Εργαστήριο Χρονικών Σειρών Εργαστήριο Χρονικών Σειρών Εισηγητής: Βαφειάδης Θανάσης

Εργαστήριο 3ο

Μοντέλα Χρονοσειρών Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα τάξης p AR(p) ή όπου Κινούμενου μέσου μοντέλα τάξης q MA(q)

Μικτά μοντέλα τάξης p, q ARMA(p,q) ή όπου και

Παρατηρούμε ότι... ... Ουσιαστικά ένα Mικτό μοντέλο τάξης p, q ARMA(p,q) είναι ένας συνδυασμός του Αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου τάξης p AR(p) καθώς και του μοντέλου Κινούμενου Μέσου τάξης q MA(q).

Με άλλα λόγια... Ένα μοντέλο ΑRMA(1,0) τάξης 1, 0 θεωρείται ότι είναι ένα μοντέλο AR τάξης 1, ένα μοντέλο ARMA(0,1) τάξης 0, 1 MA τάξης 1, ένα μοντέλο ARMA(2,0) τάξης 2, 0 AR τάξης 2, ...

Tάξη ενός μοντέλου Η τάξη ενός μοντέλου καθώς και η τιμή αυτής θα καθορίζεται από: το πλήθος των σημαντικών μερικών αυτοσυσχετίσεων και την τιμή αυτών για ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο και από το πλήθος των σημαντικών αυτοσυσχετίσεων μοντέλο κινούμενου μέσου

Παράδειγμα 1ο ... ή

Αναπαραγάγαμε με προσομοίωση 150 παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς AR(1) Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κανένα στοιχείο μη στατικότητας (εποχικότητα ή τάση). Παίρνουμε τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων για να το διαπιστώσουμε...

...και τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων που μας έδωσε το SPSS είναι... Παρατηρούμε ότι οι αυτοσυσχετίσεις ελαττώνονται εκθετικά και ότι η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης υστέρησης κ=1 είναι πολύ σημαντική και θετική σε σχέση με τις υπόλοιπες. Άρα το μοντέλο είναι AR τάξης 1 με τιμή μερικής αυτοσυσχέτισης 0.8

Παράδειγμα 2ο ... ή

Αναπαραγάγαμε με προσομοίωση 300 παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς AR(2) Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κανένα στοιχείο μη στατικότητας (εποχικότητα ή τάση). Παίρνουμε τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων για να το διαπιστώσουμε...

...και τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων που μας έδωσε το SPSS είναι... Παρατηρούμε ότι οι αυτοσυσχετίσεις ελαττώνονται εκθετικά με εναλλασσόμενα πρόσημα και ότι η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης υστέρησης κ=1 και κ=2 είναι πολύ σημαντικές σε σχέση με τις υπόλοιπες. Άρα το μοντέλο είναι AR τάξης 2 με τιμή μερικής αυτοσυσχέτισης περίπου -0.5 και 0.3

Παράδειγμα 3ο ... ή

Αναπαραγάγαμε με προσομοίωση 300 παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς ΜΑ(1) Αναπαραγάγαμε με προσομοίωση 300 παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς ΜΑ(1) .Το γράφημα της είναι... Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κανένα στοιχείο μη στατικότητας (εποχικότητα ή τάση). Παίρνουμε τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων για να το διαπιστώσουμε...

...και τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων που μας έδωσε το SPSS είναι... Παρατηρούμε ότι οι μερικές αυτοσυσχετίσεις ελαττώνονται εκθετικά και ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης υστέρησης κ=1 είναι πολύ σημαντική σε σχέση με τις υπόλοιπες. Άρα το μοντέλο είναι ΜΑ τάξης 1 με τιμή αυτοσυσχέτισης περίπου -0.48

Μελέτη χρονοσειράς με τάση Κατασκευάζουμε με προσομοίωση μια χρονοσειρά αυτοπαλινδρομούμενη τάξης 1, με 128 στοιχείων, και με τιμή τάσης b=0.5. Το γράφημα της είναι... Η ύπαρξη της τάσης είναι εμφανής...

Γραφήματα Αυτ. και μερικών Αυτ. Κατασκευάζουμε τα γραφήματα των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων και διαπιστώνουμε ότι... Στο γράφημα των αυτοσυσχετίσεων παρατηρούμε μια αργή εκθετική μείωση στις αυτοσυσχετίσεις, χαρακτηριστικό της έντονης τάσης...

Στο γράφημα των μερικών αυτοσυσχετίσεων παρατηρούμε μια μόνο πολύ σημαντική αυτοσυσχέτιση γεγονός που πιστοποιεί το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης 1. Εξαλείφουμε στην συνέχεια το στοιχείο της μη στατικότητας…

Ανακεφαλεώνοντας... Γραφήματα Αυτοσυσχετίσεων όταν έχουμε τα εξής στοιχεία μη στατικότητας Τάση Εποχικότητα Τάση και Εποχικότητα

Γράφημα 3 -Τάση και Εποχικότητα Γράφημα 1 Γράφημα 2 Γράφημα 1 -Τάση Γράφημα 2 - Εποχικότητα Γράφημα 3 -Τάση και Εποχικότητα Γράφημα 3