Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε μία διάσταση Chapter Opener. Caption: A high-speed car has released a parachute to reduce its speed quickly. The directions of the car’s velocity and acceleration are shown by the green (v) and gold (a) arrows. Motion is described using the concepts of velocity and acceleration. In the case shown here, the acceleration a is in the opposite direction from the velocity v, which means the object is slowing down. We examine in detail motion with constant acceleration, including the vertical motion of objects falling under gravity.

Περιεχόμενα Κεφαλαίου 2 Συστήματα Αναφοράς και μετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση Προβλήματα Ελεύθερη Πτώση Μεταβλητή Επιτάχυνση Επίλυση μέσω γραφικών παραστάσεων

2-1 Συστήματα Αναφοράς και Μετατόπιση Όλες οι μετρήσεις ταχύτητας, απόστασης και θέσης γίνονται πάντα σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς. Π.χ. εάν κάθεσαι σε ένα τραίνο και κάποιος επιβάτης περάσει δίπλα σου, η ταχύτητα του ανθρώπου σε σχέση με εσένα είναι κάποια χιλιόμετρα την ώρα ενώ σε σχέση με το έδαφος είναι πολλή μεγαλύτερη. Figure 2-2. Caption: A person walks toward the front of a train at 5 km/h. The train is moving 80 km/h with respect to the ground, so the walking person’s speed, relative to the ground, is 85 km/h.

2-1 Συστήματα Αναφοράς και Μετατόπιση Η απόσταση και η μετατόπιση είναι διαφορετικές ποσότητες. Μετατόπιση (μπλε) είναι η απόσταση του αντικειμένου από την «αρχή» ανεξάρτητα του πως βρέθηκε στο τελικό αυτό σημείο. Απόσταση (διακεκομμένη γραμμή) είναι το «μήκος» της τροχιάς που ακολουθήθηκε για να φτάσει στο τελικό σημείο Figure 2-4. Caption: A person walks 70m east, then 30 m west. The total distance traveled is 100 m (path is shown dashed in black); but the displacement, shown as a solid blue arrow, is 40 m to the east.

2-1 Συστήματα Αναφοράς και Μετατόπιση Η μετατόπιση ορίζεται ως : Αριστερά: Θετική μετατόπιση. Δεξιά: Αρνητική μετατόπιση. Figure 2-5. Caption: The arrow represents the displacement x2 – x1. Distances are in meters. Figure 2-6. Caption: For the displacement Δx = x2 – x1 = 10.0 m – 30.0 m, the displacement vector points to the left.

2-2 Μέση Ταχύτητα Το «μέτρο» της ταχύτητας είναι η απόσταση που διήνυσε ένα αντικείμενο σε κάποιο χρονικό διάστημα: Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος και επομένως έχει πρόσημο:

2-2 Μέση Ταχύτητα Οι θέσεις ενός δρομέα σαν συνάρτηση του χρόνου φαίνονται στη γραφική παράσταση. Εάν ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσει την απόσταση Δx είναι 3,0 s βρείτε τη μέση ταχύτητα του δρομέα Figure 2-7. Caption: Example 2–1. A person runs from x1 = 50.0 m to x2 = 30.5 m. The displacement is –19.5 m. Answer: Divide the displacement by the elapsed time; average velocity is -6.50 m/s

2-2 Μέση Ταχύτητα Τι απόσταση μπορεί να διανύσει ένας ποδηλάτης σε 2,5 ώρες εάν η μέση ταχύτητά του είναι 18,0 km/h; Answer: distance is average velocity multiplied by time, or 45 km.

2-3 Στιγμιαία Ταχύτητα Ως στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται η μέση ταχύτητα όταν χρόνος τείνει στο μηδέν. Ιδανικά, το «κοντέρ» του αυτοκινήτου, θα μετρούσε την στιγμιαία ταχύτητα αλλά στην ουσία μετρά μέση ταχύτητα για μικρά χρονικά διαστήματα. Figure 2-8. Caption: Car speedometer showing mi/h in white, and km/h in orange.

2-3 Στιγμιαία Ταχύτητα Ίδια μέση ταχύτητα δεν σημαίνει και ίδιες στιγμιαίες ταχύτητες Figure 2-9. Caption: Velocity of a car as a function of time: (a) at constant velocity; (b) with varying velocity.

2-3 Στιγμιαία Ταχύτητα (Σ.Τ.) Σε μια γραφική παράσταση της θέσης σαν συνάρτηση του χρόνου, η Σ.Τ. είναι η εφαπτομένη της καμπύλης. Figure 2-10. Caption: Graph of a particle’s position x vs. time .The slope of the straight line P1P2 represents the average velocity of the particle during the time interval Δt = t2 – t1. Figure 2-11. Caption: Same position vs. time curve as in Fig. 2–10, but note that the average velocity over the time interval ti – t1 (which is the slope of P1Pi) is less than the average velocity over the time interval t2 – t1. The slope of the thin line tangent to the curve at point P1 equals the instantaneous velocity at time t1.

2-3 Στιγμιαία Ταχύτητα Μία μηχανή τύπου jet κινείται πάνω σε πειραματικές ράγες (άξονας x). Θα υποθέσουμε ότι η μηχανή είναι σημείο. Η θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου δίδεται από την εξίσωση x = At2 + B, όπου A = 2,10 m/s2 και B = 2,80 m. (α) Προσδιορίστε τη μετατόπιση της μηχανής για το χρονικό διάστημα μεταξύ t1 = 3,00 s και t2 = 5,00 s. (β) Προσδιορίστε τη μέση ταχύτητα. (γ) Προσδιορίστε τη στιγμιαία ταχύτητα στο σημείο t = 500 s. Figure 2-13. Caption: Example 2–3. (a) Engine traveling on a straight track. (b) Graph of x vs. t: x = At2 + B. Solution: a. Using the equation given, at 3.00 s, the engine is at 21.7 m; at 5.00 s it is at 55.3 m, so the displacement is 33.6 m. b. The average velocity is the displacement divided by the time: 16.8 m/s. c. Take the derivative: v = dx/dt = 2At = 21.0 m/s.

Μέση Ταχύτητα Στιγμιαία Ταχύτητα στο P2

2-4 Επιτάχυνση Η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Ένα αυτοκίνητο επιταχύνει σε μια ευθεία από μηδέν στα 90,0 km/h σε 5,0 s. Πόση είναι η μέση επιτάχυνσή του; Figure 2-14. Caption: Example 2–4.The car is shown at the start with v1 = 0 at t1 = 0. The car is shown three more times, at t = 1.0 s, t = 2.0 s, and at the end of our time interval, t2 = 5.0 s. We assume the acceleration is constant and equals 5.0 m/s2. The green arrows represent the velocity vectors; the length of each arrow represents the magnitude of the velocity at that moment. The acceleration vector is the orange arrow. Distances are not to scale. Solution: The average acceleration is the change in speed divided by the time, 5.0 m/s2.

2-4 Επιτάχυνση Ένα αυτοκίνητο κινείται δεξιά σε αυτοκινητόδρομο (άξονας x) και αποφασίζει να φρενάρει. Εάν η αρχική ταχύτητα πριν το φρενάρισμα ήταν v1 = 15,0 m/s, και χρειάζονται 5,0 s για να επιβραδυνθεί στα v2 = 5,0 m/s, ποια είναι η μέση επιτάχυνση; Figure 2-15. Caption: Example 2–6, showing the position of the car at times t1 and t2, as well as the car’s velocity represented by the green arrows. The acceleration vector (orange) points to the left as the car slows down while moving to the right. Solution: The average acceleration is the change in speed divided by the time; it is negative because it is in the negative x direction, and the car is slowing down: a = -2.0 m/s2

2-4 Επιτάχυνση Προσοχή: Υπάρχει διαφορά μεταξύ αρνητικής επιτάχυνσης και επιβράδυνσης Αρνητική επιτάχυνση είναι επιτάχυνση προς την αρνητική διεύθυνση όπως αυτή ορίζεται από το σύστημα συντεταγμένων. Επιβράδυνση έχουμε όταν η διεύθυνση της επιτάχυνσης είναι αντίθετη από την διεύθυνση της ταχύτητας. Figure 2-16. Caption: The car of Example 2–6, now moving to the left and decelerating. The acceleration is +2.0 m/s.

2-4 Επιτάχυνση Στιγμιαία επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της μέσης ταχύτητας όταν το χρόνος τείνει στο μηδέν. Figure 2-17. Caption: A graph of velocity v vs. time t. The average acceleration over a time interval Δt = t2 – t1 is the slope of the straight line P1P2: aav = Δv/ Δt. The instantaneous acceleration at time is t1 the slope of the v vs. t curve at that instant.

2-4 Επιτάχυνση Ένα σωματίδιο κινείται σε ευθεία και ακολουθεί τη συνάρτηση x = (2,10 m/s2)t2 + (2,80 m). Υπολογίστε (α) τη μέση επιτάχυνση για το χρονικό διάστημα μεταξύ t1 = 3,00 s και t2 = 5,00 s, και (β)τη στιγμιαία επιτάχυνση σαν συνάρτηση του χρόνου. Figure 2-18. Caption: Example 2–7. Graphs of (a) x vs. t, (b) v vs. t, and (c) a vs. t for the motion x = At2 + B. Note that increases linearly with and that the acceleration a is constant. Also, v is the slope of the x vs. t curve, whereas a is the slope of the v vs. t curve. Solution: The velocity at time t is the derivative of x; v = (4.20 m/s2)t. a. Solve for v at the two times; a = 4.20 m/s2. b. Take the derivative of v: a = 4.20 m/s2.

2-4 Επιτάχυνση Πως διαβάζουμε γραφικές παραστάσεις. Στη γραφική παράσταση φαίνεται η ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου για δύο αυτοκίνητα που επιταχύνουν μεταξύ 0 και 100 km/h μέσα σε 10.0 s. Συγκρίνετε (α) τη μέση επιτάχυνση (β) τη στιγμιαία επιτάχυνση και (γ) τη συνολική απόσταση που διήνυσαν τα αυτοκίνητα. (α) Η μέση επιτάχυνση είναι η ίδια μιας και στον ίδιο χρόνο τα δύο αυτοκίνητα έχουν την ίδια μεταβολή στην ταχύτητά του (β) Κοιτάμε την κλίση της καμπύλης. Στους πρώτους χρόνου το Α επιταχύνει περισσότερο αλλά προς το τέλος το Β επιταχύνει περισσότερο Figure 2-19. Solution: a. Average acceleration is the same; both have the same change in speed over the same time. b. Car A accelerates faster than B at the beginning but then slower than B towards the end (look at the slope of the lines). c. Car A is always going faster than car B, so it will travel farther. (γ) Η απόσταση μπορεί να χαρακτηριστεί ως το εμβαδόν της καμπύλης. Βλέπουμε ότι η καμπύλη για το Α έχει μεγαλύτερο εμβαδόν (περιοχή κάτω από την καμπύλη). Διαφορετικά βλέπουμε ότι το Α έχει πάντα μεγαλύτερη ταχύτητα από το Β.

2-5 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση Η μέση ταχύτητα ενός αντικειμένου για χρονικό διάστημα t είναι Η επιτάχυνση, υποθέτοντας ότι παραμένει σταθερή είναι (Υποθέτουμε ότι t0=0)

2-5 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση Επιπλέον, επειδή γνωρίζουμε ότι ταχύτητα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό γνωρίζουμε ότι Συνδυασμός των τριών αυτών εξισώσεων συνεπάγεται

2-5 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση Επίσης απαλείφοντας το t: Έχουμε τώρα όλες τις εξισώσεις που απαιτούνται για την επίλυση του προβλήματος κίνηση με σταθερή επιτάχυνση.

2-6 Επίλυση προβλημάτων Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα για να καταλάβουμε τι ζητάει. Μετά το ξαναδιαβάζουμε. Αναγνώρισε τα αντικείμενα και τον χρόνο. Κάνε ένα διάγραμμα και διάλεξε σύστημα αναφορά (άξονες). Γράψε τις παραμέτρους που γνωρίζεις και αυτές που χρειάζεσαι για να προσδιορίσεις τις επιθυμητές. Ποιοι είναι οι νόμοι της φυσικής για το συγκεκριμένο πρόβλημα; Σχεδιασμός πορείας λύσης.

2-6 Επίλυση προβλημάτων 6. Ποιες είναι οι σχέσεις μεταξύ γνωστών και αγνώστων παραμέτρων; Ισχύουν; Λύνουμε τις σχέσεις ως προς τους αγνώστους και ελέγχουμε εάν το αποτέλεσμα είναι ρεαλιστικό (ελέγχουμε τις μονάδες του αποτελέσματος.) 7. Υπολογισμός αποτελέσματος, σημαντικά ψηφία. 8. Το αποτέλεσμα έχει τη σωστή τάξη μεγέθους; 9. Μονάδες, μονάδες.

2-6 Επίλυση προβλημάτων Γνωστά v0=0 m/s a=2m/s2 x=30m Άγνωστα t=; Πόσο χρόνο κάνει ένα αυτοκίνητο να διασχίσει μια διασταύρωση 30,0 m, (αφού ανάψει πράσινο ο σηματοδότης) και το αυτοκίνητο επιταχύνει με 2,00 m/s2? Γνωστά v0=0 m/s a=2m/s2 x=30m Άγνωστα t=; Figure 2-20. Solution: We are given the acceleration, the initial speed, and the distance, and are asked for the time. Substituting in the appropriate equation gives t = 5.48 s.

2-7 Ελεύθερη Πτώση Λόγω βαρύτητας, κοντά στην επιφάνεια της γης όλα τα αντικείμενα έχουν την ίδια επιτάχυνση. Η ελεύθερη πτώση είναι ένα παράδειγμα κίνησης με σταθερή επιτάχυνση Figure 2-26. Caption: Multiflash photograph of a falling apple, at equal time intervals. The apple falls farther during each successive interval, which means it is accelerating.

2-7 Ελεύθερη Πτώση Απουσία αέρος όλα τα αντικείμενα «πέφτουν» με την ίδια επιτάχυνση!! Figure 2-27. Caption: (a) A ball and a light piece of paper are dropped at the same time. (b) Repeated, with the paper wadded up. Η επιτάχυνση της βαρύτητας της γης είναι 9,80 m/s2.

2-7 Ελεύθερη Πτώση Ένα τόπι πέφτει (v0 = 0) από πύργο ύψους 70,0 m. Πόσο έχει πέσει έπειτα από t1 = 1,00 s, t2 = 2,00 s, και t3 = 3,00 s; Αγνοείστε τον αέρα. Figure 2-29. Caption: Example 2–14. (a) An object dropped from a tower falls with progressively greater speed and covers greater distance with each successive second. (See also Fig. 2–26.) (b) Graph of y vs. t. Solution: We are given the acceleration, the initial speed, and the time; we need to find the distance. Substituting gives t1 = 4.90 m, t2 = 19.6 m, and t3 = 44.1 m.

2-7 Ελεύθερη Πτώση ΑΣΚΗΣΗ 2.1 Πετάμε ένα τόπι προς τα πάνω με ταχύτητα 15,0 m/s. Υπολογίστε (α) Σε τι ύψος φτάνει και (β) πόσο χρόνο κάνει να επιστρέψει; Figure 2-30. Caption: An object thrown into the air leaves the thrower’s hand at A, reaches its maximum height at B, and returns to the original position at C. Examples 2–16, 2–17, 2–18, and 2–19. Solution: a. At the highest position, the speed is zero, so we know the acceleration, the initial and final speeds, and are asked for the distance. Substituting gives y = 11.5 m. b. Now we want the time; t = 3.06 s.

2-7 Ελεύθερη Πτώση Αλήθεια ή Ψέμα. Η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση Ένα αντικείμενο που εκτοξεύετε κατακόρυφα έχει μηδενική επιτάχυνση στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς του. If acceleration and velocity were always in the same direction, nothing could ever slow down! At its highest point, the speed of thrown object is zero. If its acceleration were also zero, it would just stay at that point.

2-7 Ελεύθερη Πτώση (α) (β) Ταχύτητα εκτόξευσης = ταχύτητα επιστροφής (α) Βρείτε το χρόνο (πάνω, και κάτω) (β) Την ταχύτητα όταν επιστρέψει στη γη (α) The time is 1.53 s, half the time for a round trip (since we are ignoring air resistance). v = -15.0 m/s (β) Ταχύτητα εκτόξευσης = ταχύτητα επιστροφής

2-7 Ελεύθερη Πτώση ΑΣΚΗΣΗ 2.2 Μια μπάλα εκτοξεύεται προς τα πάνω με ταχύτητα 15,0 m/s, υπολογίστε το χρόνο που χρειάζεται να φτάσει το ύψος των 8,00 m. Figure 2-31. Caption: Graphs of (a) y vs. t, (b) v vs. t for a ball thrown upward, Examples 2–16, 2–18, and 2–19. Solution: We are given the initial and final position, the initial speed, and the acceleration, and want to find the time. This is a quadratic equation; there are two solutions: t = 0.69 s and t = 2.37 s. The first is the ball going up and the second is the ball coming back down.

2-8 Μεταβλητή Επιτάχυνση; Απειροστικός Λογισμός Πως βρίσκουμε τις εξισώσεις κίνησης μέσω ολοκληρώσεων: Για σταθερή επιτάχυνση

2-8 Μεταβλητή Επιτάχυνση; Απειροστικός Λογισμός Γράφουμε: Η οποία για σταθερή επιτάχυνση γίνεται

2-8 Μεταβλητή Επιτάχυνση; Απειροστικός Λογισμός Ένα πειραματικό αυτοκίνητο επιταχύνει από v0 = 0 , t = 0, με ρυθμός που δίδεται από την εξίσωση a = (7,00 m/s3)t. Βρείτε (α) την ταχύτητα και (β) τη μετατόπιση έπειτα από 2,00 s. (α) Solution: a. Integrate to find v = (3.50 m/s3)t2 = 14.0 m/s. b. Integrate again to find x = (3.50 m/s3)t3/3 = 9.33 m. (β)

2-9 Αριθμητική Ολοκλήρωση και Γραφικές παραστάσεις Η συνολική μετατόπιση ενός αντικειμένου είναι το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από την γραφικής παράσταση της ταχύτητας σαν συνάρτηση του χρόνου (v-t)

2-9 Αριθμητική Ολοκλήρωση και Γραφικές παραστάσεις Παρομοίως η ταχύτητα είναι το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη της επιτάχυνσης με το χρόνο (a-t) Εάν το ολοκλήρωμα της ταχύτητας ή της επιτάχυνσης δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά (ακριβώς) τότε μπορούμε να προσφύγουμε σε αριθμητική ολοκλήρωση

2-9 Αριθμητική Ολοκλήρωση και Γραφικές παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 2.3 Ένα αντικείμενο επιταχύνει από t = 0 με ρυθμό a(t) = (8.00 m/s4)t2. Βρείτε την ταχύτητα μετά από 2.00 s με αριθμητική ολοκλήρωση . Figure 2-35. Solution: The figure illustrates the process. Using the given intervals, v = 21.0 m/s, compared to the calculated value of 21.33 m/s.