Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ
Βιβλιογραφία Ενότητας Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 2, Ενότητες 2.3 – 2.5 Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 2 DiStefano [1995]: Chapters 3 & 4 Tewari [2005]: Chapter 2: Sections 2.4 - 2.5
Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός Laplace και ο μετασχηματισμός Z είναι δύο πολύ χρήσιμα μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων αυτομάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ (Γραμμικών Χρονικά Αναλλοίωτων συστημάτων). Ο μετασχηματισμός Laplace μετασχηματίζει συναρτήσεις από το πεδίο του χρόνου (t) στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s: Η λογική της χρήσης του μετασχηματισμού Laplace είναι αντίστοιχη με τη λογική της χρήσης του μετασχηματισμού Fourier στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι με τον μετασχηματισμό Laplace μπορούμε να μελετήσουμε και την συμπεριφορά συστημάτων στη μεταβατική κατάσταση και όχι μόνο στη μόνιμη κατάσταση (για αυτό και χρησιμοποιείται η μιγαδική μεταβλητή s = σ + jω, αντί της φανταστικής μεταβλητής jω του μετασχηματισμού Fourier) Η βασική χρήση του μετασχηματισμού Laplace είναι για τη λύση ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων ΓΧΑ συστημάτων. Μέσω του μετασχηματισμού οι εξισώσεις αυτές μετατρέπονται σε αλγεβρικές των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη.
Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Εισαγωγή (ΙΙ) Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται όμως και για την μελέτη της ευστάθειας και τη σχεδίαση Σ.Α.Ε (όπως για παράδειγμα με τη μέθοδο του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών) Ο μετασχηματισμός Ζ μετασχηματίζει ακολουθίες από το πεδίο του χρόνου (δηλαδή ψηφιοποιημένα σήματα) στο πεδίο της ψηφιοποιημένης μιγαδικής συχνότητας z: Σε πολλές περιπτώσεις ο μετασχηματισμός Z θεωρείται ότι προκύπτει απο δειγματοληψία του μετασχηματισμού Laplace Η χρήση του μετασχηματισμού Z σε ψηφιακά Σ.Α.Ε είναι αντίστοιχη αυτής του μετασχηματισμού Laplace στα συνεχή Σ.Α.Ε. Επομένως χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων διαφορών (δηλαδή εξισώσεων της μορφής a0y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2) + …+any(k-n) = u(k), όπου με y(k) δηλώνεται το k-στο δείγμα της ακολουθίας y(n). Άλλες πολύ διαδεδομένες χρήσης του μετασχηματισμού Z είναι η μελέτη ευστάθειας και η σχεδίαση ψηφιακών Σ.Α.Ε (π.χ. Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρων)
Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ο Μετασχηματισμός Laplace Έστω η πραγματική συνάρτηση f(t) της πραγματικής μεταβλητής t (π.χ χρόνος) Ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)]=F(s) της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) υπάρχει εφόσον το ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάποιο πραγματικό αριθμό σ0, δηλαδή ισχύει Ι <+∞. Αν ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) δεν υπάρχει τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εργαλείο για την εύρεση ή μελέτη της συνάρτησης διότι τα αποτελέσματα που θα δώσει η μελέτη θα είναι εσφαλμένα.
Ο Μετασχηματισμός Laplace (ΙΙ) Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ο Μετασχηματισμός Laplace (ΙΙ) Παράδειγμα Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) =e-t υπάρχει διότι το ολοκλήρωμα I υπάρχει για κάθε σ0≠-1. Επομένως ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)] = F(s) της συνάρτησης f(t) =e-t θα είναι:
Παράδειγμα χρήσης του Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Παράδειγμα χρήσης του Μετασχηματισμός Laplace Στο επόμενο σχήμα δίνεται η φιλοσοφία της χρήσης του μετασχηματισμού Laplace στη μελέτη των συστημάτων Σ.Α.Ε Πολλά ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής: των οποίων η επίλυση είναι δυσχερής. Η χρήση του μετασχηματισμού Laplace απλοποιεί τη διαδικασία επίλυσης
Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Έστω F(s) ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)] της συνάρτησης f(t). Η συνάρτηση f(t) υπολογίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace L-1[F(s)]=f(t) με τη βοήθεια του επικαμπύλιου ολοκληρώματος: για c πραγματικό αριθμό τέτοιο ώστε c>σ0. Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκολίας υπολογισμού του παραπάνω ολοκληρώματος ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με ανάλυση σε μερικά κλάσματα και χρήση γνωστών ζευγών του μετασχηματισμού Laplace. Αν δηλαδή ο μετασχηματισμός Laplace F(s) μιας συνάρτησης f(t) έχει τη μορφή:
Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (II) Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (II) τότε η συνάρτηση F(s) αναλύεται σε μερικά κλάσματα ως εξής: όπου λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn οι ρίζες του πολυωνύμου a(s). Για κλάσματα της μορφής: ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι γνωστός. Συγκεκριμένα ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι:
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace Παράδειγμα 1: Διακριτές Ρίζες Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = δ(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υπολογιστεί η y(t). Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης residue της Matlab προκύπτει η εξής ανάλυση της συνάρτησης σε μερικά κλάσματα: και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι:
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (ΙΙ) Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (ΙΙ) Παράδειγμα 2: Πολλαπλότητα Ριζών Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = us(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υπολογιστεί η y(t). Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης residue της Matlab προκύπτει η εξής ανάλυση της συνάρτησης σε μερικά κλάσματα: και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι:
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (IIΙ) Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (IIΙ) Η μορφή της συνάρτησης y(t) του προηγούμενου παραδείγματος
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (ΙV) Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (ΙV) Παράδειγμα 3: Μιγαδικές Ρίζες Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = δ(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υπολογιστεί η y(t). Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης roots της Matlab προκύπτει ότι οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι -1, -2+j, -2-j. Άρα το Y(s) γράφεται ως: και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι:
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (V) Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (V) Η μορφή της συνάρτησης y(t) του προηγούμενου παραδείγματος
Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Γραμμικότητα: L[α1f1(t)+α2f2(t)]=α1F1(s)+ α2F2(s), όπου α1, α2 σταθερές L-1[b1F1(s)+b2F2(s)]=b1f1(t)+b2f2(t), όπου b1, b2 σταθερές Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου: Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου:
Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace
Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace
Ζεύγη του Μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ζεύγη του Μετασχηματισμού Laplace
Συναρτήσεις Μεταφοράς Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Συναρτήσεις Μεταφοράς Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής: για c πραγματικό αριθμό τέτοιο ώστε c>σ0. Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκολίας υπολογισμού του παραπάνω ολοκληρώματος ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με ανάλυση σε μερικά κλάσματα και χρήση γνωστών ζευγών του μετασχηματισμού Laplace. Αν δηλαδή ο μετασχηματισμός Laplace F(s) μιας συνάρτησης f(t) έχει τη μορφή:
Ο Μετασχηματισμός Ζ Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Ζ Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ο Μετασχηματισμός Ζ Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Ζ z μιγαδική μεταβλητή z=ejω
Σχέση Μετασχηματισμού Fourier και Μετασχηματισμού Ζ Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Σχέση Μετασχηματισμού Fourier και Μετασχηματισμού Ζ
Σύγκλιση του Μετασχηματισμού Ζ Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Σύγκλιση του Μετασχηματισμού Ζ Πολλές φορές ο μετασχηματισμός Ζ ενός διακριτού σήματος x{n} εκφράζεται ως πηλίκο δύο πολυωνύμων: Οι ρίζες του πολυωνύμου P(z) αποτελούν τα μηδενικά της συνάρτησης Χ(z) ενώ οι ρίζες του πολυωνύμου Q(z) αποτελούν τους πόλους της συνάρτησης Χ(z). Το διάγραμμα πόλων και μηδενικών της συνάρτησης Χ(z) δίνει πληροφορίες για το αιτιατό του σήματος x{n}, την ευστάθεια, και την περιοχή σύγκλισης.
Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Ζ Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Ζ Ιδιότητα 1: Η περιοχή σύγκλισης οποιουδήποτε μετασχηματισμού Ζ είναι είτε ένας δακτύλιος είτε ένας δίσκος στο μιγαδικό επίπεδο με κέντρο την αρχή των αξόνων: Ιδιότητα 2: Ο μετασχηματισμός Fourier του διακριτού σήματος x{n} υπάρχει εφόσον η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χ(z) περιέχει τον μοναδιαίο κύκλο. Ιδιότητα 3: Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χ(z) δεν μπορεί να περιέχει πόλους. Ιδιότητα 4: Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χ(z) είναι συνεχής (δεν αποτελείται από μη συνδεδεμένα τμήματα).
Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Ζ (ΙΙ) Ο Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace Συναρτήσεις Μεταφοράς Εφαρμογές Ο Μετασχηματισμός Ζ Ιδιότητες Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Ζ (ΙΙ) Ιδιότητα 5: Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Ζ ενός πεπερασμένης διάρκειας σήματος είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο με εξαίρεση είτε την αρχή των αξόνων (όταν το σήμα x{n} είναι μη μηδενικό για κάποιες τιμές του n>0) είτε το άπειρο (όταν το σήμα x{n} είναι μη μηδενικό για κάποιες τιμές του n<0). Ιδιότητα 6: Ένα διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση h{n} είναι ευσταθές (κατά ΒΙΒΟ) αν η περιοχή σύγκλισης του αντίστοιχου μετασχηματισμού Z (H(z))περιέχει τον μοναδιαίο κύκλο. Ιδιότητα 7: Ένα διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση h{n} είναι αιτιατό (h{n}=0 για n<0) αν η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Z (H(z)) εκτείνεται από τον κύκλο που αντιστοιχεί στο μέτρο του μεγαλύτερου πόλου (αυτού με το μεγαλύτερο μέτρο) έως το άπειρο, δηλαδή ROC: