Ευστάθεια Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Ευστάθεια Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Βιβλιογραφία Ενότητας  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 6: Ενότητα 6.4 Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 6: Ενότητα 6.1 DiStefano [1995]: Chapter 5 Tewari [2005]: Chapter 2: Section 2.8

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Εισαγωγή Τα Σ.Α.Ε παρουσιάζουν ορισμένα χαρακτηριστικά τα οποία είναι ιδιαίτερης σημασίας για τη συμπεριφορά τους. Τα πιο σημαντικά από αυτά τα χαρακτηριστικά είναι: Η ελεγξιμότητα (controllability) Η παρατηρησιμότητα (observability) Οι ιδιοτιμές (eigenvalues) Η ευστάθεια (stability) Με δεδομένο ότι σε πολλά Σ.Α.Ε η έξοδος είναι επιθυμητό να ακολουθεί την είσοδο (π.χ ένας τηλεπικοινωνιακός δέκτης είναι χρήσιμο να αναπαράγει όσο το δυνατό καλύτερα το σήμα που δημιουργήθηκε στον πομπό) η ευστάθεια είναι εκ των ουκ άνευ. Σε ένα ασταθές σύστημα η έξοδος δεν μπορεί να ακολουθήσει την είσοδο. Μετά την εξασφάλιση της ευστάθειας επιδιώκεται η ικανοποίηση άλλων παραμέτρων σχεδίασης όπως: Το εύρος ζώνης Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση Η ταχύτητα και η ακρίβεια της απόκρισης.

Ορισμός Ευστάθειας Σ.Α.Ε  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Ορισμός Ευστάθειας Σ.Α.Ε Για γραμμικά Σ.Α.Ε υπάρχουν αρκετοί ορισμοί για την ευστάθεια, οι οποίοι μπορούν να ελεγχθούν εύκολα. Αντίθετα για μη γραμμικά συστήματα ο έλεγχος της ευστάθειας είναι περισσότερο δυσχερής και χρειάζονται ειδικές μεθοδολογίες για τον έλεγχος της (π.χ οι μέθοδοι Lyapunov, η μέθοδος Nyquist κ.λ.π) Γενικός Ορισμός Ευστάθειας (ισχύει τόσο για γραμμικά όσο και για μη γραμμικά συστήματα): Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν παραμένει σε κατάσταση ισορροπίας όταν δεν εφαρμόζεται σε αυτό κάποια διέγερση και επανέρχεται στην κατάσταση ισορροπίας όταν παύει να υφίσταται η διέγερση Ορισμός 1 (ισχύει για γραμμικά συστήματα): Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν η κρουστική του απόκριση h(t) προσεγγίζει το μηδέν όταν ο χρόνος τείνει προς το άπειρο: Τα συστήματα στα οποία ικανοποιείται η ανωτέρω συνθήκη ονομάζονται ασυμπτωτικά ευσταθή

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Ορισμοί Ευστάθειας Ορισμός 2 (ισχύει για γραμμικά αλλά και μη γραμμικά συστήματα): Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν για οποιαδήποτε φραγμένη είσοδο η έξοδος του είναι φραγμένη Ορισμός 3 (βασίζεται στον ορισμό 2 και ισχύει για γραμμικά συστήματα): Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές αν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (πόλοι του συστήματος) βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο (δηλαδή έχουν πραγματικό μέρος αρνητικό). Αν κάποιες από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι καθαρά μιγαδικές (έχουν πραγματικό μέρος ίσο με μηδέν) τότε το σύστημα είναι οριακά ευσταθές. Σε αυτή την περίπτωση η κρουστική απόκριση του συστήματος δεν τείνει προς το μηδέν αλλά παραμένει φραγμένη: Το πόσο ευσταθές είναι κάποιο σύστημα καθορίζει την ευρωστία του. Χαρακτηριστικά από τα οποία μπορούμε να αποφανθούμε για την ευρωστία ενός συστήματος είναι τα περιθώρια κέρδους και φάσης.

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα Να ελεγχθεί η ευστάθεια των συστημάτων με κρουστικές αποκρίσεις: (a) h=e-t (b) h=te-t (c) h=1 (d) h=e-tsint (e) h=sin(ωt), ω=2,3,. Οι γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων (a)-(e) φαίνονται στο διπλανό σχήμα (a->μπλε, b->κόκκινο,c->φούξια, d-> πράσινο, e->μαύρο). Είναι φανερό ότι τα συστήματα (c),(e) είναι ασταθή καθώς η κρουστική τους απόκριση δεν προσεγγίζει το μηδέν όταν το t->∞

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα (II) Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς: Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Χ.Π.) του ανωτέρω συστήματος είναι a(s)=s2+1. Οι ρίζες του είναι μιγαδικές, p1=-j, p1=+j άρα το σύστημα θα έπρεπε να είναι οριακά ευσταθές. Επειδή όμως όλες οι ρίζες του Χ.Π έχουν μηδενικό πραγματικό μέρος το σύστημα είναι ασταθές όπως φαίνεται από τη κρουστική του απόκριση: αλλά και από την απόκριση στην είσοδο u(t)=sin(t) (βλέπε σχήμα).

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα (III) Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς: Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Χ.Π.) του ανωτέρω συστήματος είναι a(s)=(s2+1)(s+0.5). Δύο από τις ρίζες του είναι μιγαδικές, p1=-j, p1=+j άρα το σύστημα είναι οριακά ευσταθές (η άλλη ρίζα είναι p3=-0.5 δηλαδή έχει αρνητικό πραγματικό μέρος). Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι φραγμένη αλλά δεν φθίνει προς το μηδέν (βλέπε σχήμα)

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα (IV) Να ελεγχθεί η ευστάθεια των συστημάτων με συνάρτηση μεταφοράς: (α) (β) (γ) (δ) (ε) Λύση: (α) ασταθές, (β) ευσταθές, (γ) ευσταθές, (δ) ασταθές, (ε) οριακά ευσταθές

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Κριτήρια Ευστάθειας Η απευθείας εφαρμογή των ορισμών δεν είναι εύκολη για να αποφανθούμε για την ευστάθεια συστημάτων (ιδιαίτερα χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή και εργαλείων προσομοίωσης). Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί κριτήρια ευστάθειας συστημάτων τα οποία διακρίνονται σε: Αλγεβρικά (Routh, Hurwitz, συνεχή κλάσματα, Lyapunov) Διαγραμματικά (με τη βοήθεια των μεθόδων ανάλυσης Γ.Τ.Ρ, Nyquist, Bode, Nichols) Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας τα οποία εφαρμόζονται εύκολα αν και σε πολλές περιπτώσεις δεν μας δίνουν πληροφορίες αντίστοιχες των διαγραμματικών τεχνικών: Δεν δίνουν πληροφορίες σε σχέση με την σχετική ευστάθεια (ευρωστία) των συστημάτων Δεν εφαρμόζονται σε μη γραμμικά συστήματα (εξαίρεση η μέθοδος Lyapunov) Τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας εξετάζουν τη μορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος για να αποφανθούν για την ευστάθεια του. Θεώρημα: Έστω το Χ.Π. με αi, i=0,…,n πραγματικούς αριθμούς. Το πολυώνυμο a(s) έχει μια ή περισσότερες ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο αν κάποιος από τους συντελεστές αi είναι μηδενικός ή αρνητικός. Το αντίστροφο δεν ισχύει!

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα Να ελεγχθεί η ευστάθεια των συστημάτων με χαρακτηριστικά πολυώνυμα: (α) (β) (γ) (δ) (ε) Λύση: (α) ασταθές (λείπει ο συντελεστής του s4) , (β) δεν μπορούμε να αποφανθούμε (στην πραγματικότητα είναι ασταθές), (γ) δεν μπορούμε να αποφανθούμε (στην πραγματικότητα είναι ευσταθές), (δ) ασταθές (λείπει ο συντελεστής του s0 - στη πραγματικότητα είναι οριακά ευσταθές) (ε) ασταθές (ο συντελεστής του s1 είναι αρνητικός)

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Κριτήριο Routh Το κριτήριο Routh προσδιορίζει το πλήθος των ριζών του X.Π που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο χωρίς να υπολογίζει τις ρίζες αυτές. Για το σκοπό αυτό κατασκευάζεται ο πίνακας Routh: όπου αi, i=0,…,n είναι οι συντελεστές του Χ.Π. και οι συντελεστές b1, b2, …, c1, c2, …υπολογίζονται από τις σχέσεις:

Κριτήριο Routh (ΙΙ) Θεώρημα  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Κριτήριο Routh (ΙΙ) Θεώρημα Όλες οι ρίζες του Χ.Π. βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε και μόνο τότε η πρώτη στήλη του πίνακα Routh δεν παρουσιάζει αλλαγές προσήμου. Ο αριθμός των αλλαγών προσήμου είναι ίσος με τον αριθμό των ριζών στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Παράδειγμα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με Χ.Π Λύση: Ο πίνακας Routh είναι =>: Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήμου στη πρώτη στήλη άρα έχουμε δύο ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο =>ασταθές σύστημα

Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh Όταν υπάρχει μηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh τότε ο υπολογισμός του πίνακα Routh από τη γραμμή του μηδενικού στοιχείου και κάτω είναι αδύνατος διότι τα στοιχεία των επόμενων γραμμών απειρίζονται. Στη περίπτωση αυτή πολλαπλασιάζουμε το αρχικό πολυώνυμο a(s) με (s+b) όπου b>0 και υπό την προϋπόθεση ότι το –b δεν είναι ρίζα του a(s) και κατασκευάζουμε τον πίνακα Routh για το νέο πολυώνυμο: Τα συμπεράσματα όσον αφορά την ευστάθεια του συστήματος με Χ.Π το ισχύουν και για το σύστημα με Χ.Π. το a(s). Παράδειγμα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με Χ.Π Λύση: Ο πίνακας Routh είναι =>:

Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh (ΙΙ) Λύση (συνέχεια): Σχηματίζουμε το βοηθητικό πολυώνυμο (παρατηρούμε ότι έχουμε b=1, το –b=-1 δεν είναι ρίζα του s). Σχηματίζουμε τον πίνακα Routh για το νέο πολυώνυμο: Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήμου στη πρώτη στήλη άρα έχουμε δύο ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο =>ασταθές σύστημα

Ύπαρξη μηδενικής γραμμής στο πίνακα Routh  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Ύπαρξη μηδενικής γραμμής στο πίνακα Routh Όταν υπάρχει μηδενική γραμμή στον πίνακα Routh τότε ο υπολογισμός του πίνακα Routh από τη γραμμή αυτή και κάτω είναι αδύνατος διότι τα στοιχεία των επόμενων γραμμών απειρίζονται. Στη περίπτωση αυτή σχηματίζουμε το βοηθητικό πολυώνυμο q(s) το οποίο αντιστοιχεί στην προηγούμενη της μηδενικής γραμμής και συνεχίζουμε αντικαθιστώντας τους συντελεστές της μηδενικής γραμμής με τους συντελεστές του Παράδειγμα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με Χ.Π Λύση: Ο πίνακας Routh είναι =>:

Ύπαρξη μηδενικής γραμμής στο πίνακα Routh  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Ύπαρξη μηδενικής γραμμής στο πίνακα Routh Λύση (συνέχεια): Σχηματίζουμε το βοηθητικό πολυώνυμο και το οπότε ο πίνακας Routh θα συνεχίσει ως: Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήμου στη πρώτη στήλη άρα έχουμε δύο ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο =>ασταθές σύστημα

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα Ι Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το κλειστό σύστημα του σχήματος να είναι ευσταθές Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστημα του σχήματος και να επιβεβαιώσετε τα αποτελέσματα που βρήκατε με τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh. Λύση: Ο Γ.Τ.Ρ δίνεται στο διπλανό σχήμα, από όπου φαίνεται ότι το σύστημα είναι ευσταθές για 0<Κ<8. Επειδή ο Γ.Τ.Ρ σχηματίζεται μόνο για θετικές τιμές του K είναι πιθανό το σύστημα να είναι ευσταθές και για κάποιες αρνητικές τιμές του K O Γ.Τ.Ρ για Κ<0 είναι συμμετρικός ως προς την κάθετη ευθεία που περνά από το κρίσιμο σημείο (-1,j0). Οπότε συμπεραίνουμε ότι το σύστημα είναι ευσταθές και για Κ>-1. Άρα τελικά -1<Κ<8.

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα Ι (συν.) Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος είναι: Κατασκευάζουμε τον πίνακα Routh για το παραπάνω σύστημα (Χ.Π.: ) Για να μην υπάρχει αλλαγή προσήμου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh πρέπει να ισχύουν: Οπότε τελικά -1<Κ<8 το οποίο συμφωνεί με το αποτέλεσμα του Γ.Τ.Ρ

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα ΙΙ Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το κλειστό σύστημα του σχήματος να είναι ευσταθές Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστημα του σχήματος και να επιβεβαιώσετε τα αποτελέσματα που βρήκατε με τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh. Λύση: Ο Γ.Τ.Ρ δίνεται στο διπλανό σχήμα, από όπου φαίνεται ότι το σύστημα είναι ευσταθές για 0<Κ<10.

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Κριτήριο Hurwitz Το κριτήριο Hurwitz προσδιορίζει αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο ή πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Αδυνατεί όμως σε σχέση με το κριτήριο Routh να προσδιορίσει το πλήθος των ριζών αυτών. Το κριτήριο Hurwitz εφαρμόζεται με βάση τις ορίζουσες Hurwitz οι οποίες είναι οι κύριες υποορίζουσες της ορίζουσας: n περιττό: n άρτιο:

Κριτήριο Hurwitz (II) Θεώρημα  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Κριτήριο Hurwitz (II) Θεώρημα Όλες οι ρίζες του Χ.Π. βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε και μόνο τότε όλες οι ορίζουσες Hurwitz είναι θετικές (Δk>0, k=0,..n). Παράδειγμα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με Χ.Π Λύση: Η ορίζουσα Hurwitz Δn =Δ4 είναι: και οι κύριες υποορίζουσες είναι: Είναι φανερό ότι το σύστημα είναι ασταθές αφού Δ2=0 και Δ3<0

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα Ι Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Hurwitz να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το κλειστό σύστημα του σχήματος να είναι ευσταθές Λύση: Το Χ.Π του συστήματος είναι Η ορίζουσα Hurwitz Δn =Δ3 είναι: Οι κύριες υποορίζουσες είναι: Οπότε για να έχουμε ευσταθές σύστημα πρέπει (1+Κ)(8-Κ)>0 => -1<Κ<8

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα ΙΙ Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Hurwitz να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το κλειστό σύστημα του σχήματος να είναι ευσταθές Λύση: Το Χ.Π του συστήματος είναι Η ορίζουσα Hurwitz Δn =Δ3 είναι: Οι κύριες υποορίζουσες είναι: Οπότε για να έχουμε ευσταθές σύστημα πρέπει

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Συνεχή Κλάσματα Το κριτήριο συνεχών κλασμάτων, όπως και το κριτήριο Hurwitz, προσδιορίζει αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο ή πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Αδυνατεί όμως σε σχέση με το κριτήριο Routh να προσδιορίσει το πλήθος των ριζών αυτών. Κατά την εφαρμογή του κριτηρίου το Χ.Π. διαχωρίζεται στα πολυώνυμα: Στη συνέχεια σχηματίζεται ο λόγος των πολυωνύμων Q1(s) και Q2(s) ως συνεχές κλάσμα:

Συνεχή Κλάσματα (ΙΙ) Θεώρημα  Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Συνεχή Κλάσματα (ΙΙ) Θεώρημα Όλες οι ρίζες του Χ.Π. βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε και μόνο τότε όλα τα hi είναι μεγαλύτερα από το μηδέν (hk>0, k=1,..n). Παράδειγμα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήματος με Χ.Π Λύση: Έχουμε Επειδή h3=-1, h4=-1/3 το σύστημα είναι ασταθές.

 Εισαγωγή  Ορισμός Ευστάθειας  Κριτήρια Ευστάθειας  Κριτήριο Routh  Κριτήριο Hurwitz  Συνεχή Κλάσματα Παράδειγμα Ι Με τη βοήθεια του κριτηρίου συνεχών κλασμάτων να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το κλειστό σύστημα του σχήματος να είναι ευσταθές Λύση: Το Χ.Π του συστήματος είναι Έχουμε Για h2>0 πρέπει Κ<8, Για h3>0 πρέπει -1<Κ<8,