ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΣΚΑΡΗ ΠΕΤΡΟΥΛΑ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΤΑΣ Σε μία ειδική δίαιτα αδυνατίσματος έχει αποφασιστεί ότι η ημερήσια διατροφή πρέπει να αποτελείται από ψωμί, κρέας, λαχανικά, γαλακτομικά, φρούτα. Η δίαιτα πρέπει να επιτυγχάνει ένα συγκεκριμένο ρυθμό ελάττωσης βάρους. Για την επιτυχία του σκοπού αυτού η ποσότητα τροφής που καταναλώνεται ημερησίως δεν πρέπει να περιέχει περισσότερες από 1200 θερμίδες, περισσότερα από 100mgr ζαχάρου και περισσότερα από 30 gr λιπαρών ουσιών. Επίσης η δίαιτα πρέπει να ικανοποιεί ορισμένα ελάχιστα όρια υγιεινής διατροφής. Ημερησίως πρέπει να καταναλώνεται τουλάχιστον 100 mgr πρωτεινών και 25 mgr βιταμινών. Οι περιεκτικότητες σε θερμίδες, ζάχαρο, λιπαρά, πρωτείνες και βιταμίνες ανά μονάδα μέτρησης των διαφόρων ειδών διατροφής φαίνονται αναλυτικά στον παρακάτω πίνακα. Αντικειμενικός σκοπός της επιχείρησης είναι ο προσδιορισμός των ποσοτήτων των διαφόρων τροφών που πρέπει να καταναλώνονται ημερησίως έτσι ώστε να επιτυγχάνονται οι δύο επιδιώξεις (ρυθμός ελάττωσης βάρους και ικανοποίηση ελαχίστων ορίων υγιεινής διατροφής) και να ελαχιστοποιείται το κόστος.

Πίνακας: Περιεκτικότητες σε θερμίδες και θρεπτικά συστατικά Γνωρίζοντας ότι οι τιμές του ψωμιού,του κρέατος,των λαχανικών,των γαλακτομικών προϊόντων και των φρούτων είναι 240 δρχ./τεμ., 1900 δρχ./ κιλό,150 δρχ./κιλό, 350 δρχ./τεμ. και 75 δρχ./τεμ. Αντίστοιχα να βρεθεί το πρόβλημα εκείνο του οποίου η λύση θα επιτυγχάνει το ελάχιστο κόστος.

ΛΥΣΗ Για κάθε είδος τροφής χρησιμοποιείται μία μεταβλητή απόφασης που ορίζεται ως εξής: χ1= τεμάχια ψωμιού που καταναλώνονται ημερησίως χ2= κιλά κρέατος που καταναλώνονται ημερησίως χ3= κιλά λαχανικών που καταναλώνονται ημερησίως χ4= τεμάχια γαλακτομικών προϊόντων που καταναλώνονται ημερησίως χ5= τεμάχια φρούτων που καταναλώνονται ημερησίως

Η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να παριστάνει το ημερήσιο κόστος της δίαιτας το οποίο πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Αφού ένα τεμάχιο ψωμιού κοστίζει 240 δρχ. το ημερήσιο κόστος από την κατανάλωση χ1 τεμαχίου θα είναι 240χ1 δρχ. Σκεπτόμενοι παρόμοια βρίσκουμε ότι το κόστος των χ2 κιλών κρέατος είναι 1900 χ2, των χ3 κιλών λαχανικών 150χ3, των χ4 τεμαχίων γαλακτομικών προϊόντων 350χ4 και των χ5 τεμαχίων φρούτων 75χ5 δρχ. Επομένως το συνολικό ημερήσιο κόστος της δίαιτας είναι; Ζ=240χ1+1900χ2+150χ3+350χ4+75χ5 και πρέπει να ελαχιστοποιηθεί.

Οι μεταβλητές απόφασης χ1,χ2,χ3,χ4,χ5 παριστάνουν φυσικές ποσότητες και επομένως πρέπει να ικανοποιούν τους περιορισμούς μη αρνητικότητας χ1>=0,χ2>=0, χ3>=0, χ4>=0 και χ5>=0 Για τις θερμίδες και για ένα από τα θρεπτικά συστατικά ζάχαρο, λιπαρά, πρωτείνες και βιταμίνες υπάρχει ένας περιορισμός που πρέπει να ικανοποιείται από τις μεταβλητές απόφασης. Εφ΄όσον το ένα τεμάχιο ψωμιού περιέχει 400 θερμίδες, τα χ1 τεμάχια που καταναλώνονται ημερησίως περιέχουν 400χ1 θερμίδες. Σκεπτόμενοι παρόμοια βρίσκουμε ότι τα χ2 κιλά κρέατος περιέχουν 3000χ2, τα χ3 κιλά λαχανικά 90χ3, τα χ4 τεμάχια γαλακτομικών προϊόντων 600χ4 και τα χ5 τεμάχια φρούτων 150χ5 θερμίδες αντίστοιχα. Το πλήθος των θερμίδων που καταναλώνονται ημερησίως στη δίαιτα είναι: 400χ1+3000χ2+90χ3+600χ4+150χ5 και δεν πρέπει να υπερβαίνουν το όριο των 1200 θερμίδων.

Η μαθηματική διατύπωση του περιορισμού αυτού είναι: 400χ1+3000χ2+90χ3+600χ4+150χ5<=1200 Σκεπτόμενοι παρόμοια για το ζάχαρο και τις λιπαρές ουσίες καταλήγουμε στους περιορισμούς 35χ1+10χ4+150χ5<=100 10χ1+15χ2+25χ4<=30 Οι περιορισμοί που αναφέρονται στις πρωτείνες και τις βιταμίνες είναι λίγο διαφορετικοί. Τα mgr πρωτείνης που περιέχονται στην ημερήσια δίαιτα πρέπει να είναι τουλάχιστον 100. Πρωτείνες περιέχει το ψωμί, το κρέας και τα γαλακτομικά προϊόντα. Βρίσκουμε εύκολα ότι η ημερήσια δίαιτα περιέχει 5χ1+400χ2+20χ4 mgr πρωτείνες. Επομένως η μαθηματική διατύπωση του περιορισμού αυτού είναι: 5χ1+400χ2+20χ4>=100

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ Τέλος ο περιορισμός που αναφέρεται στις βιταμίνες είναι: 3χ1+10χ3+5χ4+20χ5>=25 Και το γραμμικό πρόβλημα του οποίου η λύση ελαχιστοποιεί το ημερήσιο κόστος γράφεται: 240χ1+1900χ2+150χ3+350χ4+75χ5 400χ1+3000χ2+90χ3+600χ4+150χ5<= χ1 + 10χ4+150χ5<=100 10χ1 + 10χ4+150χ5<=30 5χ1+15χ2 + 25χ4 >=100 3χ1 +10χ3+5χ4+20χ5>=25