Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος Ιστοσελίδες μαθήματος:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΧΥΟΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Να βρεθούν τα σήματα: ΣΥΝΕΛΙΞΗ (μετακίνηση σήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Να βρεθεί το σήμα Είναι: ΣΥΝΕΛΙΞΗ (μετακίνηση σήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Αρχική συνάρτηση Συνάρτηση h(-X) Μετατοπισμένη συνάρτηση h(x-X) Η συνέλιξη παριστάνει το εμβαδόν από το γινόμενο των συναρτήσεων g(X) h(x-X) ΣΥΝΕΛΙΞΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Υπολογισμός συνέλιξης στο συγκεκριμένο σημείο x o αντιμεταθετική προσεταιριστική επιμεριστική ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Συνέλιξη δύο ορθογώνιων παλμών ΣΥΝΕΛΙΞΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Συνέλιξη δύο ορθογώνιων παλμών ΣΥΝΕΛΙΞΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Θεώρημα συνέλιξης Χώρος αποστάσεων Χώρος συχνοτήτων Συνελικτικά ολοκληρώματα ΣΥΝΕΛΙΞΗ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΣΥΝΕΛΙΞΗ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Αν ή Απόδειξη Ανικατάσταση ω-y=x, αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης ΣΥΝΕΛΙΞΗ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ ΣΤΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 συσχέτιση αυτοσυσχέτιση συντελεστής συσχέτισης Ισχύει: ΕΝΕΡΓΕΙΑ – ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ – ΙΣΧΥΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Για τις συναρτήσεις συσχέτισης δύο σημάτων ισχύουν οι σχέσεις: ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Ο μετασχηματισμός Fourier S(ω) της συνάρτησης συσχέτισης R(r) ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας Ισχύουν οι σχέσεις: ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Η συνάρτηση συσχέτισης ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις (σήματα) ισχύος f(t) και g(t) ορίζεται ως: O μετασχηματισμός Fourier τηςτης συνάρτησηςονομάζεται φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density function - PSD) ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΙΣΧΥΟΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις : Τότε η συνέλιξη των δύο συναρτήσεων θα δίνεται από το ολοκλήρωμα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Έστω δύο διακριτά σήματα : Τότε η συνέλιξη των δύο συναρτήσεων θα δίνεται από το άθροισμα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΗΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Α. Αντιμεταθετική Ιδιότητα Β. Προσεταιριστική Ιδιότητα ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Γ. Επιμεριστική Ιδιότητα Δ. Η συνέλιξη της με τη δίνει την όπου ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Γραφική Μέθοδος Αναλυτική Μέθοδος Αριθμητική Μέθοδος Υπολογισμός με τη χρήση μετασχηματισμών Fourier ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Αρχική συνάρτηση Συνάρτηση h(-X) Μετατοπισμένη συνάρτηση h(x-X) Η συνέλιξη παριστάνει το εμβαδόν από το γινόμενο των συναρτήσεων g(X) h(x-X) ΣΥΝΕΛΙΞΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Θεώρημα συνέλιξης Χώρος αποστάσεων Χώρος συχνοτήτων Συνελικτικά ολοκληρώματα ΣΥΝΕΛΙΞΗ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Γραφική Μέθοδος για συνεχείς συναρτήσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Αναλυτική Μέθοδος Έστω οι συναρτήσεις του προηγούμενου παραδείγματος: με πεδίο ορισμού: Για 0≤t ≤1 θα ισχύει: Για 1≤t ≤2 Για 2≤t ≤3 θα ισχύει: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ (η τιμή της συνέλιξης δεν αλλάζει και είναι αυτή που υπολογίστηκε για t=1)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ Ο κώδικας στο MATLAB… t1=0:0.01:1; t2=0:0.01:2; t3=0:0.01:3; x1=-2*t1+2; x2=ones(1,length(t2)); subplot(3,1,1) plot(t1,x1) subplot(3,1,2) plot(t2,x2) y=conv(x1,x2)/100; subplot(3,1,3) plot(t3,y)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (3/3) Ημερομηνία Παράδοσης 07/12/ Να βρεθεί η συνέλιξη των συναρτήσεων μέσω προγράμματος που θα δημιουργηθεί στο MATLAB (να σχεδιάζει τις συναρτήσεις και τη συνέλιξή τους). ( ΒΟΗΘΕΙΑ: πρόγραμμα conv1.m από τη σελίδα του μαθήματος )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Αριθμητική μέθοδος με τη χρήση πίνακα για διακριτές τιμές Έστω: Τιμές της συνέλιξης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Μέθοδος με τη χρήση μετασχηματισμών Fourier για διακριτές τιμές Στο χώρο των συχνοτήτων η συνέλιξη μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό Όπου είναι ο αντίστροφος μετασχηματιμός Fourier Και είναι ο ευθύς μετασχηματισμός Fourier ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Δίνονται οι συναρτήσεις: Να βρεθεί η συνέλιξη: Είναι: ΛΥΣΗ Θεώρημα συνέλιξης Εάν: Ισχύει: σύμφωνα με το θεώρημα της συνέλιξης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (1)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ (ΔΙΑΚΡΙΤΗ) ΣΥΝΕΛΙΞΗ (2)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΛΥΣΗ Ισχύει: για δηλαδήγια όταν ταυτόχρονα δηλαδή για Nα προσδιοριστεί η τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήματος ενέργειας: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (3)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier: (α) Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση) (β) Να βρεθεί το σήμα g(t) που προκύπτει αν στην f(t) εφαρμοστεί φίλτρο διέλευσης εντός ζώνης με τιμές Βοήθημα: Να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις F(ω), Η(ω), G(ω) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (4)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΛΥΣΗ (α)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 (β) Από το θεώρημα της συνέλιξης:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014
Να βρεθεί ο ευθύς μετασχηματισμός Fourier της (α) με τη βοήθεια του θεωρήματος της διαμόρφωσης και (β) με αναλυτικό τρόπο ΛΥΣΗ (α) Θ.Δ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (5)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 (α) Αναλυτικός τρόπος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Να βρεθεί η συνέλιξη: ΛΥΣΗ Όρια: Γραφική παράσταση της συνέλιξης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (6)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 f(t) d/2- t 0 A Να βρεθεί η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R(τ) και η φασματική πυκνότητα ενέργειας S(ω) του σήματος: ΛΥΣΗ d/2 d/2+τ-d/2+τ f(t-τ) d/2-d/2 t 0 A Όρια ολοκλήρωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (7)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 d/20 f(t)f(t-τ) t Α2Α2 -d/2 A2dA2d d/2 0d-d τ R(τ)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014
ΛΥΣΗ (α) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (8)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 (β) Εύρεση ορίων ολοκλήρωσης: 21-2 F(ω) Η(ω)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΛΥΣΗ Το διαμορφωμένο σήμα είναι ή μηδέν ή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (9)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 Η συνάρτηση συσχέτισης είναι ή μηδέν ή b a YY dttyty tytyR)()()()()( Όπου a και b είναι τα όρια οποιουδήποτε διαστήματος στο οποίο η συσχέτιση δεν μηδενίζεται. Σε ένα τέτοιο διάστημα
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014
Τελικά έχουμε την συνάρτηση συσχέτισης:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2013/2014 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ (10)