Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση Μετρώ όλα τα πράγματα και τα βάζω στη σειρά Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση μx+ν=0 Λύνω και την εξίσωση x+ν=0

Μέχρι τώρα eχουμε εξετάσει τις πολυωνυμικές εξισώσεις της μορφής: α₀xⁿ + α₁xⁿ⁻¹ + . . . . . . . . + αn-1x + αn =0 Πολυώνυμα με ακεραίους συντελεστές Εκθετικές Εξισώσεις Λογαριθμικές Εξισώσεις Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Αυτές οι εξισώσεις είναι βασικές για την επίλυση των προβλημάτων της εποχής μας, από τη διύλιση του πετρελαίου, μέχρι την εκτόξευση διαστημικών λεωφορείων

Περιλαμβάνουν αγνώστους στους εκθέτες των αριθμών Αν για παράδειγμα: 12x = 144 x = 2 Αν για παράδειγμα: 1,0994x = 17,32 ? Το χ μπορει να είναι ειτε ρητος ειτε αρρητος αριθμος Τι είναι το x; Είναι το x ρητός ή άρρητος αριθμός

Λογαριθμικές Εξισώσεις Αν για παράδειγμα: log₁₀x = 2 Αυτό σημαίνει ότι το 10 πρέπει να έχει εκθέτη το 2 για να μας δώσει το x=102=100 Αν για παράδειγμα: lnx=3 Αυτό σημαίνει ότι το e πρέπει να έχει εκθέτη το 3 για να μας δώσει το x=e3 Διεθνης σημειογραφια…. Τι είναι το x; Είναι το x ρητός ή άρρητος αριθμός

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Στηρίζονται στα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και τα μεγέθη των γωνιών του υποτείνουσα Απέναντι κάθετος Αυστηρα ορθογωνιο! Προσκείμενη κάθετος Οι τριγωνομετρικές σχέσεις περιλαμβάνουν τις διάφορες σχέσεις ανάμεσα σε μια γωνία, τη θ, ενός ορθογωνίου τριγώνου και τα μήκη των τριών πλευρών

Τι είδους αριθμούς, όμως, παίρνουμε όταν βάζουμε διαφορετικές τιμές στους εκθέτες, στους λογαρίθμους και στις τριγωνομετρικές ?? Ρητούς;; (φυσικούς, κλάσματα) Άρρητους ;; Κι όμως, οι περισσότερες λύσεις σε αυτές τις εξισώσεις είναι άρρητοι αριθμοί !

: Π = Ο λόγος της περιφέρειας τυχαίου κύκλου με τη διάμετρο του είναι σταθερός Π = :

e = lim ( 1 + 1/ ) , ν ∈ Ν 8 Επομένως, e είναι το όριο που παίρνουμε όταν αφήνουμε το ν να γίνεται όλο και μεγαλύτερο Οι τιμές που θα παίρνει η ( 1 + 1/ν )ν όταν μεγαλώνουμε το ν ώστε να τείνει στο ∞ Όπως ακριβώς και στην περίπτωση του π, μπορούμε να προσεγγίσουμε το e, ξεκινώντας με ν=1 και αντικαθιστώντας στον τύπο, αυξάνοντας διαρκώς το ν Ν (1,2,3….) (ΣΥΝ ΑΠΕΙΡΟ) Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία, θα φτάσουμε στην ακόλουθη τιμή με προσέγγιση 10 δεκαδικών θέσεων: e = 2,7182818284

Τιμές της ακολουθίας ( 1 + 1/ ν)ν ν=1 2 ν=2 2,250 ν=3 2,370 ν=4 2,441 ν=5 2,488 ν=100 2,704813829 ν=1000 2,716923923 ν=100000 2,718145926

Leonhard Euler (1707 – 1783) Όρισε τη χρήση του γράμματος e, που συμβολίζει άλλη μια θεμελιώδη σχέση των μαθηματικών: Ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς. Τα έργα του ξεπερνούν τα 500 (βιβλία, επιστημονικές δημοσιεύσεις) ενώ παρήγαγε αρκετά μαθηματικά για να γεμίσουν 90 τόμους!! Σχεδίασε ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και αναρωτήθηκε «πόσες φορές η περίμετρος είναι μεγαλύτερη από την διάμετρο του κύκλο». Ήξερε ότι η πλευρά του εξαγώνου είναι ίση με την ακτίνα άρα η απάντηση ήταν εύκολη: «3 φορές». Ας το κάνουμε τώρα δωδεκάγωνο σκέφτηκε. Η περίμετρος θα είναι τώρα μεγαλύτερη από την προηγούμενη. Ποιος θα είναι ο αντίστοιχος με τον προηγούμενο «3» αριθμός; Υπολόγισε ότι σε καθένα από τα 12 τρίγωνα που θα δημιουργηθούν, η επίκεντρη γωνία θα είναι μισή από την αντίστοιχη ( θ = 600 ) στο εξάγωνο οπότε το για το μήκος της κάθε πλευράς θα ισχύει α12/2 = Rημ(θ/4) α12 = 2Rημ (θ/4) 12α12 = 2R. 3,105828. Για το 12γωνο λοιπόν ο αντίστοιχος αριθμός που περιγράφει το «πόσες φορές η περίμετρος είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο» είναι ο 3,105828.   Τι γίνεται με το 24γωνο; Η γωνία σε αυτή την περίπτωση θα είναι θ/8 ( 7,50 ) α24 = 2Rημ (θ/8) 24α24 = = 24. 2R.ημ (θ/8) = 2R. 3,132686. Για το 24γωνο λοιπόν ο αντίστοιχος αριθμός που περιγράφει το «πόσες φορές η περίμετρος είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο» είναι ο 3,132686. Κοίταξε τους τρεις αριθμούς που ήδη διέθετε: ο 3, ο 3,105828, ο 3,132686. Τι θα γίνει εάν συνεχίσω; σκέφτηκε; Που θα φθάσει αυτός ο αριθμός; Είχε υπομονή και κομπιουτεράκι και συνέχισε. Στο 48γωνο η περίμετρος ήταν ίση με 2R. 3,139350. Ο επόμενος δηλαδή αριθμός ήταν ο 3,139350. Στο 96γωνο ο αριθμός έγινε 3,1410314, στο 192γωνο έγινε 3,141538944, Είχε στο μυαλό του τον Αρχιμήδη είχε και κομπιουτεράκι αλλά ήξερε ότι το κομπιουτεράκι είχε τα δικά του όρια. Εάν θα συνέχιζα με κάποιο πιο εξελιγμένο μηχάνημα θα μπορούσα ίσως να προσεγγίσω το ερώτημα « πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η περιφέρεια από τη διάμετρο του κύκλου, ενός δηλαδή ΟΠΟΙΟΥΔΗΠΟΤΕ ΚΥΚΛΟΥ;» να προσεγγίσω με άλλα λόγια την τιμή του π. Σε ένα βιβλίο είχε βρει ότι με προσέγγιση 10 δεκαδικών είναι π = 3,1415926535

Το 0! ισούται εξ ορισμού με 1. Επιπλέον, με το e συσχετίζεται μια σειρά, η οποία ανακαλύφθηκε το 1655 από το Νεύτωνα (1642-1727). Σειρά είναι άθροισμα όρων Η συγκεκριμένη σειρά χρησιμοποιεί και την έννοια του παραγοντικού, δηλαδή n!=n•(n-1)•(n-2)…3•2•1και είναι η εξής : Η σειρά αυτή ανακαλύφθηκε από το Νεύτωνα όταν ήταν μόλις 23 ετών! Παρατηρούμε ότι οι διάφορες παραγοντικές τιμές αυξάνονται γρήγορα, πχ 10! = 3.628.800 Το 0! ισούται εξ ορισμού με 1.

Όμως…. γιατί το ℮? Ο λόγος για τον οποίο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες ενδιαφέρονται για το ℮, είναι ότι εμφανίζεται ξαφνικά σε πολλά διαφορετικά σημεία όταν προσπαθούμε να επιλύσουμε προβλήματα. Αυτό σχετίζεται με την (ωραία) ιδιότητα ότι, για μικρές τιμές του x, έχουμε: ex ≈ 1 + x

Λύσεις πολυωνύμων αυτού του είδους μπορούν να αποτελέσουν : Οι φυσικοί αριθμοί Τα κλάσματα Οι ρίζες Τις λύσεις των πολυωνύμων που οι συντελεστές τους είναι ακέραιοι, τις ορίζουμε ως αλγεβρικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι οι φυσικοί αριθμοί, τα κλάσματα και οι ρίζες είναι όλα αλγεβρικοί αριθμοί, αφού αποτελούν λύσεις πολυωνύμων αυτού του είδους.

Τετραγωνισμός του κύκλου Από την αρχαιότητα, ένα αναπάντητο ερώτημα αφορούσε το αν είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό ενός συγκεκριμένου κύκλου. Ε = πR² Αν ξεκινήσουμε με έναν κύκλο ακτίνας ίσης με 1, τότε το εμβαδόν του ισούται με π. Για να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο που το εμβαδόν του να είναι ίσο με π, πρέπει να κατασκευάσουμε μια ευθεία που το μήκος της να είναι ίσο με √π, ώστε, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, να μας δώσει το ζητούμενο εμβαδόν. Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται τετραγωνισμός του κύκλου και έχουν αποπειραθεί να το λύσουν αναρίθμητοι ερασιτέχνες και επαγγελματίες μαθηματικοί τα 2 τελευταία χρόνια. Με άλλα λόγια, αν ο π είναι αλγεβρικός αριθμός, δηλαδή αν αποτελεί λύση κάποιου κανονικού πολυωνύμου, τότε ο κύκλος μπορεί να τετραγωνιστεί. Διαφορετικά δεν μπορεί.

Ο Euler ήταν ο πρώτος που αναρωτήθηκε, το 1748, αν το e και το π είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Οι μαθηματικοί αποκαλούν τους μη αλγεβρικούς αριθμούς υπερβατικούς αριθμούς. Παρόλο που το ερώτημα τέθηκε πρώτη φορά το 1748, δεν απαντήθηκε μέχρι το 1844…… Για την επίλυσή του, θα μιλήσουμε στη συνέχεια

Υπερβατικοί Αλγεβρικοί Πραγματικοί Αριθμοί

Εκείνη τη χρονιά, ο Γάλλος μαθηματικός Ζοζέφ Λιουβίλ Joseph Liouville, (1809 – 1882), δημιούργησε τον πρώτο αριθμό που αποδεδειγμένα ήταν υπερβατικός. Άθροισμα όρων..

Το 1883, ο Σαρλ Ερμίτ Charles Hermite, (1822 – 1901), eiπ=1 (ταυτοτητα Οιλερ) Μεσω αυτου του τυπου απεδειξε ο Λιντεμαν το 1882 οτι ο π ειναι υπερβατικος αριθμος, δηλαδη δεν αποτελει λυση καμιας αλγεβρικης εξισωσης. Βασιστηκε ο Λιντεμαν στην αποδειξη που ειχε δημοσιευσει πιο πριν ο Ερμιτ ο,τι ο e ειναι υπερβατικος. Αν ο π ηταν αλγεβρικος, τοτε μεσω του τυπου του Euler, ο e θα ειχε ιδιοτητες που δεν ταιριαζουν σε υπερβατικο αριθμο.

Το 1882, ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν, Carl Louis Ferdinand von Lindemann, (1852 – 1939), απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός. Αυτό απάντησε οριστικά στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αποδεικνύοντας ότι είναι αδύνατον να γίνει. eiπ=1 (ταυτοτητα Οιλερ) Μεσω αυτου του τυπου απεδειξε ο Λιντεμαν το 1882 οτι ο π ειναι υπερβατικος αριθμος, δηλαδη δεν αποτελει λυση καμιας αλγεβρικης εξισωσης. Βασιστηκε ο Λιντεμαν στην αποδειξη που ειχε δημοσιευσει πιο πριν ο Ερμιτ ο,τι ο e ειναι υπερβατικος. Αν ο π ηταν αλγεβρικος, τοτε μεσω του τυπου του Euler, ο e θα ειχε ιδιοτητες που δεν ταιριαζουν σε υπερβατικο αριθμο.

Υπάρχουν κι άλλοι υπερβατικοί αριθμοί ;; Έχει αποδειχτεί πως το eπ είναι υπερβατικός, Δεν είναι γνωστό, όμως, αν το ee ή πe ή ππ είναι υπερβατικοί ή αλγεβρικοί αριθμοί. Επιπλέον, εξακολουθούν να είναι άγνωστες οι ιδιότητες απλών παραστάσεων, όπως το e + π και το e • π.

Αριθμοί που γνωρίζουμε ότι είναι υπερβατικοί ea , αν το α είναι αλγεβρικός και μη μηδενικός αριθμός και, ιδίως, όχι το e. (θεώρημα Lindemann–Weierstrass), π. eπ (σταθερά του Gelfond) όπως επίσης και το e-π/2=i i (θεώρημα Gelfond–Schneider) ab όπου το a είναι αλγεβρικός, εκτός του 0, 1 και το b ένας άρρητος αλγεβρικός (θεώρημα Gelfond–Schneider) , για παράδειγμα : (σταθερά Gelfond–Schneider) Το ημα, το συνα και η εφα και τα πολλαπλασιαστικά τους αντίστροφα για κάθε μη μηδενικό αλγεβρικό αριθμό α (θεώρημα Lindemann – Weierstrass) lna, αν το a είναι αλγεβρικός και διάφορος του 0 και του 1 (θεώρημα Lindemann–Weierstrass) Γ(1/3), Γ(1/4) και Γ(1/6) Ω (σταθερά του Chaitin) Σταθερά των Prouhet – Thue – Morse Πάμε στο θεωρητικό μέρος……………… όπου β>1 και (floor function)

Πόσοι υπερβατικοί αριθμοί υπάρχουν; Είναι άραγε περισσότεροι από τους αλγεβρικούς αριθμούς; Έχει νόημα να λέμε ότι ένα απειροσύνολο αριθμών είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από ένα άλλο; Η προσπάθεια να απαντηθούν αυτά τα ερωτήματα άνοιξε έναν εντελώς νέο ορίζοντα στη μαθηματική σκέψη, σε ό,τι αφορά το άπειρο και μας παρείχε μια εντυπωσιακά βαθιά αντίληψη της φύσης του απείρου . . . .

Για να αποκτήσουμε τον έλεγχο του απείρου, όμως, είναι καλύτερα να κατανοήσουμε πρώτα τους φυσικούς αριθμούς. Το πρώτο απειροσύνολο με το οποίο ήρθαν σε επαφή οι άνθρωποι, ήταν το σύνολο των φυσικών αριθμών. Όταν δύο πεπερασμένα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, τότε το ένα σύνολο μπορεί να απεικονιστεί αμφιμονοσήμαντα επί του άλλου συνόλου. Αν δεν περισσεύει κανένα στοιχείο σε κάποιο από τα δύο σύνολα, τότε έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ένα προς ένα (αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση): εκχώρηση ενός και μόνο ενός στοιχείου ενός συνόλου σε κάθε στοιχείο ενός δεύτερου συνόλου . Θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια αρχή όταν μιλάμε για τα απειροσύνολα και θα τα συγκρίνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απεικόνισης….

ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν τα Α και Β είναι δύο απειροσύνολα, κι αν όλα τα στοιχεία του Α απεικονίζονται ένα προς ένα επί όλων των στοιχείων του Β, τότε τα Α και Β έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Αφού τα δύο σύνολα Α και Β είναι απειροσύνολα, ο πληθικός τους αριθμός δεν μπορεί να είναι κάποιος πεπερασμένος αριθμός. Συνεπώς, θα είναι απαραίτητο τελικά να ορίσουμε κάποια επιπλέον σύμβολα που θα εκφράζουν τον πληθικό αριθμό των απειροσυνόλων. Κάθε απειροσύνολο που μπορεί να τεθεί σε αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση με τους φυσικούς αριθμούς, ονομάζεται αριθμήσιμο σύνολο.

ΘΕΩΡΗΜΑ : Κάθε αριθμήσιμο απειροσύνολο έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με τους φυσικούς αριθμούς (ίδιο μέγεθος) . Το θεώρημα αυτό αφήνει να εννοηθεί ότι ένα άπειρο υποσύνολο ενός αριθμήσιμου συνόλου έχει το ίδιο μέγεθος με το αρχικό σύνολο. Τα απειροσύνολα δεν συμπεριφέρονται πάντα όπως τα πεπερασμένα σύνολα. Για να αλλάξουμε πράγματι το μέγεθος ενός απειροσυνόλου, θα πρέπει να κάνουμε κάποια απείρου μεγέθους αλλαγή. Ο λόγος που η έννοια αυτή μας κάνει να νιώθουμε ‘‘παράξενα’’, είναι μια ιδιότητα των πεπερασμένων αριθμών, που δεν την έχουν οι άπειροι αριθμοί.

Χαρακτηριστική ιδιότητα του απείρου

3 4 5… 1 2 52… 32 42 12 22

f(x)=εφ(x)

Όλα σχεδόν όσα πρέπει να μάθουμε για τους υπερβατικούς, οφείλονται σ’ αυτόν. Έζησε μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα, αλλά τραγική ζωή.

Γεννήθηκε στην Αγ. Πετρούπολη, στη Ρωσία, στις 3 Μαρτίου 1845 Πατέρας του ήταν ο Γκέοργκ Γουόλντεμαν Κάντορ, ένας Δανός έμπορος, και μητέρα του η Μαρία Μπεμ Κάντορ Το 1856 η οικογένεια μετακόμισε στη Φρανκφούρτη του Μάιν, στο κρατίδιο της Έσης, για να αποφύγει ο Γκέοργκ ο πρεσβύτερος τους δριμείς ρώσικους χειμώνες Όταν ο Γκέοργκ έγινε 15 χρονών, επέδειξε μεγάλο ταλέντο στα μαθηματικά και γράφτηκε στο Ανώτερο Πολυτεχνείο Γραντ – Ντουκάλ στο Ντάρμστατ Το 1863 εισήχθη στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου επέλεξε να σπουδάσει μαθηματικά, φυσική και φιλοσοφία Ήταν θεοσεβούμενος Το 1872 εγκαταστάθηκε στο Χάλε , όπου γνωρίστηκε και έγινε φίλος με έναν άλλο νεαρό Γερμανό Μαθηματικό, τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ Στο νταρμστατ θα σπουδαζε μηχανικος κατά παρακληση του πατερα του…. Ο Ντέντεκιντ έδωσε τον πρώτο ορισμό των άρρητων

Είναι αριθμήσιμοι οι υπερβατικοί αριθμοί;; Ο Κάντορ έθεσε το εξής ερώτημα : Είναι αριθμήσιμοι οι υπερβατικοί αριθμοί;; Θέτοντας αυτό το ερώτημα αναρωτιόταν αν οι πραγματικοί αριθμοί, στους οποίους συμπεριλαμβάνονται οι αλγεβρικοί και οι υπερβατικοί αριθμοί, είναι αριθμήσιμοι. Αν οι υπερβατικοί και οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμοι, τότε το άθροισμά τους θα είναι κι αυτό αριθμήσιμο. Παραπομπή στα γράμματα Στις 29 Νοεμβρίου 1873, ο Κάντορ έγραψε ένα γράμμα στο φίλο του, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ….

Δύο Αποδείξεις γιατί είναι υπερβολικά πολλοί Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμοι γιατί είναι υπερβολικά πολλοί

Την παρουσίασε στον Ντέντεκιντ το Δεκέμβριο του 1873 και δημοσίευσε το 1874 Χρησιμοποίησε την εις άτοπον απαγωγή Υπέθεσε ότι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί θα μπορούσαν να απεικονιστούν αμφιμονοσήμαντα επί των φυσικών αριθμών κι έδειξε ότι αυτό οδηγούσε σε αντίφαση Αν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών είναι μη αριθμήσιμο, τότε είναι μη αριθμήσιμο και το σύνολο όλων των θετικών και αρνητικών πραγματικών αριθμών. Η απόδειξη αυτή στηρίζεται στο θεώρημα Μπολτσάνο – Βάιερστρας και στην έννοια της απεικόνισης των αριθμών….

Αναπτύχθηκε μερικά χρόνια αργότερα. Στηρίχθηκε στο δεκαδικό μας σύστημα. Είναι ουσιαστικά ίδια με την πρώτη απόδειξη, αφού χρησιμοποιεί την έμμεση μέθοδο (αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση) Σ’ αυτή την περίπτωση υποθέτουμε ότι οι αριθμοί συμβολίζονται με τη δεκαδική τους μορφή