Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού 6η Ε Β Δ Ο Μ Α Δ Α Ακαδημαϊκό Έτος Τετάρτη 26, Νοεμβρίου 2008 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αριθμητική Ανάλυση1/19Κ. Ι. Ιορδανίδης

Μη Γραμμικά Συστήματα (Μ.Γ.Σ.) Αριθμητική Ανάλυση2/19 Α. Εισαγωγικά - Το πρόβλημα Ένα συχνά εμφανιζόμενο υπολογιστικό ζήτημα ( π.χ. στην προσπάθεια ελαχιστοποίησης μιάς συνάρτησης πολλών μεταβλητών ) είναι να βρεθούν μερικές, ή όλες οι λύσεις του μη γραμμικού συστήματος : (1) ή,

Παράδειγμα 1: Υπολογισμός λύσεως με γενικευμένη Γενική Επαναληπτική 3/19 B. Στρατηγικές Επίλυσης

Αριθμητική Ανάλυση4/19

Άσκηση: (β) Μέθοδος Newton 5/19

Παράδειγμα 2: Υπολογισμός μιάς λύσεως του (6.1) με Newton Αριθμητική Ανάλυση6/19

(γ) Η μέθοδος της Steepest Descent ( Ταχύτερης καθόδου –Τ.Κ.) 7/19Αριθμητική Ανάλυση

8/19

Αριθμητική Ανάλυση9/19 Παράδειγμα 3: Υπολογισμός μιάς λύσεως του συστήματος (4) με Τ.Κ.

Αριθμητική Ανάλυση10/19

Αριθμητική Ανάλυση11/19

Αριθμητική Ανάλυση12/19

Παράδειγμα 4: Εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριθμητική Ανάλυση13/19

Αριθμητική Ανάλυση14/19

Παράδειγμα 5: Υπολογισμός ελαχίστου μιάς συνάρτησης δύο μεταβλητών Αριθμητική Ανάλυση15/19

Αριθμητική Ανάλυση16/19

(ε) Παραλλαγές της Newton Αριθμητική Ανάλυση17/19

Αριθμητική Ανάλυση18/19

Το Μ.Γ.Σ. με μία λύση την (0,1), θα μπορούσε να αντιμετωπισθεί με το σχήμα : Εάν πάρουμε ως αρχική εκτίμηση της λύσης το σημείο (0.1,0.5), οι επόμενες δύο προσεγ- γίσεις υπολογίζονται ότι είναι οι : Προφανώς, η σύγκλιση είναι ταχυτάτη, οφειλομένη κυρίως λόγω της εγγύτητας της αρχικής εκτίμησης στη λύση. Η μέθοδος δεν εξασφαλίζει την σύγκλιση, μάλλον τείνει προς την απόκλιση και αλλα- γές στις εξισώσεις και την σειρά των υπολογιζομένων αγνώστων πρέπει να συνδυάσει κανείς για την επίτευξη της σύγκλισης, έτσι ώστε να αξιοποιήσει την απλότητα του σχετικού αλγορίθμου. Παράδειγμα 6ο: Υπολογισμός λύσεως με μερική Newton - Σύγκλιση

Παράδειγμα 7ο: Υπολογισμός λύσεως με μερική Newton - Απόκλιση Εάν με αρχική εκτίμηση το (1,3) προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την λύση του συστήματος που είναι στο πρώτο τεταρτημόριο, θα διαπιστώσουμε απόκλιση. Άσκηση : Για την εύρεση της παραπάνω τομής,αντί του σχήματος (1) αξιο- ποιήσατε το ακόλουθο σχήμα (2) και ελέγξατε την σύγκλιση του :

Άσκηση: αναζητήσατε στο λογισμικό του τμήματος κατάλληλες διαδικασίες (Routines) που να υλοποιούν τις αναφερθείσες στρατηγικές και «τρέξατε» τα παραδείγματα που σας δόθηκαν στο παρόν για να επιβεβαιώσετε τα στοιχεία που προέκυψαν

Τα εργαστήρια της εβδομάδας Εργαστήριο 11ο. Στο Μ.Γ.Σ. ( τομή ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς καμπύλης) : εφαρμόσατε την μερική (partial) Newton και υπολογισμό της νέας τιμής της 1ης μεταβλητής με την 1η συνάρτηση και διαπιστώσατε την απόκλιση. Στην συνέχεια αξιοποιήσατε την 2η συνάρτηση για τον υπολογισμό της νέας τιμής της 1ης μεταβλητής και διαπίστώσατε την σύγκλιση της παραγό- μενης ακολουθίας στη λύση του (1),που είναι η:( , ). Δώσατε ερμηνεία στο φαινόμενο με την βοήθεια των παρακάτω παραστάσεων:

Εργαστήριο 12ο. Στο Μ.Γ.Σ. με χρήση της μερικής Newton και αρχικό σημείο το (0,3) εύρατε την συγκλίνουσα ακολουθία στη λύση (1.3447, ) [ 1η μεταβλητή – 1η συνάρτηση ]. Εναλλάξατε τις συναρτήσεις και με χρήση του ιδίου αρχικού σημείου εύρατε την νέα ακολουθία σημείων και διαπιστώσατε την απόκλιση. Ερμηνεύσατε το φαινόμενο με την βοήθεια των παρακάτω παραστάσεων :