ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ Για την ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού κατά Euler μπορούν να ακολουθηθούν δύο προσεγγίσεις που η κάθε μία όμως δίνει διαφορετικό είδος πληροφόρησης: Ανάλυση σε μικροσκοπικό επίπεδο ή Διαφορική ανάλυση Υπολογίζει τις μεταβολές των ροϊκών μεγεθών από σημείο σε σημείο μέσα στο πεδίο ροής. Γιαυτό το λόγο το πεδίο ροής διαιρείται σε στοιχειώδεις όγκους ελέγχου και σε κάθε ένα από αυτούς γράφονται οι εξισώσεις μεταβολής των ροϊκών μεγεθών σε διαφορική μορφή οδηγώντας σε ένα σύστημα μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Η αναλυτική επίλυση αυτού του συστήματος εξισώσεων είναι αδύνατη και γιαυτό καταφεύγουμε στις μεθοδολογίες της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής (Computational Fluid Dynamic) Ανάλυση σε μακροσκοπικό επίπεδο Οι νόμοι εξάγονται για όγκο ελέγχου που καταλαμβάνεi το υπό μελέτη τμήμα του πεδίου ροής και υπολογίζονται από αυτούς μέσες τιμές των ροϊκών μεγεθών. Αυτό το επίπεδο ανάλυσης δεν παρέχει πληροφορίες για την μεταβολή των ροϊκών μεγεθών από σημείο σε σημείο μέσα στον όγκο ελέγχου και γιαυτό αποτελεί πολύ χρήσιμο εργαλείο για μια αρχική εκτίμηση των ροϊκών μεγεθών μέσα στο υπό μελέτη πεδίο ροής.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Το γενικό πρόβλημα της μαθηματικής ανάλυσης Όλοι οι νόμοι της φυσικής έχουν προκύψει έχοντας ακολουθήσει την περιγραφή κατά Lagrange, δηλαδή έχουν προκύψει για συστήματα σταθερής μάζας. Η μαθηματική ανάλυση του πεδίου ροής ρευστού γίνεται με τη προσέγγιση Euler, δηλαδή γίνεται σε σταθερούς όγκους ελέγχου σε μέγεθος και θέση (fixed control volumes). Γιαυτό το λόγο απαιτείται η επαναδιατύπωση των νόμων της φυσικής έτσι ώστε αυτοί να μπορούν να εφαρμοστούν σε όγκους ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται με το Θεώρημα Μεταφοράς. Διατύπωση βασικών νόμων κατά Lagrange Διατύπωση βασικών νόμων κατά Euler Όγκος ελέγχου Σύστημα  t  t+dt Διατήρηση μάζας Νόμος κίνησης Newton Θεώρημα Μεταφοράς Διατήρηση ενέργειας

ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Ν = ποσότητα οποιαδήποτε ιδιότητας του ρευστού (μάζα, ενέργεια, ορμή) μέσα στο σύστημα τη χρονική στιγμή t. n = ποσότητα της ιδιότητας Ν ανά μονάδα μάζας οπουδήποτε μέσα στο ρευστό. dV = στοιχειώδης όγκος ελέγχου Ρυθμός μεταβολής μιας ιδιότητας Ν του ρευστού μέσα στο σύστημα Ρυθμός μεταβολής της ιδιότητας Ν του ρευστού μέσα στον όγκο ελέγχου Ρυθμός καθαρής εκροής της ιδιότητας Ν του ρευστού διαμέσου της επιφάνειας του όγκου ελέγχου = ταχύτητα ρευστού = διάνυσμα που αντιπροσωπεύει τη στοιχειώδη επιφάνεια dA της επιφάνειας εκροής του ρευστού. Είναι κάθετο στην επιφάνεια εκροής του όγκου ελέγχου και έχει φορά πάντα προς τα έξω. = εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (dot product) dA Όγκος ελέγχου V α Περιοχή εκροής V dA α Όγκος ελέγχου Περιοχή εισροής

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Profile ταχύτητας α2=0ο Όγκος ελέγχου dA2 Επιλέγουμε τον όγκο ελέγχου έτσι ώστε να περιλαμβάνει τα φυσικά όρια του προβλήματος και οι ροϊκές γραμμές στα σημεία εισόδου (1) και εξόδου (2) να είναι κάθετες στον όγκο ελέγχου Υποθέτουμε μόνιμη ροή Υποθέτουμε ότι η πυκνότητα δεν μεταβάλλεται κατά μήκος των επιφανειών εισόδου και εξόδου Εισάγουμε μέσες ταχύτητες u είναι η τοπική ταχύτητα ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Profile ταχύτητας α2=0ο Όγκος ελέγχου dA2 Θέση 1 ρ1, V1 Σύστημα u2 Θέση 2 ρ2, V2 u1 α1=180ο dA1 Εξίσωση συνέχειας στον όγκο ελέγχου

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Όγκος ελέγχου Profile ταχύτητας α2=0ο Σύστημα dA2 Ρυθμός εισροής θερμότητας στον όγκο ελέγχου Το έργο που αποδίδεται από το ρευστό του όγκου ελέγχου στο περιβάλλον διαιρείται σε δύο όρους: το έργο των δυνάμεων πίεσης (Wp) και το έργο ατράκτου (Ws). Το Ws>0 όταν παράγεται από το ρευστό του όγκου ελέγχου και Ws<0 όταν προσφέρεται στο ρευστό του όγκου ελέγχου ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Όγκος ελέγχου Profile ταχύτητας α2=0ο Σύστημα dA2 Θέση 1 ρ1, V1 u2 Θέση 2 ρ2, V2 u1 α1=180ο z2 dA1 Ws z1 ΕΔ=0 Για μόνιμη Ροή

Υπολογισμός Ειδικής ενέργειας e ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Υπολογισμός Ειδικής ενέργειας e ειδική δυναμική ενέργεια ρευστού eδ z = Απόσταση κέντρου μάζας ρευστού από επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργεια ειδική κινητική ενέργεια ρευστού eκ ειδική εσωτερική ενέργεια ρευστού e* Αποτελεί το άθροισμα της ενέργειας όλων των μορίων

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Απλοποιήσεις 1. Η ειδική εσωτερική ενέργεια e* του ρευστού είναι σταθερή ή ομοιόμορφη πάνω σε κάθε επιφάνεια (CS) εισόδου ή εξόδου του ρευστού από τον όγκο ελέγχου. 2. Η πίεση και η πυκνότητα θεωρούμε ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες πάνω σε κάθε επιφάνεια (CS) εισόδου ή εξόδου του ρευστού από τον όγκο ελέγχου. Η υπόθεση αυτή είναι πάντα σωστή για αγωγούς μικρής διαμέτρου όπως συμβαίνει πάντα στις περισσότερες των πρακτικών περιπτώσεων. 3. Εισαγωγή συντελεστή διόρθωσης κινητικής ενέργειας (α) για να εισαχθεί στο επιφανειακό ολοκλήρωμα που έχει τον όρο της κινητικής ενέργειας η μέση ταχύτητα αντί της τοπικής ταχύτητας. και

Εισαγωγή όρου απωλειών ενέργειας ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διαιρώντας με το ρυθμό ροής μάζας Όπου q και ws είναι η προστιθέμενη θερμότητα στον όγκο ελέγχου και το έργο ατράκτου ανά μονάδα μάζας ρέοντος ρευστού Εισαγωγή όρου απωλειών ενέργειας Κατά την ροή του ρευστού στον όγκο ελέγχου λαμβάνουν χώρα διάφορα φαινόμενα (πχ. παραγωγή θερμότητας λόγω τριβής του ρευστού με τα τοιχώματα, απότομες αλλαγές στη γεωμετρία του πεδίου ροής και ανάπτυξη διατμητικών τάσεων στο εσωτερικό του ρευστού λόγω απότομης επιτάχυνσης ή επιβράδυνσης) που δημιουργούν απώλειες ενέργειες. Οι απώλειες ενέργειας ποσοτικοποιούνται μέσω ενός εμπειρικού όρου απωλειών ενέργειας ο οποίος έχει την παρακάτω μορφή: Κ = συντελεστής απωλειών ενέργειας Vμ = μέση ταχύτητα ρευστού στον όγκο ελέγχου όπου συμβαίνουν οι απώλειες

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Γενική εξίσωση ενέργειας σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή όλοι οι όροι εκφράζουν Ενέργεια ανά μονάδα μάζας Γενική εξίσωση ενέργειας σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή όλοι οι όροι εκφράζουν Ενέργεια ανά μονάδα βάρους

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΑΤΡΙΒΗ, ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΚΑΙ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΧΩΡΙΣ ΕΡΓΟ ΑΤΡΑΚΤΟΥ Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν: Εξίσωση μηχανικής ενέργειας

ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Εάν η εξίσωση μηχανικής ενέργειας γραφεί για ροϊκό σωλήνα απειροστής διατομής, δηλαδή για μια ροϊκή γραμμή τότε οι μέσες ταχύτητες αντιπροσωπεύουν σημειακές ή τοπικές ταχύτητες και οι συντελεστές διόρθωσης κινητικής ενέργειας (α) γίνονται οριακά ίσοι με μονάδα Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν: Εξίσωση Bernoulli Μόνιμη Ροή Ατριβής Ροή Ασυμπίεστη “ H μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής ” Προϋποθέσεις Ισχύος

ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Ολικό υδραυλικό μήκος Μορφή 1 Υδραυλικό Μήκος Πίεσης (Pressure Head) Υδραυλικό Μήκος Ανύψωσης (Elevation Head) Υδραυλικό Μήκος Ταχύτητας (Velocity Head) Μορφή 2 Στατική Πίεση Υδροστατική Πίεση Δυναμική Πίεση “Κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής το άθροισμα της στατικής, της υδροστατικής και της δυναμικής πίεσης παραμένει σταθερό”

ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ α2=0ο Όγκος ελέγχου dA2 Θέση 1 ρ1, V1 u2 Σύστημα α1=180ο dA1 u1 Από το θεώρημα μεταφοράς Όπου, “Το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στον όγκο ελέγχου ισούται με το ρυθμό αύξηση της ορμής στον όγκο ελέγχου και τον καθαρό ρυθμό με τον οποίο η ορμή εξέρχεται από τον όγκο ελέγχου μέσω των επιφανειών ελέγχου”

ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Ανάλυση δυνάμεων στον όγκο ελέγχου Όγκος ελέγχου Fp2 Fτο διατμητική δύναμη συνιστώσα της τριβής Σύστημα Fτ, Δυνάμη ιξώδους Fg Fτ Fτο Fw ορθή συνιστώσα της τριβής στο τοίχωμα Fp1 Fw Επειδή οι συνιστώσες της δύναμης ιξώδους δεν μπορούν να διαχωριστούν στα περισσότερα προβλήματα ροής, αντιμετωπίζονται ως μια δύναμη Fτ η οποία ασκείται στο κέντρο βάρους του όγκου ελέγχου. Συνεπώς, η διεύθυνση και το μέγεθος της Fτ θα προσδιορίζονται κάθε φόρα από τη λύση του προβλήματος Fg Δύναμη βαρύτητας Fp Δύναμη πίεσης Για μόνιμη Ροή

ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Όγκος ελέγχου Fp2 n2 Σύστημα Fg Fτ Fp1 n1 Εισαγωγή συντελεστή διόρθωσης ορμής (β) για να εισαχθεί στο επιφανειακό ολοκλήρωμα που έχει τον όρο της ορμής η μέση ταχύτητα αντί της τοπικής ταχύτητας. και

Γενική εξίσωση ορμής σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Όμως, Γενική εξίσωση ορμής σε όγκο ελέγχου σε μόνιμη ροή Ανάλυση εξίσωσης ορμής σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Ζ