Στατιστική Ι Παράδοση 9 Ο Δείκτης Συσχέτισης

Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ μεταξύ δύο μεταβλητών Δηλαδή, μας ενδιαφέρει να διαπιστώσουμε κατά πόσο οι τιμές που παίρνει μια μεταβλητή επηρεάζονται από τις τιμές που παίρνει η άλλη μεταβλητή Η συσχέτιση αναφέρεται την ισχύ και την κατεύθυνση της γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών. Γενικά στη στατιστική, ο όρος αναφέρεται στην αποχώρηση δύο μεταβλητών από την ανεξαρτησία. Με απλά λόγια, ο όρος συσχέτιση αναφέρεται στο βαθμό της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών. Υπάρχουν πολλοί δείκτες συσχέτισης, ο δημοφιλέστερος εκ των οποίων είναι ο pearson’s product moment correlation coefficient. Ο δείκτης αυτός προκύπτει διαιρώντας την συνδιακύμανση των δύο μεταβλητών από το γινόμενο (product) των τυπικών αποκλίσεών τους. Ο οποίος δημιουργήθηκε από τον Francis Galton. Συνδιακύμανση: For the physics topics, see covariant transformation; about the mathematics example for groupoids, see covariance in special relativity; for the computer science topic see covariance and contravariance (computer science), in mathematics and theoretical physics see covariance and contravariance of vectors, in category theory see covariance and contravariance of functors. In probability theory and statistics, covariance is the measure of how much two variables change together (as distinct from variance, which measures how much a single variable changes). If two variables tend to vary together (that is, when one of them is above its expected value, then the other variable tends to be above its expected value too), then the covariance between the two variables will be positive. On the other hand, if one of them is above its expected value and the other variable tends to be below its expected value, then the covariance between the two variables will be negative. The units of measurement of the covariance Cov(X, Y) are those of X times those of Y. By contrast, correlation, which depends on the covariance, is a dimensionless measure of linear dependence. Random variables whose covariance is zero are called uncorrelated

ΖΗΤΑΜΕ ΝΑ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΟΥΜΕ: Παράδειγμα Θέλουμε να μελετήσουμε τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στη νοημοσύνη και την ικανότητα του ατόμου να επεξεργάζεται αριθμητικές έννοιες (αριθμητικός συλλογισμός) ΖΗΤΑΜΕ ΝΑ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΟΥΜΕ: Κατά πόσο η μεταβολή στις τιμές της ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ επιφέρουν αλλαγές στην επίδραση της ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ Positive covariance- indicates that higher than average values of one variable tend to be paired with higher than average values of the other variable. Negative covariance - indicates that higher than average values of one variable tend to be paired with lower than average values of the other variable. Zero covariance- if the two random variables are independent, the covariance will be zero. However, a covariance of zero does not necessarily mean that the variables are independent. A nonlinear relationship can exist that still would result in a covariance value of zero. Limitations Because the number representing covariance depends on the units of the data, it is difficult to compare covariances among data sets having different scales. A value that might represent a strong linear relationship for one data set might represent a very weak one in another. The correlation coefficient addresses this issue by normalizing the covariance to the product of the standard deviations of the variables, creating a dimensionless quantity that facilitates the comparison of different data sets.

Ποιο στατιστικό κριτήριο θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε; Το στατιστικό κριτήριο που χρησιμοποιούμε για να διαπιστώσουμε αν υπάρχει αλληλεξάρτηση μεταξύ δύο μεταβλητών, ονομάζεται ΔΕΙΚΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (r) (CORRELATION COEFICIENT)

Πληροφορίες που παίρνουμε από το δείκτη συσχέτισης Αν υπάρχει αλληλεξάρτηση (συσχέτιση) Το είδος της συσχέτισης Το βαθμό της συσχέτισης

Πώς αποδίδουμε το δείκτη συσχέτισης; Η συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών μπορεί να αποδοθεί με δύο τρόπους: αριθμητική τιμή γραφική αναπαράσταση

Η απόδοση του δείκτη συσχέτισης με αριθμητικό τρόπο -1 +1 Αρνητική Συσχέτιση Καθόλου Συσχέτιση Θετική Συσχέτιση

Όταν αυξάνεται η μια μεταβλητή, αυξάνεται και η άλλη Είδος Συσχέτισης Θετική Συσχέτιση (positive correlation) Όταν αυξάνεται η μια μεταβλητή, αυξάνεται και η άλλη Αρνητική Συσχέτιση (negative correlation) Όταν αυξάνεται η μία μεταβλητή, μειώνεται η άλλη

Η απόδοση με γραφικό τρόπο Για να αποδώσουμε το δείκτη συσχέτισης με γραφικό τρόπο χρησιμοποιούμε το ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΚΕΔΑΣΜΟΥ Παράδειγμα: Θέλουμε να δούμε αν υπάρχει συσχέτιση ανάμεσα στις επιδόσεις των μαθητών σε 4 μαθήματα: ΑΛΓΕΒΡΑ, ΦΥΣΙΚΗ, ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ και ΜΟΥΣΙΚΗ

Οι επιδόσεις των μαθητών στα τέσσερα μαθήματα

Το διάγραμμα Σκεδασμού για τους βαθμούς στην Άλγεβρα και τη Φυσική Απόλυτη Θετική Συσχέτιση r = + 1.0

Το διάγραμμα Σκεδασμού για τους βαθμούς στην Φυσική και Νέα Ελληνικά Απόλυτη Αρνητική Συσχέτιση r = - 1.0

Το διάγραμμα Σκεδασμού για τους βαθμούς στην Άλγεβρα και Μουσική Μηδενική Συσχέτιση r = 0.0

Το διάγραμμα Σκεδασμού για τη Νοημοσύνη και την Αφαιρετική Σκέψη Σχετική Θετική Συσχέτιση r = + 0.60

Διάγραμμα Σκεδασμού ανάμεσα στο άγχος και την επίδοση στις εξετάσεις Σχετική Αρνητική Συσχέτιση r = - 0.52

Διάγραμμα Σκεδασμού ανάμεσα στη θερμοκρασία και τους μήνες του έτους Θετική Καμπυλόγραμμη Συσχέτιση

Διάγραμμα Σκεδασμού ανάμεσα στην αντοχή και την ενέργεια Αρνητική Καμπυλόγραμμη Συσχέτιση

Η Ερμηνεία του Δείκτη Συσχέτισης Ο δείκτης συσχέτισης αποτελείται από δύο στοιχεία: ένα πρόσημο (πληροφορίες για την κατεύθυνση) μια αριθμητική τιμή από 0 ως 1 (πληροφορίες για το βαθμό)

Το μέγεθος του δείκτη Συσχέτισης Correlations: The coefficient of determination, R2, is the proportion of variance shared between the two variables. This is commonly used as an effect size metric as it is easy to conceptualise. Conventionally, R = 0.1 R2 = 0.01 - a very small effect R = 0.3 R2 = 0.09 - a medium effect R = 0.5 R2 = 0.25 - a large effect Note here that some people might argue that having 25% of the variance shared between two variables could hardly be called a ‘large’ effect. This judgment depends on the nature of the field you are researching and the amount of measurement error in your variables. The above conventions come from the work of Jacob Cohen (Cohen, J. (1969). Statistical power analysis for the behavioral sciences. New York, NY: Academic Press. Hintze, J. (2006). NCSS, PASS, and GESS. Kaysville, Utah: NCSS.), and are broadly applicable to social end of the psychological spectrum of research. If we found a correlation of 0.5 between two variables we would probably be very impressed given the large amount of measurement error in most psychological indices. Were the correlation to be much larger, the cynics among us might argue that we are actually measuring the same thing twice! On the other hand, ‘harder’ data (say, stereo and motion visual thresholds) might be expected to be more strongly correlated than, say, 0.5 before experimental psychologists would consider them ‘large’.

Παράγοντες που επηρεάζουν το δείκτη συσχέτισης Η ομοιογένεια της ομάδας Εάν η ομάδα του πληθυσμού που μελετάται είναι πολύ ομοιογενής (εάν έχει τα ίδια χαρακτηριστικά), είναι δυνατόν να βρούμε χαμηλή ή και καθόλου συσχέτιση χωρίς αυτό να είναι αλήθεια

Παράγοντες που επηρεάζουν το δείκτη συσχέτισης Η καμπυλόγραμμη σχέση μεταξύ των μεταβλητών Εάν υπάρχει καμπυλόγραμμη αντί για ευθύγραμμη σχέση ανάμεσα στις δύο μεταβλητές που μελετάμε είναι πιθανόν να βρεθεί χαμηλή ή και καθόλου συσχέτιση αλλά αυτό να μην ισχύει για όλο το μήκος της σχέσης

Παράγοντες που επηρεάζουν το δείκτη συσχέτισης Η ύπαρξη ακραίων τιμών Μπορεί να επηρεάσουν τη μορφή της συσχέτισης

Παράγοντες που επηρεάζουν το δείκτη συσχέτισης Η ύπαρξη ακραίων τιμών Μπορεί να επηρεάσουν το βαθμό της συσχέτισης Με την ακραία τιμή r = - 0,48 Χωρίς την ακραία τιμή r = 0,05

Δείκτης Συσχέτισης και Αιτιότητα Ο δείκτης συσχέτισης είναι ένα στατιστικό κριτήριο που μας πληροφορεί μόνο για τη συμμεταβολή των δύο μεταβλητών που μελετώνται και όχι για το εάν υπάρχει αιτιώδης σχέση μεταξύ τους

Δείκτης Συσχέτισης και Αιτιότητα Η υψηλή συσχέτιση δεν δηλώνει σχέσεις αιτίου και αποτελέσματος. Μπορεί να οφείλεται σε μια τρίτη μεταβλητή, την οποία δεν έχουμε συμπεριλάβει στην έρευνά μας, και η οποία να λειτουργεί ως αίτιο