Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 4: Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνδεσμικότητας ενός γράφου Εφαρμογές: σε οποιασδήποτε μορφής δίκτυα (τηλεπικοινωνιακά, συγκοινωνιακά κ.α.) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Σύνολο αποκοπτουσών κορυφών V’ είναι το σύνολο των κορυφών ώστε ο γράφος G- V’ να μην είναι συνδεδεμένος και να μην υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του V’ με την ίδια ιδιότητα (vertex cut set, vertex separating set) Συνδεσμικότητα κορυφών VC(G) ενός γράφου G είναι το ελάχιστο k=|V’|, ώστε ο γράφος G να έχει ένα σύνολο από k αποκόπτουσες κορυφές (vertex connectivity) Ασήμαντοι & μη συνδεδεμένοι γράφοι: VC(G)=0 Πλήρεις γράφοι, δίχως αποκόπτουσες κορυφές: VC(G)=n-1 Ένας γράφος G λέγεται k-συνδεδεμένος αν VC(G)>=k Θεώρημα: Μια κορυφή δένδρου v είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν d(v)>1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Πόρισμα: Κάθε μη ασήμαντος απλός συνδεδεμένος γράφος έχει τουλάχιστον 2 κορυφές που δεν είναι αποκόπτουσες Θεώρημα: Μια κορυφή v είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κορυφές u και w (u,w<>v), ώστε η v να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από την u προς την w ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (4) Σύνολο αποκοπτουσών ακμών Ε’ είναι το σύνολο των ακμών ώστε ο γράφος G-E’ να μην είναι συνδεδεμένος, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Ε’ με την ίδια ιδιότητα (edge cut set, edge separating set) Συνδεσμικότητα ακμών EC(G) ενός γράφου G είναι το ελάχιστο k=|E’|, ώστε ο γράφος G να έχει ένα σύνολο από k αποκόπτουσες ακμές (edge connectivity) Ένας γράφος G λέγεται k-συνδεδεμένος ως προς τις ακμές αν EC(G)>=k Θεώρημα: Μια ακμή e είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κορυφές u και w, τέτοιες ώστε η e να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από την u προς την w. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (5) Θεώρημα: Μια ακμή είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν δεν περιέχεται σε κύκλο Θεώρημα Whitney: VC(G)<=EC(G)<=d(G) Πόρισμα: EC(G)<=floor(2m/n) Θεώρημα: Έστω 1<=l<=n-1. Αν d(G)>=(n+1-2)/2, τότε ο G είναι l-συνδεδεμένος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Τεμάχια Γράφου (1) Ένας δισυνδεδεμένος (biconnected) γράφος δεν έχει αποκόπτουσες κορυφές. Ένας τέτοιος γράφος αποτελεί ένα τεμάχιο ή μια δισυνιστώσα. Τεμάχιο ενός γράφου λέγεται ένας υπογράφος που είναι 2-συνδεδεμένος και έχει το μέγιστο αριθμό κορυφών. Κάθε γράφος ταυτίζεται με την ένωση των τεμαχίων του. Εσωτερικά ξένα μονοπάτια (internally disjoint paths) είναι δύο μονοπάτια με κοινές τερματικές κορυφές, χωρίς άλλες κοινές κορυφές. Θεώρημα Whitney: Ένας γράφος G με n>=3 είναι δισυνδεδεμένος αν και μόνον αν δύο οποιεσδήποτε κορυφές του είναι συνδεδεμένες με τουλάχιστον δύο εσωτερικά ξένα μονοπάτια. Πόρισμα: Αν ένας γράφος G είναι δισυνδεδεμένος, τότε δύο οποιεσδήποτε κορυφές του ανήκουν σε έναν κύκλο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Τεμάχια Γράφου (2) Πόρισμα: Αν ένας γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο με n>=3, τότε δύο οποιεσδήποτε ακμές του ανήκουν σε έναν κύκλο. Θεώρημα Menger: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από μία κορυφή u σε μια κορυφή v ενός συνδεδεμένου γράφου ισούται με τον ελάχιστο αριθμό κορυφών, που χωρίζουν τις κορυφές u και v. Θεώρημα: Ένας γράφος είναι k-συνδεδεμένος αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κορυφών ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Τεμάχια Γράφου (3) Θεώρημα: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από μία κορυφή u σε μια κορυφή v ενός συνδεδεμένου γράφου ισούται με τον ελάχιστο αριθμό ακμών, που χωρίζουν τις κορυφές u και v. Θεώρημα: Ένας γράφος G είναι k-συνδεδεμένος ως προς τις ακμές, αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κορυφών ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (1) Δεν υπάρχει αποτελεσματικός αλγόριθμος για τη διαπίστωση της ισομορφικότητας δύο γράφων. Πρώτη λύση (η χειρότερη): Κρατάμε τον ένα γράφο σταθερό και επαναδιατάσσουμε τις επιγραφές των κορυφών του άλλου, για να ελέγξουμε αν οι αντίστοιχοι πίνακες γειτνίασης είναι ίδιοι. Εκτελούμε n2 ελέγχους θέσεων του πίνακα γειτνίασης για n! γράφους. Άρα η πολυπλοκότητα είναι τάξης Ο(n!n2)=O(nn) Δεύτερη λύση: Αν ο γράφος είναι αποθηκευμένος με πίνακα πρόσπτωσης, τότε αρκεί ο πίνακας του ενός γράφου να μετασχηματίζεται στον πίνακα του άλλου με τη βοήθεια αντιμεταθέσεων γραμμών ή/και στηλών. Επίσης μη αποτελεσματική. Υπάρχουν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι μόνο για ειδικές περιπτώσεις γράφων. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (2) Τεχνάσματα για την εύκολη διαπίστωση αν δύο γράφοι δεν είναι ισομορφικοί: Ίδια τάξη? Ίδιο μέγεθος? Ίδια ακολουθία βαθμών? Ίδιος αριθμός συνιστωσών? Για κάθε συνιστώσα του (4) απαντώνται θετικά οι πρώτες τρεις ερωτήσεις; Έχουν οι δύο γράφοι το ίδιο χρωματικό πολυώνυμο; Για n<8, αν όλες οι ερωτήσεις απαντηθούν θετικά, τότε οι γράφοι είναι ισομορφικοί (έχει αποδειχθεί). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (3) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (4) Τα τεμάχια του πρώτου γράφου είναι ισομορφικά προς τις συνιστώσες του δεύτερου γράφου. Δύο γράφοι είναι 1-ισομορφικοί αν καθίστανται ισομορφικοί μετά την επανειλλημένη διάσπαση των αποκοπτουσών κορυφών. Αν ο γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο, τότε η έννοια της 1-ισομορφικότητας ταυτίζεται με την έννοια της ισομορφικότητας. Θεώρημα: Αν δύο γράφοι είναι ισομορφικοί, τότε η σειρά και η μηδενικότητά τους είναι ίσες. Δύο γράφοι έχουν αντιστοιχία κύκλων, αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ακμών και κύκλων, έτσι ώστε ένας κύκλος του πρώτου γράφου να έχει αντίστοιχο κύκλο στο δεύτερο γράφο, που αποτελείται από τις αντίστοιχες ακμές. Θεώρημα: Δύο 1-ισομορφικοί γράφοι έχουν αντιστοιχία κύκλων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (5) Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν καθίστανται ισομορφικοί μετά την επανειλημμένη εφαρμογή μιας ή και των δύο από τις πράξεις διαδοχικής διάσπασης των αποκοπτουσών κορυφών Διαχωρισμό κάποιου γράφου σε δύο ξένους υπογράφους, που έχουν 2 ζεύγη κοινών κορυφών και επανασύνδεση των υπογράφων ταυτοποιώντας τις κορυφές με διαφορετικό τρόπο Δύο ισομορφικοί γράφοι είναι 1-ισομορφικοί, δύο 1-ισομορφικοί γράφοι είναι 2-ισομορφικοί. Το αντίθετο δεν ισχύει ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (5) Θεώρημα: Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν και μόνον αν έχουν αντιστοιχία κύκλων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (1) Αλγόριθμοι αναζήτησης με προτεραιότητα πλάτους και αναζήτησης με προτεραιότητα βάθους, για: απλή επίσκεψη των κόμβων ενός γράφου για διαπίστωση αν ο γράφος είναι συνδεδεμένος και την εύρεση των συνιστωσών την εύρεση των αποστάσεων από κάποια κορυφή προς τις υπόλοιπες ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (2) Αλγόριθμος BFS του Moore (1959): Είσοδος: ένας γράφος G με επιγραφές και μία κορυφή Έξοδος: οι αποστάσεις από την κορυφή x προς όλες τις κορυφές που είναι προσπελάσιμες από αυτήν Θέτουμε Στην κορυφή x θέτουμε την επιγραφή i Βρίσκουμε όλες τις κορυφές χωρίς επιγραφές που είναι γειτονικές προς τουλάχιστον μία κορυφή με επιγραφή i Αν δεν υπάρχει καμία τέτοια κορυφή, τότε ο γράφος εξαντλήθηκε. Θέτουμε την επιγραφή i+1 σε όλες τις κορυφές που βρέθηκαν στο Βήμα 2 Πηγαίνουμε στο Βήμα 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (3) Θεώρημα: Όταν ο αλγόριθμος BFS σταματά, τότε σε κάθε κορυφή προσπελάσιμη από την κορυφή x έχει δοθεί μία επιγραφή με την απόστασή της από την x. Πολυπλοκότητα Ο(|Ε|), αν ο γράφος είναι υλοποιημένος με λίστα γειτνίασης Μέθοδος αναζήτησης με προτεραιότητα βάθους (DFS): αν από την κορυφή v0 προσπελασθεί η v1, τότε η διαδικασία συνεχίζεται προς κάποια νέα γειτονική της v1 και όχι της v0. Αν προσεγγισθεί κάποια κορυφή από όπου είναι αδύνατο η διαδικασία να συνεχισθεί σε μία μη ήδη επισκεφθείσα κορυφή, τότε η διαδικασία συνεχίζει από την προηγούμενη της τρέχουσας κορυφής και πάλι με την ίδια τεχνική. Το σύνολο των ακμών που χρησιμοποιούνται σε μία αναζήτηση DFS είναι οι ακμές ενός δένδρου. Έτσι, ο αλγόριθμος διακρίνει δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα ακμών: το σύνολο Τ των ακμών που περιέχονται στα δένδρα του δάσους και ονομάζονται δενδρικές ακμές το σύνολο B=E-T των υπόλοιπων ακμών που ονομάζονται οπίσθιες ακμές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (4) Αλγόριθμος DFS των Hopcroft-Tarjan (1973): Είσοδος: ένας γράφος G με επιγραφές και μία κορυφή Έξοδος: ένα σύνολο Τ δενδρικών κορυφών και μία αρίθμηση dfi(v) Για κάθε θέτουμε, Για κάθε θέτουμε Θέτουμε , όπου x η κορυφή από όπου θα αρχίσει η αναζήτηση Θέτουμε και Αν η κορυφή v δεν έχει μη χρησιμοποιημένες προσπίπτουσες ακμές, τότε πηγαίνουμε στο Βήμα 5 Βρίσκουμε μία μη χρησιμοποιημένη προσπίπτουσα ακμή e=(u,v) και θέτουμε Θέτουμε Αν , τότε πηγαίνουμε στο Βήμα 3 αλλιώς εκτελούνται οι εντολές: θέτουμε , πηγαίνουμε στο Βήμα 2 Αν τότε ο αλγόριθμος σταματά, αλλιώς εκτελούνται οι εντολές: θέτουμε πηγαίνουμε στο Βήμα 3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (5) Θεώρημα: Κάθε οπίσθια ακμή (u,v) που προκύπτει κατά την αναζήτηση DFS ενός μη κατευθυνόμενου γράφου με προτεραιότητα βάθους ενώνει κορυφές που βρίσκονται σε σχέση απογόνου/προγόνου. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (6) Αλγόριθμος για την ανεύρεση τεμαχίων του γράφου: Αρκεί να εντοπιστούν οι αποκόπτουσες κορυφές. Αυτές εντοπίζονται: 1. Αν μία αποκόπτουσα κορυφή v είναι η ρίζα ενός δένδρου που σχηματίζεται κατά την αναζήτηση με προτεραιότητα βάθους, τότε πρέπει η κορυφή v να έχει περισσότερο από έναν απόγονο. 2. Αν μία αποκόπτουσα κορυφή v δεν είναι ρίζα, τότε πρέπει η κορυφή v να έχει ένα γιο s τέτοιο ώστε κάποιος απόγονος του s (συμπεριλαμβανομένου και του ίδιου του s) να συνδέεται με έναν πρόγονο της v μέσω μιας οπίσθιας ακμής το μέγιστο. Για κάθε κορυφή v ορίζεται εκτός από την df i(v) και μία επιπλέον μεταβλητή, η l(v), που δηλώνει τη μικρότερη από τις επιγραφές df i(v) και df i(s), όπου s είναι είτε απόγονος της v, είτε πρόγονος μέσω μιας το πολύ οπίσθιας ακμής, που ενώνει τον πρόγονο αυτό με έναν απόγονο της v. Άρα η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η l(v) είναι df i(v). Άρα για να ισχύει το 2, πρέπει l(s)>= df i(v) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (7) Αλγόριθμος για την ανεύρεση τεμαχίων του γράφου: Αρχικά θέτουμε την τιμή της l(v) ίση με τη μέγιστη δυνατή, δηλαδή df i(v). Ο υπολογισμός της l(v) γίνεται θέτοντας την τιμή της ίση με το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου όπου s απόγονος της v} {df i(w)|όπου (v,w) μία οποίσθια ακμή} Η τιμή l(v) ενημερώνεται όποτε προσπελάζεται ένας γιος s, τέτοιος ώστε l(v)>=l(s) ή όποτε βρίσκεται μία οπίσθια ακμή. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με τη βοήθεια μιας στοίβας. Αποκόπτουσες κορυφές είναι όσες l(u)>=dfi(v) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (8) Τροποποιημένος Αλγόριθμος DFS: Είσοδος: ένας γράφος G με επιγραφές και μία κορυφή Έξοδος: οι κορυφές σε κάθε τεμάχιο του G 1. Θέτουμε και αδειάζουμε τη στοίβα. 2. Για κάθε θέτουμε 3. Ενώ df i(v)=0 για κάποιο v καλούμε την findblocks(v,0). Διαδικασία findblocks(v,w) 1. Θέτουμε, 2.Για κάθε Αν df i(v)=0, τότε εκτελούνται τα παρακάτω βήματα Η ακμή (u,v) μπαίνει στη στοίβα αν δεν είναι ακόμη εκεί Καλείται η findblocks(u,0) Θέτουμε ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (9) Αν l(u)>=dfi(v), τότε απωθούνται από τη στοίβα και δίνονται στην έξοδο όλες οι ακμές από την κορυφή της στοίβας μέχρι και την ακμή (u,v) (στο στάδιο αυτό η v είναι είτε ρίζα είτε αποκόπτουσα κορυφή) Αλλιώς, αν df i(u)<df i(v) και u<>w τότε εκτελούνται: Ωθούμε την ακμή (v,w) στη στοίβα Θέτουμε ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων