 ) ευθεία των αψίδων
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ευθεία των αψίδων ευθεία των συνδέσμων τροχιά ισημερινός Ν Ν P P Η έλλειψη του Kepler στο χώρο επίπεδο τροχιάς f = αληθής ανωμαλία γωνία μεταξύ και του διανύσματος θέσης του δορυφόρου (θετική από προς τη φορά κίνησης του δορυφόρου / τιμές 0 )
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ευθεία των αψίδων ευθεία των συνδέσμων τροχιά ισημερινός Ν Ν P P Η έλλειψη του Kepler στο χώρο επίπεδο τροχιάς κυκλικές τροχιές ( e = 0 ): δεν ορίζεται ο άξονας των αψίδων, ω και f αδιαχώριστα u = ω + f = όρισμα του πλάτους (argument of latitude)
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q 1 2
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q 1 2
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q 1 2
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) 1 2
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) 1 2
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) 1 2
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) 1 2 στροφή R 3 (ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση e N στην τελική θέση e 3 q
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) 1 2 στροφή R 3 (ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση e N στην τελική θέση e 3 q
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) 1 στροφή R 3 (ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση e N στην τελική θέση e 3 q
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ν Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R 3 (Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης e N Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q Σχέση ανάμεσα στις συντεταγμένες x (αδρανειακές) και q (σύστημα τροχιάς) : (διάνυσμα θέσης: ) στροφή R 1 (i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e 3 στη θέση e 3 q ) στροφή R 3 (ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση e N στην τελική θέση e 3 q
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου αντίστροφη σχέση x = R 1 q = R T q εξισώσεις κίνησης στο αδρανειακό σύστημα συνιστώσες της ταχύτητας = γνωστή συνάρτηση του a στοιχεία του Kepler (Keplerian elements): Ω, i, ω, a, e, M a, e :ορίζουν το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς Ω, i, ω :ορίζουν τη θέση της έλλειψης στο χώρο M(t) :ορίζει τη θέση (του πλανήτη (ή δορυφόρου) στην τροχιά την στιγμή t (διάνυσμα κατάστασης)
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κεπλέρια ελλειπτική κίνηση (κεντρικό πεδίο): όλα σταθερά εκτός από M(t) = n (t t P ) Ω, i, ω, a, e, M(t 0 ) [ή t P ] :μπορούν να προσδιοριστούν από x(t 0 ) και v(t 0 ) κατά μία αρχική εποχή t 0 x(t 0 ), v(t 0 ) =«σταθερές ολοκλήρωσης» για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης πραγματική τροχιά Κεπλέρια ελλειπτική κίνηση πλανήτες: επίδραση της έλξης των υπόλοιπων πλανητών δορυφόροι: έλξη ισημερινού εξογκώματος, διαφοροποίηση της πυκνότητας των γήινων μαζών, πρόσθετη έλξη σελήνης, ήλιου και πλανητών, άλλες επιδράσεις:ατμοσφαιρική τριβή, θαλάσσιες παλίρροιες, παλίρροιες στερεού φλοιού της γης, πίεση της ηλιακής ακτινοβολίας, κλπ Mη κεντρικό πεδίο δυνάμεων :
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κίνηση σε μη κεντρικό πεδίο δυνάμεωνπεριγραφή με στοιχεία του Kepler αλλά όλα συναρτήσεις του χρόνου: Ω(t), i(t), ω(t), a(t), e(t), M(t) διάνυσμα της κατάστασης (state vector) συνδέεται με τα στοιχεία Kepler όπου Ε(t) = E(M(t)) μέσω της λύσης της εξίσωσης του Kepler
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Στο GPS επίγειο σύστημα αναφοράς : WGS84 (World Geodetic System 1984) «ουράνιο» σύστημα αναφοράς : 3ος άξονας 1ος άξονας = τέτοιος ώστε «να μην ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της». Μη αδρανειακό σύστημα! εξαιτίας μετάπτωσης-κλόνισης, κίνησης του πόλου Δεν προσφέρεται για την ανάλυση των τροχιών με επίλυση των εξισώσεων κίνησης Διαφορικό GPS (ακρίβεια 1 cm)Σκοπός: προσδιορισμός της σχετικής θέσης 2 σημείων Α και Β (προσδιορισμός συνιστωσών της βάσης ΑΒ ) Κατά την συνόρθωση των παρατηρήσεων:Σφάλματα στα στοιχεία της τροχιάς, και σφάλματα στα στοιχεία του προσανατολισμού (επίγειου συστήματος προς αδρανειακό), ελαχιστοποιούνται = πολλαπλασιάζονται με συντελεστές της τάξης του Β/r, B = μήκος της βάσης, r = απόσταση του δορυφόρου (περίπου km). Ελαχιστοποίηση :επιτρέπει τη χρήση του μη αδρανειακού συστήματος Σχέση μεταξύ συστημάτων με κοινό 3ο άξονα:
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Tροχιές που παρέχει το σύστημα GPS στους χρήστες (κωδικοποιημένο μήνυμα που μεταδίδεται από τον δορυφόρο στο δέκτη) εμπειρικές τροχιές : (σχεδόν κυκλικές τροχιές: u = ω + f ) όπου Αντί Ω (ορθή αναφοράς του συνδέσμου ανάβασης) επίγειο μήκος του συνδέσμου ανάβασης L = Ω Θ MεMε ω e = γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης t e = εποχή αναφοράς t 0 = αρχή της τρέχουσας εβδομάδας GPS (μεσάνυχτα Σαββάτου προς Κυριακή, σε χρόνο GPS).
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS μεταδιδόμενη εφημερίδα (broadcast ephemeris) - μεταδιδόμενα στοιχεία:, L 0, Ω, i 0, i C ic, C is, C uc, C us, C rc, C rs e, M 0, Δn, t e (εποχή αναφοράς της μεταδιδόμενης εφημερίδας ) M E :αριθμητική επίλυση εξίσωσης του Kepler E f : συντεταγμένες του δορυφόρου στο WGS84 : όπου : Υπολογισμοί :
Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Τελικές σχέσεις υπολογισμού των επίγειων συντεταγμένων ( X, Y, Z ) του δορυφόρου E εξίσωση Kepler με βάση τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας