Μαθηματικές καταγραφές Αιγυπτιακά μαθηματικά Θεώρημα του Πυθαγόρα Ημικυκλικό διδασκαλείο Μαθηματικά Βαβυλωνίων Ανακαλύψεις Τέχνη Ιδιότητες Κορυφαίοι μαθηματικοί Αστρονομία

Από τα παλιά χρόνια μέχρι και σήμερα πολλοί άνθρωποι και πολιτισμοί έχουν ασχοληθεί και συνεχίζουν να ασχολούνται με τα μαθηματικά για την επίλυση των καθημερινών τους προβλημάτων.

Στην Τσεχία της Δυτικής Ευρώπης βρέθηκε μια κερκίδα λύκου με 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά 5 οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων.

Δύο πολιτισμοί οι οποίοι υπήρξαν σημαντικοί στην ιστορία και την εξέλιξη των μαθηματικών ήταν οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι.

Οι Βαβυλώνιοι είχαν μεγάλη πρόοδο στην αστρολογία και στα μαθηματικά Οι Βαβυλώνιοι είχαν μεγάλη πρόοδο στην αστρολογία και στα μαθηματικά. Ήταν οι πρώτοι που δημιούργησαν τα αστεροσκοπεία και ήταν αυτοί που ανακάλυψαν το Πυθαγόρειο θεώρημα. Επιπρόσθετα, έλυναν εξισώσεις πρώτου και δευτέρου βαθμού και υπολόγιζαν το εμβαδόν γεωμετρικών σχημάτων.

Οι Αιγύπτιοι έγραφαν τα κείμενα τους σε πάπυρους Οι Αιγύπτιοι έγραφαν τα κείμενα τους σε πάπυρους. Δύο από τους πιο σημαντικούς πάπυρους ήταν ο Πάπυρος του Ράιντ και της Μόσχας. Ο πρώτος ήταν ένα βοήθημα για τους μαθητές για την αριθμητική και την γεωμετρία. Ο δεύτερος αποτελεί αυτά που αποκαλούμε σήμερα προβλήματα, τα οποία προορίζονταν για ψυχαγωγία.

Οι αισθήσεις γοητεύονται από τις σωστές αναλογίες Άγιος Θωμάς ο Ακινάτης (1225-1274)

Εισαγωγή Τι κοινό έχουν εντελώς διαφορετικά φυσικά φαινόμενα όπως η διάταξη των σπόρων ενός ηλιοτροπίου, η καλαίσθητη σπείρα στο Κέλυφος κάποιων σαλιγκαριών και οι βραχίονες του Γαλαξία μας; Ποιο γεωμετρικό μοντέλο ανυπέρβλητης αρμονίας κρύβεται στο έργο σπουδαίων καλλιτεχνών και αρχιτεκτόνων, από το Βιτρούβιο ως τον Λε Κορμπυζιέ και από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι έως και τον Σαλβαδόρ Νταλί;

Όσο απίστευτο και αν φαντάζει η απάντηση στα δύο αυτά ερωτήματα είναι ένα απλό νούμερο. Αριθμός ταπεινός που στο πέρασμα του χρόνου άσκησε πολύ μεγάλη γοητεία στα λαμπρά πνεύματα της κάθε εποχής. Ανά τους αιώνες έχει γνωρίσει διάφορες ονομασίες: χρυσός αριθμός, θεία αναλογία κ.α . Είναι ο αριθμός της φύσης της ωραιότητας, της αρχιτεκτονικής, της αρμονίας, της μουσικής, των λουλουδιών, των πλανητών, είναι ο αριθμός του σύμπαντος.

Ο Johaness Kepler δήλωσε το 1618 «Η αρχαία Ελλάδα προίκισε τη γεωμετρία με δύο ανυπέρβλητους θησαυρούς. Ο πρώτος είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο δεύτερος, ο χωρισμός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με χρυσάφι και τον δεύτερο μ’ ένα πολύτιμο διαμάντι…»

Ιστορικά στοιχεία Την χρυσή τομή εισήγαγε ο Πυθαγόρας. H Χρυσή τομή Φ δηλώνει μια αναλογία. H αναλογία αυτή είναι περίπου 1/1,618 Ιστορικά στοιχεία

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ «Φ» Ο «φ» είναι ο αριθμός της ομορφιάς και της αναλογίας. Ο Λούκα Πατσιόλι τον ονόμασε «θεία αναλογία». Ο όρος «χρυσός κανόνας» χρησιμοποιήθηκε το 1545.

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ «Φ» Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι τον ονόμασε «χρυσό αριθμό». Ως «χρυσή τομή» χρησιμοποιήθηκε το 1835 από τον Γερμανό μαθηματικό Martin Ohm. Πολύ αργότερα ο Αμερικανός Μαρκ Μπαρ θα χρησιμοποιούσε το ελληνικό γράμμα φι, προς τιμή του γλύπτη Φειδία.

Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π. χ. - 265 π. χ Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.χ. - 265 π.χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.χ. - 283 π.χ.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος αλλά κυρίως οργανωτής που συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες προσωπικότητες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους. Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία.

«Στοιχεία» του Ευκλείδη ΑΚΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΣΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΥΘΕΙΑ ΤΕΤΜΗΣΘΑΙ ΛΕΓΕΤΑΙ, ΌΤΑΝ Η ΩΣ Η ΟΛΗ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΕΙΖΟΝ ΤΜΗΜΑ, ΟΥΤΩΣ ΤΟ ΜΕΙΖΟΝ ΠΡΟΣ ΤΟ ΕΛΑΤΤΟΝ.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Ζητάμε να διαιρεθεί ένα τμήμα ΑΒ, σε δύο άνισα τμήματα ΑΓ, ΓΒ ώστε το μεγαλύτερο από αυτά να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου και του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος. Οπότε αν το ΑΓ είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα στα οποία χωρίζει το ΑΒ από το Γ, θα πρέπει να ισχύει η σχέση ΑΒ ΑΓ = ΑΓ ΓΒ ↔ ΑΓ 2 =ΑΒ∙ΓΒ

Η αναλογία ΑΒ ΑΓ = ΑΓ ΓΒ ονομάζεται αναλογία της χρυσής τομής. Αν χ= ΑΒ ΑΓ τότε 𝜒 2 -χ-1=0. Η θετική ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός φ= 1+ 5 2 ≅1,618 Ο φ είναι άρρητος αριθμός. Με ακρίβεια 30 δεκαδικών ψηφίων είναι ο εξής: 1,618033988749894848204586834365

Ιδιότητες του αριθμού φ Αφού 𝜑 2 −𝜑−1=0 τότε 𝜑 2 =1+𝜑→𝜑= 1+𝜑 Η σχέση αυτή οικοδομεί έναν άλλο ορισμό του φ Φ= Αυτό μπορεί να συνεχίζεται επ΄άπειρον 1 1 1 1 1…

Επίσης 𝜑 2 =1+φ↔𝜑=1+ 1 𝜑 οπότε: Φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+… Αυτό μπορεί να συνεχίζεται επ’ άπειρον.

Επιπλέον 𝜑 3 = 𝜑 2 ∙𝜑= 𝜑+1 ∙𝜑= 𝜑 2 +𝜑 𝜑 4 = 𝜑 3 ∙𝜑= 𝜑 2 +𝜑 ∙𝜑= 𝜑 3 + 𝜑 2 Προκύπτει ότι 𝜑 𝜈 = 𝜑 𝜈−1 + 𝜑 𝜈−2 ,𝜈≥2 Αυτό σημαίνει πως κάθε δύναμη του φ ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων δυνάμεων.

Μπορούμε να βρούμε άλλες ισότητες των δυνάμεων του φ όπου θα μετέχει μόνο η τιμή του φ και φυσικοί αριθμοί. 𝜑 3 =2𝜑+1 𝜑 4 =3𝜑+2 𝜑 5 =5𝜑+3 𝜑 2 =1𝜑+1 𝜑 6 =8𝜑+5 𝜑 7 =13𝜑+8 𝜑 8 =21𝜑+13  

Leonardo Pisano(Fibonacci) Γεννήθηκε το 1175 μ.χ στην Πίζα της Ιταλίας. Εισήγαγε στην Ευρώπη το «Ινδοαραβικό» δηλαδή το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Το βιβλίο του Liber abaci (βιβλίο των υπολογισμών) ολοκληρώθηκε το 1202

Το πρόβλημα των κουνελιών Τα κουνέλια ποτέ δεν πεθαίνουν. Η ηλικία γονιμοποίησης για κάθε ζευγάρι είναι ένας μήνας, οπότε και ξεκινούν το ζευγάρωμα. Ο χρόνος κύησης είναι ένας μήνας και κάθε ζευγάρι γεννά πάντα στον ένα μήνα άλλο ένα ζευγάρι. Ένα από τα θέματα που ασχολείται στο Liber abaci είναι το πρόβλημα: Πόσα ζευγάρια κουνέλια μπορούν να γεννηθούν μέσα σε ένα χρόνο από ένα νεογέννητο ζευγάρι, αν κάθε ζευγάρι γεννάει κάθε μήνα ένα ζευγάρι ,το οποίο από το δεύτερο μήνα αρχίζει να γεννά

Επίλυση Στο τέλος του πρώτου μήνα το αρχικό ζευγάρι ζευγαρώνει αλλά τα ζευγάρια είναι ακόμα ένα. Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζευγάρι, έτσι έχουμε δύο ζευγάρια κουνελιών. Στο τέλος του τρίτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γεννά ξανά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών ενώ το δεύτερο ζευγαρώνει και τα ζευγάρια μας είναι τρία. Στο τέλος του τέταρτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γεννά ακόμα ένα ζευγάρι αλλά και το δεύτερο ζευγάρι το ίδιο κι έτσι έχουμε πέντε ζευγάρια.

Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Μήνας 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος Ζεύγη 1 2 3 5 Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Κάθε όρος ξεκινώντας από τον τρίτο ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Ονομάστηκε ακολουθία Fibonacci τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Eduard Lucas (1842-1891).

Ακολουθία Fibonacci Η ακολουθία Fibonacci δίνεται από τον αναδρομικό τύπο 𝛼 𝜈 = 𝛼 𝜈−1 + 𝛼 𝜈−2 για ν≥3 𝜇𝜀 𝛼 1 =1 και 𝛼 2 =1 Διαιρώντας τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci φαίνεται ότι τα αποτελέσματα τείνουν στο χρυσό αριθμό φ 3/2=1.5 5/3=1.66666666 8/5=1.6 13/8=1.625 21/13=1.615384615 34/21=1.61904761 55/34=1.617647059 89/55=1.61818181 lim 𝜈→∞ 𝛼 𝜈+1 𝛼 𝜈 =𝜑

Γενικός όρος Το 1843 ο Γάλλος μαθηματικός Ζακ Μπινέ ανέπτυξε έναν τύπο για να εντοπίζει οποιονδήποτε αριθμό της ακολουθίας Fibonacci Φ= 1+ 5 2 𝛼 𝜈= 1 5 1+ 5 2 𝜈 − 1− 5 2 𝜈 ,ν≥1

Blaise Pascal Ο Blaise Pascal (1623-1662) ήταν Γάλλος μαθηματικός, φυσικός συγγραφέας και φιλόσοφος. Άρχισε να μελετάει γεωμετρία σε ηλικία 12 ετών. Κατασκεύασε μια αριθμομηχανή που μπορούσε να κάνει πρόσθεση και αφαίρεση που ονομάστηκε πασκαλίνα Μία από τις πιο γνωστές μαθηματικές μελέτες του είναι αυτό που ονομάζουμε τρίγωνο Pascal.

Τρίγωνο Pascal Το τρίγωνο του Pascal είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές του αναπτύγματος της ταυτότητας 𝛼+𝛽 𝜈

Στο τρίγωνο Pascal το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων δημιουργούν την ακολουθία Fibonacci

Γεωμετρική κατασκευή της χρυσής τομής

Βήμα 1 Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές α και α/2

Βήμα 2 Με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΒ=α/2 σχεδιάζουμε τον κύκλο (Ο,α/2) που τέμνει την ΑΟ στα σημεία Δ και Ε

Βήμα 3 Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΔ σχεδιάζουμε τον κύκλο (Α,ΑΔ) που τέμνει το ΑΒ στο Γ. Το Γ χωρίζει το ΑΒ σε λόγο χρυσής τομής

ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Έστω δυο ορθογώνια με πλευρές M, m (M > m) και Q, q (Q>q). Μπορούμε να δείξουμε ότι δυο ορθογώνια είναι όμοια αρκεί να τα τοποθετήσουμε , ώστε η μια κορυφή τους να ταυτίζεται και να τραβήξουμε μια διαγώνιο που θα ξεκινάει από αυτήν. Αν συμπίπτει και στα δύο ορθογώνια τότε αυτά είναι όμοια. Ένα ορθογώνιο λέγεται χρυσό αν ο λόγος των πλευρών του είναι φ , δηλαδή M/m=φ. Ένα ε

Κατασκευή χρυσού ορθογωνίου με πλευρές M,m Βήμα 1 Ξεκινάμε από ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευρά του οποίου θα είναι η μικρότερη του ΧΟ που θα κατασκευάσουμε (ΑΒ=m)

Το μήκος του ΑΕ είναι το μήκος M του ΧΟ που αναζητούμε Βήμα 2 Θεωρούμε το μέσον Ο του ΑΒ.Με κέντρο Ο και ακτίνα ΟΓ σχεδιάζουμε ένα τόξο που τέμνει την προέκταση του ΑΒ στο σημείο Ε. Το μήκος του ΑΕ είναι το μήκος M του ΧΟ που αναζητούμε m M

Στη συνέχεια φτιάχνουμε τη κάθετο της ΑΒ στο σημείο Ε. Το ΑΕΖΔ είναι ΧΟ με πλευρές M ,m Βήμα 3 m M

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα Χ.Ο με πλευρές M,m (M>m ) τότε Μ /m = φ Αν τοποθετήσουμε στη μεγαλύτερη πλευρά του ΧΟ ΑΒΓΔ ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με (Μ) θα προκύψει ένα χρυσό ορθογώνιο ΑΕΖΔ. Τo ίδιο ισχύει όταν από το ΑΒΓΔ αφαιρέσουμε ένα τετράγωνο με πλευρές ίσης με τη μικρότερη (m) προκύπτει ένα χρυσό ορθογώνιο μικρότερο με πλευρές m, M-m (γιατί M/m=(M+m)/m=m/(M-m)=φ ).

Αναγνώριση χρυσού ορθογωνίου Υπάρχει ένας απλός τρόπος που χωρίς μετρήσεις μας επιτρέπει να καταλάβουμε αν ένα ορθογώνιο είναι χρυσό. Παίρνουμε δύο ίσα ορθογώνια το ένα οριζόντια το άλλο κάθετα, με τις πλευρές τους ενωμένες. Ενώνουμε τις κορυφές Α και Β με μια ευθεία γραμμή .Αν η γραμμή αυτή περνά ακριβώς πάνω από την κορυφή C , τότε έχουμε να κάνουμε με δυο ΧΟ (Ιδιότητα που βασίζεται στο θεώρημα του Θαλή).

Αν αφαιρέσουμε από το ΧΟ AEFD ένα τετράγωνο ABCD προκύπτει ένα ορθογώνιο BEFC που επίσης είναι χρυσό.Αν τραβήξουμε τις διαγωνίους DE,BF ή τις AF,CE θα διαπιστώσουμε ότι τέμνονται κάθετα.

Τέλος μια απρόσμενη ιδιότητα των Χ.Ο είναι η εξής Αν μέσω διαδοχικών αφαιρέσεων σχεδιάζουμε ολοένα και πιο μικρά ΧΟ και φέρουμε όπως πριν τις δυο διαγωνίους (2η περίπτωση) θα παρατηρήσουμε ότι είναι όλες πάνω σε δυο ευθείες. Οπότε το σημείο τομής αυτών των διαγωνίων παραμένει σταθερό. Αυτή η απίστευτη ιδιότητα είναι αποκλειστική των ΧΟ Το σημείο Ο είναι ένα είδος δίνης , μια μορφή μαύρης τρύπας , ένα σημείο άπειρης έλξης όπου συναντιούνται άπειρα ΧΟ. Το συγκεκριμένο σημείο αποκαλείται << μάτι του Θεού>>.

Χρυσά τρίγωνα Το ισοσκελές αμβλυγώνιο τρίγωνο με γωνία κορυφής 108 𝜊 είναι επίσης χρυσό (καλείται και χρυσός γνώμονας) Ένα ισοσκελές τρίγωνο λέγεται χρυσό ,όταν ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή είναι ίσος με φ. Κάθε ισοσκελές τρίγωνο με γωνία κορυφής 36 𝜊 είναι χρυσό (ΧΤ)

Αν φέρουμε τη διχοτόμο ΑΓ στο ΧΤ ΑΟΒ ,τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΒΑΓ είναι όμοια , οπότε ΟΒ/ΑΒ=ΟΓ/ΓΒ=φ Η διχοτόμος ΑΓ δημιουργεί στην απέναντι πλευρά χρυσή τομή

Κανονικό πεντάγωνο Μέσω ενός ΧΤ μπορούμε να κατασκευάσουμε κανονικό δεκάγωνο και κατ΄ επέκταση κανονικό πεντάγωνο με κανόνα και διαβήτη Είναι προφανής η εμφάνιση ΧΤ στο κανονικό πεντάγωνο

Ο Πυθαγόρας, γεννημένος στην Σάμο, ασχολήθηκε με την διδασκαλεία της γεωμετρίας, την μουσική και την φυσική. Κατασκεύασε το ημικυκλικό διδασκαλείο και ανακάλυψε την αριθμητική ερμηνεία του σύμπαντος. Ακόμη, ανακάλυψε την οκτάβα και τον μείζονα τόνο. Τέλος, σε αυτόν αποδίδεται το, σε όλους γνωστό, ‘Πυθαγόρειο’ θεώρημα.

Το αστέρι των Πυθαγορείων Οι διαγώνιες του πενταγώνου δημιουργούν ένα πεντάγωνο αστέρι (ή πεντάλφα) το οποίο αποτελούσε το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων Στις κορυφές του τοποθετούσαν τα γράμματα της λέξεως υγεία και αποτελούσε σημείο αναγνώρισης και σύμβολο ιερό

Ιδιότητες Κάθε πλευρά του πενταγράμμου διαιρεί τις άλλες δύο σε λόγο χρυσής τομής Οι διαγώνιες σχηματίζουν ένα μικρότερο πεντάγωνο στο κέντρο του οποίου οι διαγώνιοι σχηματίζουν ένα πεντάγραμμο και ένα μικρότερο πεντάγωνο κ.ο.κ(αυτομοιότητα) Κάθε ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο από το προηγούμενό του κατά ένα παράγοντα ίσο με φ

Χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο Είναι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η μεγάλη κάθετη πλευρά y είναι μέση ανάλογος των δυο άλλων πλευρών του x,z Η γωνία που είναι απέναντι από την πλευρά y είναι περίπου 51 0 50

Χρυσή γωνία Αν διαιρέσουμε έναν κύκλο σε δύο τόξα στο λόγο της χρυσής τομής, η επίκεντρη γωνία του μικρότερου τόξου σχηματίζει τη χρυσή γωνία που είναι περίπου 137,5 μοίρες 137,5

Σπείρες Η Σπείρα είναι ένα από τα αρχαιότερα σύμβολα και χρησιμοποιείται από την παλαιολιθική εποχή στον Ελλαδικό χώρο. Τις σπείρες τις συναντάμε σε αρχαίους πολιτισμούς του κόσμου, κυρίως στην Ελλάδα.

ΣΠΕΙΡΕΣ Σπείρα του Αρχιμήδη Λογαριθμική (ισογώνια) σπείρα Το πλάτος μεταξύ δύο διαδοχικών περιστροφών παραμένει σταθερό Η γωνία που σχηματίζεται από μια ακτίνα της σπείρας και την εφαπτομένη είναι πάντα η ίδια

Χρυσή σπείρα (1) Ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο (ΧΟ) από το οποίο αφαιρούμε διαρκώς τετράγωνα προκειμένου να προκύψουν νέα ΧΟ Σε καθένα από τα τετράγωνα που αφαιρούμε σχεδιάζουμε ένα τεταρτοκύκλιο (σχήμα)

Χρυσή σπείρα (2) Ξεκινάμε με ένα χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο (ΧΤ) το οποίο διαιρούμε συνεχώς σε άλλα μικρότερα ΧΤ (ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο) Διαγράφουμε τόξα κύκλων με κέντρα τις κορυφές των ΧΤ και ακτίνα μια πλευρά τους

Η σπείρα του Fibonacci Δημιουργούμε μια διάταξη από τετράγωνα με πλευρές 1,1,2,3,5,8,13 21,34,…δηλαδή αριθμούς Fibonacci

Κατασκευή Βάζουμε δίπλα-δίπλα τα δύο πρώτα τετράγωνα πλευράς 1 61

Κατασκευή Δίπλα τοποθετούμε τετράγωνο με πλευρά 2 62

Κατασκευή Συνεχίζουμε με τετράγωνο πλευράς 3 και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με τετράγωνα πλευρών 5,8,13,21,34,… 63

64

65

66

67

34 68

Ενώνοντας τα τεταρτοκύκλια των τετραγώνων σχηματίζεται η σπείρα 34 69

Η σπείρα Fibonacci προσεγγίζει την χρυσή σπείρα 34 70