1 Βέλτιστη δρομολόγηση (optimal routing) Αντιμετώπιση της δρομολόγησης σαν «συνολικό» πρόβλημα βελτιστoποίησης. Γιατί: Η αλλαγή της δρομολόγησης μιας συνόδου μεταβάλλει τη συμφόρηση σε κάθε σύνδεσμο, άρα και τα μήκη στους υπολογισμούς των συντομότερων μονοπατιών. την καθυστέρηση που παρατηρείται από τις άλλες συνόδους. Τα παραπάνω συνιστούν ότι η δρομολόγηση πρέπει να αντιμετωπιστεί ως ένα συνολικό πρόβλημα. ο αλγόριθμος είναι καλύτερο να πραγματοποιεί μικρές αλλαγές, παρά μεγάλες αλλαγές. Μια λογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αναμενόμενο αριθμό πακέτων σε ολόκληρο το δίκτυο: από το νόμο του Little, τότε ελαχιστοποιείται και η μέση καθυστέρηση πακέτου.

2 Βέλτιστη δρομολόγηση Παραδοχές Παραδοχές: Το κόστος ενός συνδέσμου είναι μια συνάρτηση της ροής στο σύνδεσμο αυτό. Το συνολικό κόστος δικτύου είναι το άθροισμα του κόστους χρήσης όλων των συνδέσμων. Ο απαιτούμενος ρυθμός κίνησης ανάμεσα σε κάθε ζεύγος πηγής-προορισμού είναι γνωστός εκ των προτέρων. Η κίνηση μεταξύ των κόμβων ενός ζεύγους πηγής- προορισμού μπορεί να διαιρεθεί ανάμεσα σε πολλαπλά μονοπάτια με άπειρη ακρίβεια. Ζητείται να βρεθούν τα μονοπάτια (και οι αντίστοιχες ροές κυκλοφορίας), μέσω των οποίων πρέπει να δρομολογηθεί η κίνηση, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος.

3 Διατύπωση της βέλτιστης δρομολόγησης Έστω D ij (f ij ) η συνάρτηση κόστους για την χρησιμοποίηση του συνδέσμου (i,j) με ροή f ij. f ij είναι η συνολική ροή κατά μήκος του (i,j) η D ij ( f ij ) μπορεί να αναπαραστά π.χ. το μέγεθος ουράς κατά μήκος του συνδέσμου (i,j) θεωρούμε ότι η συνάρτηση D ij ( ) είναι παραγωγίσιμη Έστω D(F) το συνολικό κόστος για ένα δίκτυο με διάνυσμα ροών F = {f ij }. Θεωρούμε ότι το συνολικό κόστος είναι προσθετικό: D(F)=Σ ij D ij (f ij )

4 Kleinrock independence approximation Για παράδειγμα: αν χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση του Kleinrock (Kleinrock independence approximation), ο αναμενόμενος αριθμός πακέτων που βρίσκονται στην ουρά του συνδέσμου (i,j), ή είναι υπό εξυπηρέτηση, ή είναι «εν πτήση» ή υπό επεξεργασία στον σύνδεσμο αυτό είναι όπου F ij = ο αναμενόμενος ρυθμός δεδομένων στην (i,j) C ij = η χωρητικότητα της (i,j) (σε packets/sec) d ij = η καθυστέρηση διάδοσης και επεξεργασίας. Το πρόβλημα, τότε, ανάγεται στο να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα Σ ij D ij (f ij ), κάτω από τους περιορισμούς που ισχύουν για τα f ij.

5 Ορολογία W = το σύνολο όλων των συνόδων. P w = το σύνολο των μονοπατιών που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν από τη σύνοδο wєW. r w = ο ρυθμός των δεδομένων της συνόδου wєW. X p = ο ρυθμός δεδομένων της συνόδου w που στέλνεται κατά μήκος του μονοπατιού p є Pw. Πρόβλημα: Να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα D(F)= Σ ij D ij (f ij ) Περιορισμοί Περιορισμοί:, για όλα τα., για όλα τα.

6 Το πρόβλημα της βέλτιστης δρομολόγησης μπορεί να γραφεί: and x≥0 and x p ≥0 ή ισοδύναμα

7 Βέλτιστη λύση δρομολόγησης D(F)= Σ ij D ij (f ij ) Έστω D′ xp ( )= ∂D( )/ ∂ X p η μερική παράγωγος του D( ) ως προς x p. Τότε: D′ xp (F)= ∂D(F)/ ∂x p =Σ ij єp D′ ij (f ij ), όπου η παράγωγος D ′ ij (f ij ) εκτιμάται από τη συνολική ροή που αντιστοιχεί στον σύνδεσμο (i,j): η D ′ X p αποτελείται από τα “μήκη πρώτων παραγώγων” κατά μήκος του μονοπατιού p.

8 Βέλτιστη λύση δρομολόγησης (συνέχεια) Ας υποτεθεί τώρα, ότι X* = {x* p } είναι ένα βέλτιστο διάνυσμα ροών για κάποιο ζεύγος πηγής-προορισμού w με σύνολο μονοπατιών P w. Τότε, οποιαδήποτε μετακίνηση κυκλοφορίας από ένα μονοπάτι p σε ένα άλλο μονοπάτι p′ δεν μπορεί να μειώνει το συνολικό κόστος (αφού το X* είναι βέλτιστο). Έστω ΔD, η αλλαγή στο κόστος εξαιτίας της μετακίνησης μιας μικρής ποσότητας κυκλοφορίας δ από κάποιο μονοπάτι p, με x p * >0, σε ένα άλλο μονοπάτι p′. Τότε πρέπει ΔD=δ [∂D(Χ*)/∂x p′ - ∂D(Χ*)/∂x p ] ≥ 0. Άρα πρέπει (για να είναι το X* είναι βέλτιστο). ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ if x p ≠0, x p‘ =0

9 Συνθήκες βέλτιστου (ικανές και αναγκαίες) Συνθήκες βέλτιστου (ικανές και αναγκαίες): – οι βέλτιστες ροές μπορούν να είναι μη μηδενικές μόνο σε μονοπάτια με ελάχιστα μήκη πρώτων παραγώγων. – όλα τα μονοπάτια στα οποία η ροή r w διαμοιράζεται, πρέπει να έχουν ίδια μήκη πρώτων παραγώγων. Παράδειγμα αλγόριθμου για optimal routing: Τρέχω έναν κλασσικό shortest path αλγόριθμο με τα μήκη συνδέσμων να είναι τα μήκη πρώτων παραγώγων Στα shortest paths που προκύπτουν δρομολογώ κάθε φορά ένα ε (μικρό) ροής. Σταματώ όταν έχω στείλει όλη η ροή που ζητείται

10 Δρομολόγηση πολλαπλών προορισμών (multidestination routing - multicasting) Χρησιμοποιείται ένα δέντρο συντομότερων μονοπατιών ή οποιοδήποτε άλλο γεννητικό δέντρο, το οποίο ‘κλαδεύεται’, ώστε να περιλαμβάνει τους επιθυμητούς προορισμούς. Το πρόβλημα του βέλτιστου ‘multicast tree’ είναι NP- complete.